Алгоритм комбинированного метода решения конечноэлементных задач с нелинейностями различного типа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритм комбинированного метода решения конечноэлементных задач с нелинейностями различного типа

М.В. Зернин, А.П. Бабин

УДК 539.3; 539.4

М.В. Зернин, А.П. Бабин

Описан новый итерационный алгоритм, разработанный для решения конечноэлементных задач, в которых разрешающие уравнения могут иметь нелинейности различного типа.

Ключевые слова: метод конечных элементов, нелинейные разрешающие уравнения, итерационный алгоритм, обеспечение сходимости.

Содержание статьи

Метод конечных элементов (МКЭ) является в настоящее время самым мощным численным методом решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями. В результате конечноэлементной аппроксимации исходная задача сводится к алгебраическим разрешающим уравнениям с неизвестными узловыми значениями искомых параметров (перемещений, температур, давлений в жидкости и т. п.), причем общедоступная в настоящее время вычислительная техника позволяет решать задачи с сотнями тысяч узловых неизвестных. При появлении нелинейных составляющих в разрешающих уравнениях обычно организуют итерационные процедуры, представляющие рекуррентные последовательности линейных решений. Важно обеспечить сходимость таких процедур. Нелинейные характеристики конечных элементов (КЭ) могут качественно различаться. Опыт решения практических задач показал, что для различных типов нелинейных характеристик должны применяться различные схемы итерационных процедур [1;2]. Однако бывают случаи, когда в одной и той же задаче содержатся нелинейные характеристики различного типа. Кроме того, тип нелинейной характеристики при достижении некоторого значения аргумента может качественно измениться.

Для обеспечения сходимости в таких случаях авторами разработан комбинированный алгоритм, который можно рассматривать как объединение существующих алгоритмов. Этот алгоритм реализует возможность применения в каждый конкретный момент вычисления той итерационной процедуры, которая гарантирует сходимость. Алгоритм разрабатывался [2-5] для решения контактных задач механики деформируемого твердого тела. Поэтому последующее его подробное описание и примеры нелинейных характеристик соответствуют именно этой предметной области. Тем не менее авторы уверены, что данный алгоритм обладает достаточной общностью и может быть использован в других приложениях МКЭ, также содержащих нелинейные разрешающие уравнения.

В задачах механики деформируемого твердого тела может проявляться физическая или геометрическая нелинейность. В зависимости от уровней воздействия на материалы для КЭ различных участков тел могут применяться модели теории упругости (в том числе нелинейные), теории пластичности или теории ползучести. Методы решения физически и геометрически нелинейных задач достаточно хорошо разработаны в соответствующих разделах механики деформируемого твердого тела и кратко описаны в энциклопедии [1]. Авторами реализованы [2;3] различные известные итерационные методы решения нелинейных систем уравнений как сходящейся последовательности линейных задач. В качестве основных алгоритмов решения нелинейных задач рассматривались применяемые в теории пластичности методы: метод переменных параметров упругости, метод дополнительных напряжений (МДН), метод дополнительных деформаций (МДД). Метод переменных параметров упругости был отвергнут потому, что при его использовании изменяется матрица жесткости системы на каждой итерации, трудоемкость расчета велика. Трудоемкость МДН и МДД существенно ниже. Но практика расчетов показала, что ни МДН, ни МДД в отдельности не позволяют решать задачи со всеми встречающимися типами нелинейностей.

Анализ большого объема результатов применения МДД и МДН для разных типов нелинейностей показал, что каждый из двух этих методов не всегда обеспечивает сходимость итерационной процедуры. Причем области гарантированной сходимости данных методов различны: там, где один из них может не обеспечить сходимость, другой справляется успешно, и наоборот. Этот факт подтолкнул к разработке алгоритма решения нелинейных задач, опирающегося на МДД и МДН одновременно. Такой метод можно назвать методом дополнительных деформаций и напряжений (МДДН) или комбинированным методом (основы его, по-видимому, впервые кратко изложены в [2]). Приведем основные положения нового метода.

