Решение практических задач по числовым рядам
Методика проверки выполнения необходимого признака сходимости числового ряда. Анализ ключевых особенностей разложения функции определенного интеграла в последовательность Маклорена. Порядок расчета необходимого интервала сходимости степенного ряда.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.05.2018 |
| Размер файла | 47,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
1. Исследовать сходимость числового ряда
Решение.
Проверим выполнение необходимого признака сходимости:
Общий член ряда
Т.к. не выполняется необходимый признак сходимости, следовательно, данный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
2. Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера.
Ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
3. Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Исследуем на сходимость, используя радикальный признак Коши.
Поскольку:
то на основании радикального признака Коши ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
4. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
Решение.
Данный ряд является знакочередующимся, поэтому проверим выполнений условий признака Лейбница. Т.к.
,
условия признака Лейбница не выполнены. Следовательно, наш знакочередующийся ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
5. Найти область сходимости степенного ряда
Решение.
Для вычисления радиуса сходимости применим формулу
где:
Получим:
.
Итак, радиус сходимости ряда . Определим интервал сходимости данного степенного ряда:
.
Т.о., - интервал сходимости степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При получаем числовой ряд:
Этот числовой ряд расходится, так как общий член ряда:
,
не стремится к нулю:
,
т.е. не выполняется необходимый признак сходимости ряда. На границе получаем ряд:
который расходится по той же причине. Значит, исходный ряд сходится только внутри интервала сходимости, т.е. при .
Ответ:
6. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать
Решение.
Т.к. разложение функции в ряд Маклорена имеет вид:
,
то подставляя в это разложение вместо х переменную , получим:
Тогда:
числовой ряд сходимость интеграл
Используя это разложение и почленно интегрируя, получим:
Т.к. при вычислении интеграла мы получили знакочередующийся числовой ряд, то отбросив при вычислении его сумм все члены, начиная с третьего члена , мы допустили ошибку, не превышающую первого отброшенного члена. Поскольку же , то наш интеграл вычислен с точностью до 0,001.
Ответ:.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010Интервал сходимости степенного ряда, исследование его сходимости на концах этого интервала. Решение дифференциальных уравнений и частных решений, удовлетворяющих начальному условию. Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменных.
контрольная работа [72,2 K], добавлен 08.04.2013Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Рассмотрение особенностей сравнения рядов. Характеристика признаков сходимости Даламбера. Критерий Коши как ряд утверждений в математическом анализе. Анализ геометрической интерпретации интегрального признака. Способы определения сумы числового ряда.
контрольная работа [214,6 K], добавлен 01.03.2013Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.
методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010Понятие знакочередующихся рядов. Последовательность частичных сумм четного и нечетного числа членов. Исследование сходимости ряда. Проверка выполнения признака Лейбница. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда.
презентация [82,8 K], добавлен 18.09.2013Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010
