Интеграл Марковеккио и мера иррациональности числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 511.36

ИНТЕГРАЛ МАРКОВЕККИО И МЕРА ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЛА

В.А. Андросенко

В.Х. Салихов

Одним из направлений теории диофантовых приближений является получение оценок снизу модулей линейных форм с целыми коэффициентами от значений аналитических функций.

В настоящее время установлен ряд оценок мер иррациональности значений аналитических функций. В частности, были получены оценки мер иррациональности некоторых чисел, содержащих константу .

Напомним, что показателем (мерой) иррациональности вещественного числа называется нижняя грань множества чисел , для которых начиная с некоторого положительного выполняется неравенство. аналитический функция иррациональность интегральный

.

В 1980 г. К. Алади и М. Л. Робинсон [1] с помощью полиномов Лежандра получили первую оценку снизу порядка приближения числа рациональными дробями:

.

Позднее этот результат неоднократно улучшался. Г. В. Чудновский [3] снизил эту оценку до 5, 7926…, А. К. Дубицкас [2] - до 5, 516…, М. Хата [4] - до 5, 0871…, Г. Рин [7] - до 4, 97… .

В 1993 г. М. Хата [5] получил новую оценку меры иррациональности числа :

Для этого им был рассмотрен интеграл вида

,

где ; ; ; .

В 2009 г. Р. Марковеккио [6] была получена новая оценка меры иррациональности числа ln2. В основе этой работы лежала новая интегральная конструкция. Выясняется, что подобный метод можно применить для доказательства следующего результата.

Теорема. Справедлива оценка

4, 601057… .

Для получения данной оценки рассмотрим интеграл вида

,

где - отрицательная вещественная полуось; - мнимая ось; . Причём для параметров h, j, q, k, l, m выполняются следующие условия:

все ;

, ;

; ;

и .

Компьютерный перебор параметров интеграла (1) дал те же самые оптимальные значения, что и в работе [6]:

.

Подставив эти параметры в интеграл (1), получим подынтегральную функцию вида

, где .

Пусть . Рассмотрим интеграл

.

В работе Марковеккио [6] показано, что в данной ситуации

, где .

При получим . Очевидно, что для любого .

Для получения оценки необходимо исследовать асимптотику интеграла и коэффициентов линейной формы . К полученной линейной форме применим следующую лемму (следствие 2.1 в работе [5]).

Лемма. Пусть , - иррационально, .

Тогда .

При получении асимптотики интеграла и коэффициентов линейных форм используется метод перевала (метод седловых точек). Он является одним из методов теории функции комплексного переменного.

Впервые метод перевала был предложен и применен к ряду задач известным английским физиком Питером Дебаем.

Метод перевала состоит из двух частей:

1. Топологическая часть. Деформация контура г в наиболее удобный для получения асимптотических оценок контур г*.

2. Аналитическая часть. Вычисление асимптотики интеграла по контуру г*.

Согласно выводам Р. Марковеккио, использовавшего для этой цели метод перевала,

: и ,

где и - комплексные корни уравнения

,

удовлетворяющие условиям:

1) находится вблизи точки x = 1, а вблизи точки , причем > 0;

2) выбирается таким образом, чтобы .

Соответствующие им и находятся из уравнения

.

Для параметров уравнение (2) принимает вид

.

Тогда , , =15,065…, , , = -6,745…, , , = -9,5628… .

По методу перевала в можно построить два контура - Г и Д, проходящие через точки и соответственно. Контур Д проходит через точку вокруг точки . Контур Г проходит через точку и содержит внутри себя точку и контур Д. Оба эти контура можно деформировать таким образом, чтобы для всех комплексных пар выполнялось условие .

Для линейной формы L вычислим у и ф.

Применяя процедуру сокращения простых, описанную у Р. Марковеккио, получим . Здесь , M = max {k, m, h, k + h - m, h + m - k, m + k - h}, - произведение всех простых чисел , таких, что .

Множество Щ при данных значениях параметров состоит из трёх интервалов, а именно:

.

Обозначим

где .

Тогда = 15,065… + 2,005… = 17,07…, .

Таким образом, по лемме для линейной формы имеем

1 + = 4,601057….

Список литературы

1. Alladi, K. Legendre polynomials and irrationality /K.Alladi, M. L. Robinson // J. Reine Angew. Math. - 1980. - Vol. 318. - P. 137-155.

2. Дубицкас, А. К. Приближение рациональными дробями /А. К. Дубицкас // Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика. - 1987. - №6. - С. 73-76.

3. Chudnovsky, G. V. Recurrences, Padй approximations and their applications /G. V. Chudnovsky // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. - 1992. - New York, 1984. - P. 215-238.

4. Hata, M. Legendre type polynomials and irrationality measures / M. Hata // J. Reine Angew. Math. - 1990. - № 407. - P. 99-125.

5. Hata, M. Rational approximations to р and some other numbers /M. Hata // Acta Arith. - 1993. - V.63. - №4. - P. 335-349.

6. Marcovecchio, R. The Rhin - Viola method for log2 /R. Marcoveccio // Acta Arith. - 2009. - V. 139.2. - P. 147-184.

7. Rhin, G. Approximants de Padй et mesures effectives d'irrationalitй /G. Rhin // Progr. In Math. Birkhдuser. - 1987. - V. 71. - P. 155-164.

Аннотация

С помощью интегральной конструкции Р. Марковеккио получена оценка меры иррациональности числа , улучшающая результат М. Хата.

Ключевые слова: интеграл Марковеккио, мера иррациональности, линейная форма, комплексный интеграл, метод перевала.

Размещено на Allbest.ru