МДН и МДД разработаны для решения нелинейных задач теории пластичности. При этом использованы физические соотношения теории упругости, в которых учитываются начальные (или остаточные, обозначенные индексом ) напряжения или деформации. В конечноэлементной формулировке эти уравнения имеют вид:

(1)

Здесь -вектор напряжений; - матрица упругих коэффициентов; - вектор деформаций; - вектор остаточных деформаций; - вектор остаточных напряжений. В теории упругости эти начальные (остаточные) параметры уравнения являются постоянными. В теории пластичности именно в этих векторах искусственным образом сосредоточивают нелинейные составляющие, и они изменяются от итерации к итерации. Поэтому вместо терминов "начальные" или "остаточные" чаще применяют термин "дополнительные" напряжения и деформации. В итоге жесткостные параметры системы считаются постоянными, а нелинейности группируются в правых частях уравнений также, как начальные напряжения или деформации в уравнении (1). В частности, в МДН зависимость напряжений от деформаций записывается в виде

,

а в МДД - в виде

Здесь и - соответственно векторы дополнительных напряжений и деформаций, в которые сведены все нелинейные составляющие уравнения. Переопределяя такие псевдоначальные параметры на каждой итерации, можно решить нелинейную задачу как рекуррентную последовательность линейных задач.

Авторами применялись МДД и МДН для решения задач с различными типами нелинейностей. Было замечено, что на сходимость этих методов влияет вид кривой, отображающей нелинейную характеристику, а именно - в направлении какой из координатных осей она выпуклая. Как показали многочисленные серии расчетов, характер сходимостей можно обобщить схемами, приведенными на рис. 1. На рис. 1а и 1б иллюстрируется применение МДД, а на рис. 1в и 1г - применение МДН для диаграмм, выпуклых относительно различных осей. По внешнему виду схемы сходимости можно подразделить на "пилообразную" итерационную последовательность решения (рис. 1б и 1в) и "петлеобразную" (рис. 1a и 1г).

Рис. 1. Схемы итерационного процесса для различных типов нелинейности: а, б - метод дополнительных деформаций; в, г -метод дополнительных напряжений

Расчеты показали, что "пилообразная" последовательность решения является более предпочтительной, чем "петлеобразная". Не было замечено случаев, когда бы "пилообразная" последовательность итераций расходилась. В случаях с "петлеобразной" последовательностью решения при определенных обстоятельствах наблюдалось увеличение размеров петли, т. е. процесс расходился.

Из анализа рис. 1 следует, что там, где МДД может не обеспечить сходимость, МДН справляется успешно, и наоборот.

Рис. 2. Схема итерационного процесса комбинированного метода (метода дополнительных деформаций и напряжений)

Рис. 2 демонстрирует схему итерационного процесса в соответствии с предлагаемым комбинированным методом (МДДН). Основную идею этого алгоритма можно сформулировать следующим образом. Если точка упругого решения на текущей итерации находится над кривой (точка 1), то следующее решение отыскивается по схеме МДН, а если ниже (точка 2), то по схеме МДД. Для этого зависимость напряжений от деформаций представлена в виде:

(2)

Уравнения (2) аналогичны уравнениям (1) упругой задачи при наличии одновременно начальных напряжений и начальных деформаций. Для удовлетворения физических зависимостей на каждой итерации определяются новые значения или дополнительных напряжений, или дополнительных деформаций.

Конечноэлементная система разрешающих уравнений имеет вид:

(3)

- матрица жесткости;

- вектор узловых перемещений;

- вектор узловых сил от внешних воздействий;

- вектор узловых сил от дополнительных деформаций;

- вектор узловых сил от дополнительных напряжений.

Опишем итерационную схему комбинированного алгоритма по рис. 2. На первой итерации вычисляются упругие напряжения и деформации от приложенной внешней нагрузки. При этом начальные деформации и начальные напряжения принимаются равными нулю. Допустим, что полученная точка находится выше кривой (точка 1 на рис. 2). Тогда определяем напряжения (), которые соответствуют рассчитанным деформациям и нелинейной характеристике (точка 1'), и вычисляем приращения дополнительных напряжений:

=-.

Начальные напряжения следующей итерации изменяются на величину приращений дополнительных напряжений . На следующей итерации по формуле (3) находим деформации и напряжения (точка 2). Таким образом на первой итерации. реализуется схема МДН.

