Оценка снизу приближения log2 квадратичными иррациональностями
Получена оценка меры иррациональности числа log2. Доказательство леммы, позволяющей получить представление интеграла в виде линейной формы от 1 и log2 с коэффициентами из К. Определение подынтегральной функции интеграла. Применение теоремы Лапласа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.05.2018 |
| Размер файла | 153,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Оценка снизу приближения log2 квадратичными иррациональностями
Е.С. Сальникова
Получена оценка снизу для приближения числа квадратичными иррациональностями.
В 1987 г. Е. Рухадзе [1] была получена оценка меры иррациональности числа вида являющаяся наилучшей на данный момент. Цель работы - получить оценку снизу приближения числами вида
где Z, N.
При доказательстве используются конструкции, введенные в работе [2].
Сформулируем основной результат работы.
Теорема. Пусть Z, N; Тогда справедливо неравенство
Пусть везде далее N. Для доказательства теоремы рассмотрим интеграл
. (1)
Пусть - кольцо чисел вида Z. Обозначим для N
Докажем сначала лемму, позволяющую получить представление интеграла (1) в виде линейной формы от 1 и с коэффициентами из .
Лемма 1. Для интеграла (1) справедливо представление вида
где все Z.
Доказательство. Рассмотрим подынтегральную функцию интеграла (1)
.
Так как , то . Следовательно,
(2)
Разложим
в сумму простейших дробей
(3)
Найдём . Пусть По формуле Лейбница
Z.
Проинтегрируем слагаемое в (3) при Имеем
(4)
и
Далее при
Следовательно,
(5)
и , .
Далее действуем в точности как при доказательстве леммы 1 [2]. Имеем
Z,
Вычислим
Необходимо показать, что Это выполнено, так как
Следовательно,
(6)
Из (1), (2), (3), (4), (5), (6) следует утверждение леммы 1.
Докажем лемму, позволяющую уточнить знаменатель линейной формы, построенной в лемме 1.
Лемма 2. Пусть N, Тогда
(7)
где все Z.
Доказательство. Приведём интеграл (1) к гипергеометрическому типу с помощью замены
(8)
Применив лемму 3 работы [2], получим
Пусть
Тогда Z.
Таким образом, , или
Z.
Значит, Z.
Следовательно, для интеграла (1) справедливо представление вида (7).
Лемма доказана.
Пусть (9)
N, все Z, не все .
Лемма 3 (см. лемму 2 работы [2]). Пусть числа определены как в теореме. Тогда
Вычислим последовательно числа
1. Вычисление
Рассмотрим По лемме 2 имеет вид (9).
1.1. Вычислим
Рассмотрим для
при
Следовательно,
Рассчитаем используя теорему Лапласа.
(10)
Тогда
где
Наибольшее значение функции на отрезке достигается при
Следовательно,
Согласно (8)
Таким образом,
2. Вычисление Из (3), (4), (7) имеем
Последний предел можно вычислить методом перевала, используя корень уравнения , где
Имеем
3. Вычисление
Рассмотрим интеграл (10). Положим тогда
(11)
и
Имеем для рядов из (11):
1) 2)
квадратичный иррациональность интеграл линейный
Следовательно, учитывая (7), (8), (10) и (11), получим
(12)
Обозначим
Тогда из (12) простыми оценками по модулю имеем
Вычисления показывают, что достигается при а ? при Но тогда
Следовательно, в лемме 3 можно взять т.е.
Таким образом, теорема доказана.
Список литературы
1. Рухадзе, Е. А. Оценка снизу приближения рациональными числами/Е.А. Рухадзе// Вестник Моск. ун-та. Сер. I, Математика. Механика, 1987. ? № 6, 25-29, 97.
2. Салихов, В.Х. Диофантовы приближения логарифма «золотого сечения»/В.Х. Салихов, Е.С. Сальникова// Вестник БГТУ, 2007. ? № 1. - С. 111-119.
Материал поступил в редколлегию 13.11.06.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Изучение понятия интегральной суммы. Верхний и нижний пределы интегрирования. Анализ свойств определенного интеграла. Доказательство теоремы о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Производная от интеграла по переменной верхней границе.
презентация [487,1 K], добавлен 11.04.2013Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.
презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013История появления понятия "интеграла" и интегрального исчисления, его особенности и значение. Интеграл как один из основных инструментов работы с функциями. Обоснование необходимости выражения всех физических явлений в виде математической формулы.
презентация [344,4 K], добавлен 19.05.2014Связь с помощью формулы Грина криволинейного интеграла по замкнутому контуру с двойным интегралом по области, ограниченного этим контуром. Преобразование двойного интеграла по контуру, обходимого в положительном направлении. Доказательство теоремы.
презентация [44,7 K], добавлен 17.09.2013Основополагающие понятия теории графов. Определение эквивалентности, порождаемое группой подстановок, и доказательство леммы Бернсайда о числе ее классов. Понятие перечня конфигурации и доказательство теоремы Пойа. Решение задачи о перечислении графов.
курсовая работа [649,2 K], добавлен 18.01.2014История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013Математическое обоснование алгоритма вычисления интеграла. Принцип работы метода Монте–Карло. Применение данного метода для вычисления n–мерного интеграла. Алгоритм расчета интеграла. Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте–Карло.
курсовая работа [100,4 K], добавлен 12.05.2009Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Ознакомление с понятием и основными свойствами определенного интеграла. Представление формулы расчета интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [а, b]. Равенство нулю интеграла при условии равенства нижнего и верхнего пределов интегрирования.
презентация [64,2 K], добавлен 18.09.2013