Групповая структура четырехкратного интеграла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Групповая структура четырехкратного интеграла

Пусть , (1)

.

В данной статье рассматривается интеграл (1) при k = 4.

Одной из классических задач теории трансцендентных чисел является задача Л. Эйлера: выяснить природу значений сходящихся рядов , где k = 2,3, ….

Первый результат был получен Л. Эйлером в 1735 г. Он доказал, что .

В то же время Л. Эйлер выдвигает проблему нахождения значений так называемой дзета-функции Римана в целых точках. Одновременно он показывает, что при s = 2k, kN , где .

После того как в 1882 году Линдеманн [5] доказал, что - число трансцендентное, стало ясно, что для s = 2k, k N значения дзета-функции Римана являются трансцендентными числами. Вместе с тем оставался открытым вопрос о значениях дзета-функции Римана в нечётных точках.

В 1978 г. Апери [1] доказал, что т(3) является числом иррациональным.

Ф. Бейкерс [3] рассмотрел интеграл (1) при k = 3; _i = n, i = 1,…, 7; n N. Он представил его в виде линейной формы от т(3): . Наряду с этим возникает проблема оценки меры иррациональности т(3). Апери [2] показал, что мера иррациональности (т(3)) 13,41782…. На данный момент наилучшей является оценка, которую получили Рин и Виола [6]. Они показали, что (т(3)) 5,513891 ….

В 2001 г. на примере интеграла Бейкерса Д. Васильев [4] рассмотрел интеграл (1) при k = 4; _i = n; i = 1,…, 9; n N. Этот интеграл он представил в виде линейной комбинации от 1, т(2), т(4) и получил для него следующую оценку:

0 < 4I₄() < 7т (4)ⁿ, где z[0,1], z³-3z²+1 = 0, = -21z²+75z-40, d_n = НОК (1, 2, …, n).

В данной статье рассмотрен аналогичный интеграл, но с произвольным набором параметров _i.

1. Преобразования в четырёхкратном интеграле

Лемма. Пусть в интеграле I = A > 0, B+A > 0; a, b, с N;

I = I (a, b, c), тогда справедливы следующие формулы:

;

; (2)

=

.

Пусть дан интеграл , для которого выполнены условия a₁+b₁ = a₄+b₂, a₂+b₂ = b₃+b₄.

1) Применим к этому интегралу сначала формулу (2) леммы по переменной x = x₄.

В результате получаем

,

где .

Для преобразования интеграла Рин и Виола [6] использовали замену переменных.

Проведём в данном интеграле аналогичную замену:

В результате преобразованный интеграл имеет вид

Ч

Ч.

Таким образом, получили преобразование g₁:

.

2) Проведя в исходном интеграле I преобразование по формуле (2) леммы по переменной x₁, получаем , такое, что

.

3) Применим формулу (2) леммы по переменной x_2.

Тогда g₃:

.

4) В интеграле сделаем сначала замену а затем

В результате преобразование g₄ имеет вид

Ч

Ч.

Таким образом, получены четыре преобразования исходного интеграла

I =, которые лежат в основе групповой структуры.

2. Групповая структура интеграла

Сделаем замену интеграла

на интеграл вида

Ч

Ч,

где a₁ = щ₁; b₁ = щ₂; a₂ = щ₃; b₂ = щ₄; a₃ = щ₅; b₃ = щ₆; a₄ = щ₇; b₄ = щ₈; c = щ₉.

Введём следующие параметры:

щ₁₀ = щ₃ + щ₂ - щ₉, щ₁₁ = щ₇ + щ₈ - щ₉, щ₁₂ = щ₁ + щ₂ - щ₉, щ₁₃ = щ₇ + щ₈ -

щ₁, щ₁₄ = щ₃ + щ₄ - - щ₉, щ₁₅ = щ₇ + щ₈ - щ₃, щ₁₆ = щ₇+ щ₈ - щ₅, щ₁₇ = щ₅ +

щ₆ - щ₁, щ₁₈ = щ₅ + щ₆ - щ₇, щ₁₉ = щ₅ +

+ щ₆ - щ₃, щ₂₀ = щ₂ + щ₃ - щ₇, щ₂₁ = щ₃+ щ₂ - щ₇.