Точка 2 находится ниже кривой . Следовательно, определяем те деформации (), которые соответствуют полученным напряжениям и нелинейной характеристике . Далее определяется приращения дополнительных деформаций и начальные деформации для следующей итерации. Таким образом реализуется схема МДД. Итерационный процесс заканчивается, когда приращения дополнительных деформаций и напряжений становятся меньше заранее заданной допустимой погрешности этих параметров. В итоге процесс решения в каждом нелинейном КЭ может сходиться либо по схеме МДД, либо по схеме МДН, либо по их комбинации (каждый из этих методов используется на некоторых этапах решения), независимо от схемы сходимости в других КЭ.

Рис. 3. Схема применения комбинированного метода (МДДН) для решения упругопластических задач со сложной диаграммой деформирования материала

На рис. 3 показано, что комбинированный метод и для решения упругопластических задач является более общим, так как позволяет учитывать различные варианты нелинейных свойств материала. Поскольку векторы напряжений и деформаций состоят в общем случае из шести компонент, то нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями материала должна быть описана через эквивалентные напряжения и деформации: итерационный алгоритм нелинейная конечный

,

где - нелинейная функция. При построении большинства теорий пластичности для сложного напряженного состояния используют гипотезу о существовании единой кривой деформирования материала (в эквивалентных напряжениях и деформациях - рис. 3). Характер этой кривой может быть достаточно сложным, и может появиться целесообразность применения для различных ее участков разных вариантов алгоритма решения пластических задач. На рис. 3 приведена диаграмма деформирования материала с площадкой текучести и нелинейным упрочнением. В частности, такая нелинейная характеристика может отображать интегральные свойства композиционного материала, состоящего из принципиально различающихся по свойствам компонентов. Например, возрастающая линия правого участка качественно соответствует нелинейно-упругому деформированию резины. На площадке текучести целесообразнее применять МДН, а на участке с таким типом упрочнения - МДД. Именно такая схема итерационного процесса изображена на рис. 3. В ходе итерационного процесса осуществляется переход от схемы МДН к методу МДД.

В некоторых случаях на диаграммах свойств КЭ проявляется скачкообразное изменение этих свойств. Рассмотрим в качестве примера нелинейные свойства слоев в зоне контактирования поверхностей (так называемого "третьего тела", или "контактной псевдосреды" [2-5]). В общем случае нормальные деформации контактной псевдосреды нелинейно зависят от нормальных напряжений в контакте (контактных давлений). При сухом контактировании эта взаимосвязь качественно отображается кривой линией, показанной на рис. 4а. Если после нагружения определенными давлениями приложить к контактной псевдосреде касательные усилия и измерить ее касательные деформации , то получим нелинейные зависимости, изображенные на рис. 4б. Сначала контактный слой нелинейно деформируется в пределах предварительного смещения. После достижения некоторого предельного значения касательного напряжения начинается относительное движение поверхностей при касательном напряжении (сопротивление трению скольжения меньше сопротивления трению покоя). Поэтому на рис. 4б имеется зона скачкообразного изменения свойств (вертикальные участки линий ), соответствующая переходу от состояния покоя в условиях предварительного смещения к процессу относительного скольжения поверхностей, которому соответствуют горизонтальные участки линий .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) б)

Рис. 4. Схематическое изображение графиков взаимосвязи напряжений и соответствующих перемещений контактного слоя в нормальном (а) и касательном (б) направлении

Если моделируются односторонние связи контактирующих поверхностей, то координаты можно отсчитывать только в сторону сжимающих нормальных напряжений и деформаций (рис. 4а). Силами сцепления поверхностей (например, адгезионными) обычно пренебрегают из-за их малости по сравнению со сжимающими контактными давлениями. В более общем случае учитывают для контактной псевдосреды различные модели взаимодействия поверхностей при их прижатии друг к другу и при приложении растягивающих нагрузок. В этом случае координаты отсчитываются в двух направлениях, причем график положительных (растягивающих) нормальных напряжений обрывается после достижения некоторого их предельного значения . Такие нелинейные свойства контактной псевдосреды можно задавать в МКЭ как нелинейные свойства контактных КЭ [2-5].

Другой вариант скачкообразного изменения свойств КЭ возникает, например, при моделировании процессов разгрузки и последующего нагружения нелинейно деформируемого материала. Характеристики повторного нагружения до некоторого уровня деформации имеют нулевые значения уровней напряжений. Разрывы на характеристиках КЭ появляются в том случае, когда нагрузка прикладывается неоднократно. На рис. 5а показана схема изменения свойств контактных КЭ в направлении нормали при первом и повторном нагружениях. Процесс деформирования при первом нагружении соответствует кривой, изображенной на рис. 1а, и отображается на рис. 5а линией со стрелкой 1. Если после достижения некоторого уровня нормальных напряжений внешнюю нагрузку снять, то процесс разгрузки произойдет по линии со стрелкой 2, а в контактных КЭ останется некоторый уровень остаточных деформаций . При последующем повторном нагружении этот уровень остаточных деформаций аналогичен зазору в данном КЭ. Если нагрузка прикладывается повторно, то сначала выбирается этот зазор при нулевых давлениях в КЭ, после чего процесс деформирования происходит по линии разгрузки (стрелка 3). После достижения давлений, равных максимальному давлению при первом нагружении , деформирование происходит опять по кривой начальных свойств КЭ (линия со стрелкой 4).

Рис. 5. Зависимость нормальных (а) и касательных (б) напряжений от соответствующих деформаций при сложном режиме нагружения

На рис. 5б приведена схема деформирования при неоднократном приложении касательных напряжений к контактному КЭ. Стрелкой 1 указана кривая первоначального нагружения в пределах предварительного смещения. Уменьшение касательного напряжения приводит к нелинейной разгрузке по линии, отмеченной стрелкой 2. Последующее повторное нагружение (стрелка 3) до уровня достигнутых ранее напряжений происходит по линии разгрузки, а выше этого уровня напряжений - по линии предварительного смещения (стрелка 4). Проскальзывание с трением отмечено стрелкой 5, а последующая разгрузка - стрелкой 6.

Применяемая в сочетании с МКЭ дискретизация временной оси позволяет рассматривать практически любой характер изменения внешних воздействий на объект во времени. Высокопроизводительные ЭВМ позволяют прикладывать внешние нагрузки по малым шагам и отыс.кивать решение на каждом шаге. Таким образом, фактически моделируется реальный процесс нагружения с учетом истории изменения внешнего воздействия. Можно моделировать процессы разгрузки, появления остаточных напряжений и деформаций, последующие этапы повторного нагружения. В частности, кривые, изображенные на рис. 5, получены расчетным путем с применением МДДН.

Разрывы на характеристиках КЭ могут существовать и для их исходного состояния. В частности, зазоры между контактирующими поверхностями можно задавать как разрывные свойства контактных КЭ. Такой прием позволяет внешнюю нелинейность (определяемую нелинейными граничными условиями на поверхности контакта) свести к внутренней нелинейности самих контактных КЭ. Стадия определения границ площадки контакта может быть реализована в рамках механики контактной псевдосреды [2-5] как решение задачи со специфическими свойствами контактных КЭ, учитывающих не только нелинейное деформирование слоя, но и наличие исходного зазора между поверхностями. Можно не использовать прием включения-выключения контактных КЭ в зону контактирования, требующий применения внешнего итерационного цикла для поиска площадки контакта. В рамках механики контактной псевдосреды используются контактные КЭ, которые всегда включены в схему расчета. Но они наделены индивидуальными свойствами в зависимости от их геометрического положения: начальный зазор включен в свойства контактных КЭ. Подобные элементы в пределах сближения не оказывают сопротивления внешней нагрузке. Такой подход сводит задачу о контактировании тел с различной геометрией (внешней нелинейностью) к задаче с внутренней нелинейностью, определяемой свойствами контактных КЭ.