Для этих параметров выполнены условия щ₁ + щ₂ = щ₄ + щ₇, щ₃ + щ₄ = щ₆ + щ₈.

Рассмотрим каждое из преобразований интеграла относительно параметров щ₁, щ₂, щ₃, …, щ₂₁.

Преобразование g₁:

щ₁^' = щ₃, щ₂^' = щ₂, щ₃^' = щ₁, щ₄^' = щ₃ + щ₂ - щ₉ = щ₁₀, щ₅^' = щ₅, щ₆^' = щ₆, щ₇^' =

щ₉, щ₈^' = щ₁₁, щ₉^' = = щ₇, щ₁₀^' = щ₁ + щ₂ - щ₇ = щ₄, щ₁₁^' = щ₈, щ₁₂^' = щ₂ + щ₃ -

щ₇ = щ₂₀, щ₁₃^' = щ₇ + щ₈ - щ₃= щ₁₅, щ₁₄^' = щ₁₄, щ₁₅^' = щ₇ + щ₈ - щ₁= щ₁₃, щ₁₆^' =

щ₁₆, щ₁₇^' = щ₅ + щ₆ - щ₃ = щ₁₉, щ₁₈^' = щ₃ + щ₂ - щ₇ =

= щ₂₁, щ₁₉^' = щ₅ + щ₆ - щ₁= щ₁₇, щ₂₀^' = щ₁ + щ₂ - щ₉ = щ₁₂, щ₂₁^' = щ₅ + щ₆ - щ₇

= щ₁₈.

Таким образом,

g₁: (щ₁, щ₃) (щ₄, щ₁₀) (щ₇, щ₉) (щ₈, щ₁₁) (щ₁₂, щ₂₀) (щ₁₃, щ₁₅) (щ₁₇,щ₁₉) (щ₁₈, щ₂₁).

Рассмотрев аналогично преобразования g₂, g₃, g₄, получаем

g₂: (щ₁, щ₉) (щ₂, щ₁₂) (щ₁₁, щ₁₃) (щ₁₄, щ₂₀) (щ₁₇, щ₂₁);

g₃: (щ₂, щ₁₀) (щ₃, щ₉) (щ₄, щ₁₄) (щ₁₁, щ₁₅) (щ₁₉, щ₂₁);

g₄: (щ₁, щ₆) (щ₂, щ₈) (щ₃, щ₇) (щ₅, щ₁₀) (щ₉, щ₁₆) (щ₁₁, щ₁₇) (щ₁₂, щ₂₀) (щ₁₄, щ₁₉) (щ₁₅, щ₂₀).

Всевозможные комбинации этих преобразований образуют группу G, состоящую из 720 элементов. Функция

является инвариантной относительно всех преобразований этой группы. Таким образом, для gG

эйлер интеграл риман трансцендентный

,

.

Актуальность рассмотрения групповой структуры связана с проблемой оценки интеграла, а также оценки меры иррациональности значений дзета-функции Римана в целых точках.

Список литературы

1. Apery, R. Irrationalite de (2) et (3) / R. Apery // Asterisque 61. - 1979. - Р. 11 - 13.

2. Apery, R. Interpolation de fractions continues et irrationalite de certaines constants / R. Apery // Bulletin de la section des scierees du C.T.H.S III. - 1981. - Р. 37 - 53.

3. Beukers, F. A note on the irrationality of (2) and (3) / F. Beukers // Bull. Lond. Math. Soc. 11. - 1978. - №33. - Р. 268-279.

4. Васильев, Д. О малых линейных формах от значений дзета - функции Римана в нечётных точках / Д. Васильев. - Минск, 2000. - С. 17. (Препринт/ НАН Беларуси. Институт математики; №1 (558)).

5. Lindemann, F. Uber die Zalh , Math / F. Lindemann // Annalen 20. - 1882. - Р. 213-235.

6. Rhin, G. The group structure for (3) / G. Rhin, C. Viola // Acta Arith. 97. - 2001. - №3. - Р. 269-293.

Размещено на Allbest.ru