Рис. 6. Схема сходимости алгоритма определения касательных контактных напряжений

Отметим сложности реализации решений задач, в которых имеются нелинейные характеристики, такие, как на рис. 4. Во-первых, имеются разрывы характеристик вследствие различия трения покоя и трения скольжения (рис. 4б). Во-вторых, характеристики нормальной и касательной контактной жесткости (рис. 4) выпуклы относительно различных осей и для обеспечения "пилообразной" итерационной последовательности требуют применения различных методов. Таким образом, необходимо использовать в одном и том же контактном КЭ для одной компоненты НДС МДД, а для другой компоненты - МДН. В-третьих, при решении контактных задач с учетом касательных напряжений должно учитываться влияние величины нормальных напряжений (контактных давлений) на зависимость касательных напряжений от касательных (сдвиговых) деформаций. Для этого сначала решается контактная задача без учета касательных напряжений, после чего решение уточняется с целью учета нелинейных свойств как в нормальном, так и в касательном направлении. В качестве начального приближения для текущего уровня внешней нагрузки используется решение задачи с учетом нелинейных зависимостей для контактного слоя только в нормальном направлении. Опыт расчетов показал, что при последующем учете нелинейностей в касательном направлении величина нормальных напряжений в каждом контактном КЭ в большинстве случаев меняется незначительно в одной итерации. Такой прием последовательного учета нелинейностей обеспечивает сходимость итерационного процесса. Например, на рис. 6 нагрузка приложена по частям и для каждого уровня нагрузки демонстрируется процесс сходимости касательных напряжений.

Бывает необходимость решать более сложные задачи с учетом взаимовлияния более двух нелинейных характеристик, например, объемные контактные задачи с учетом отличающихся касательных свойств в различных направлениях.

Рис. 7. Объемный контактный конечный элемент в локальных осях координат

На рис. 7 приведена схема объемного контактного КЭ в преобразованных локальных координатах. Кроме деформирования по нормали к поверхности контакта (по оси Z) возможно его касательное деформирование (деформации и ). В общем случае свойства такого объемного контактного КЭ можно описать зависимостями напряжений от деформаций в каждом из трех перечисленных направлений: одной зависимостью вдоль оси Z и двумя вдоль взаимоперпендикулярных касательных направлений. Свойства в разных касательных направлениях могут существенно различаться:

.

При решении такой объемной контактной задачи выполняется поиск дополнительных напряжений и деформаций для всех трех указанных направлений. Так как касательные свойства контактной псевдосреды зависят от величины нормальных напряжений, для каждого уровня приложенной нагрузки сначала вычисляется величина нормальных напряжений с нулевыми свойствами контактной псевдосреды в касательных направлениях. На следующих итерациях дополнительные напряжения и деформации вычисляются уже с учетом зависимостей для касательных напряжений в обоих направлениях.

Итак, построен новый итерационный алгоритм для решения конечноэлементных задач, в которых разрешающие уравнения могут иметь нелинейности различного типа. Этот алгоритм можно рассматривать как объединение существующих алгоритмов; он реализует возможность применения при расчете того из них, который гарантирует сходимость итерационной процедуры. В одной и той же расчетной схеме, но в разных КЭ с различными типами нелинейностей одновременно могут использоваться различные варианты итерационных процедур. Кроме того, даже в одном и том же КЭ могут использоваться различные варианты итерационных процедур, если нелинейные характеристики для разных компонент НДС соответствуют нелинейностям различного типа.

Список литературы

1. Машиностроение: энциклопедия. - М.: Машиностроение, 1994. - Т. I-3. - Кн. 1. - 534 с.

2. Бабин, А.П. Конечноэлементный алгоритм решения контактных задач с учетом нелинейных эффектов /А.П. Бабин// Динамика, прочность и надежность транспортных машин. - Брянск: БГТУ, 2002. С. - 138-148.

3. Зернин, М.В. К исследованию контактной жесткости с использованием модели механики контактной псевдосреды /М.В. Зернин, А.П. Бабин// Заводская лаборатория. -2001. - Т. 67. - №6. - С. 51-54.

4. Бабин, А.П. Учет влияния нелинейных свойств поверхностных слоев при конечноэлементном решении задач о контактном взаимодействии деформируемых тел /А.П. Бабин, М.В. Зернин// Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2008. - № 3. - С. 3-16.

5. Бабин, А.П. Конечноэлементное моделирование контактного взаимодействия с использованием положений механики контактной псевдосреды /А.П. Бабин, М.В. Зернин //Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2009. - №4. - С. 84-107.

Размещено на Allbest.ru