О возможности аналитического продолжения в область функций, заданных на части границы

Размещено на http://www.allbest.ru/

О возможности аналитического продолжения в область функций, заданных на части границы

Ишанкулов Т. Ярмухамедов Д.

Пусть односвязная область на комплексной плоскости , ограниченная отрезком действительной оси и гладкой кривой , лежащей в верхней полуплоскости. В работе В.А. Фока и Ф.М. Куни получен критерий аналитической продолжимости в область функции из [8].

Теорема Фока-Куни имела продолжение в многочисленных публикациях [1,7,9,10].

В данной работе получен аналог теоремы Фока-Куни в круге. Пусть единичный круг с центром в нуле, и точки единичной окружности Дугу окружности обозначим, через .

Как известно [2] гармоническая мера дуги относительно круга определяется равенством

Пусть аналитическая функция в круге такая, что .

Приведем формулу типа Карлемана [4,11], выражающая значения функции внутри круга через ее предельные значения на дуге .

Теорема 1. Для функции справедливы две эквивалентные формулы продолжения

Доказательство этой теоремы в более общем виде приведено в [3] .

Используя формулы (2) и (2а) можно получить критерий разрешимости задачи аналитического продолжения, т.е. аналог теоремы Фока-Куни в круге. С этой целью рассмотрим вспомогательную область .

Теорема 2. Пуcть заданная на и удовлетворяющая условию Липшица функция.

Тогда:

1) Если существует функция такая, что при , то несобственный интеграл

2)

равномерно сходится на каждом компакте

2) Если удовлетворяет условию (3), то существует функция равная на .

Доказательство. Пусть, существует функция , равная на . Покажем выполнение условия (3). Так, как функция аналитическая в области , функция

при является аналитической по в области и непрерывной на. В силу теоремы Коши, получим

или

Из равенства (4) при имеем

где

Из равенства (5) следует выполнение условия (3).

2) Пусть функция удовлетворяет условию (3). Покажем, что существует функция , равная на дуге . Рассмотрим функцию, которая определяется правой частью (2а), если заменить там на . Первое слагаемое в выражении интеграл типа Коши есть аналитическая вне функция от , разность предельных значений которой снизу и сверху от равна . Второе слагаемое в , благодаря (3) есть аналитическая функция от в области . Следовательно, выражение определяет некоторую аналитическую внутри функцию и некоторую аналитическую в области функцию , причем

Кроме того, если одна из этих функций является непрерывной в своей области определения вплоть до , то другая тоже обладает этим свойством [6]. С другой стороны функция равняется выражению, которое будет стоять в правой части (2), если заменить там на . Для любой компактной подобласти и выполняется неравенство . Поэтому при . В силу теоремы единственности , так что при . Таким образом функция продолжается непрерывным образом на. Но тогда тоже непрерывно продолжается на . Из равенства (6) вытекает , . Отсюда следует утверждение теоремы, в качестве функции можно взять функцию .

Пусть на комплексной плоскости задан невырожденный ограниченный континуум с односвязным дополнением , т.е. ограниченное замкнутое и связное множество , которое содержит более одной точки и дополнение которого есть односвязная область . По теореме Римана о конформном отображении существует единственная мероморфная в области функция , которая отображает область конформно и однолистно на область . Через , обозначим линию на плоскости , которая при отображении переходит в окружности . Всякая линия при определяет две канонические области: внутренность и внешность .

Пусть область, ограниченная кривой и гладкой открытой дугой , соединяющей двух точек и лежащей внутри . Кроме того континуум лежит вне . Считаем, что ориентирована, как часть границы .

Обозначим

Теорема 3. Если , то для существования функции такого, что необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость. Обозначим

Тогда используя теорему Коши, имеем

где . Из (8), получаем

Кроме того

Следовательно

Из неравенства (9), получаем

откуда при приходим к (7).

Достаточность. Рассмотрим интеграл типа Коши

который задает голоморфную в функцию и голоморфную в области функцию . Разность предельных значений по нормалям (или по углам определенного раствора, а соответствующие точки и при стремлении к точке , находятся на равных расстояниях от ) на равна :

причем если одна из функций и непрерывна в соответствующей области вплоть до , то другая тоже обладает данным свойством.

Возьмем таким образом, чтобы область . Разлагаем интеграл (10) в области в ряд Фабера [5]:

Отсюда получаем, что коэффициенты этого ряда равны :

Из разложения (12) и условия (7) следует, что голоморфна во всей области . Тогда и в силу равенства (11) можно положить . Теорема доказана.

Если множество есть круг , то отображающая функция имеет вид:

Следовательно, в этом случае многочлены Фабера суть целые неотрицательные степени отображающей функции. Из теоремы 3 следует теорема Айзенберга.

Когда есть отрезок действительной оси . Функция отображает эллипс которой задается уравнением

в окружность . Область в этом случае ограничена эллипсом и гладкой кривой , соединяющей две точки и лежащей внутри . Предположим, что отрезок лежит вне .

Здесь полиномы Фабера, превращается в полиномы Чебышева и из теоремы 3 получается следующее следствие.

Следствие. Если , то для существования такой функции что необходимо и достаточно, чтобы

Литература

теорема фок куни круг

1. Айзенберг Л.А., Кытманов А.М. О возможности голоморфного продолжения в область функций заданных на связном куске ее границы // Мат. сб. 1991. Т.182, №4. с. 490-507.

2. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М. Наука 1979.

3. Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Карлемана // Мат. сб. 1933. Т.40, №2. с. 144-149.

4. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск. Изд-во СОРАН, 1962.

5. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том 2. М. 1968.

6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М. Физматгиз 1962.

7. Тарханов Н.Н. Критерий разрешимости некорректный задачи Коши для эллиптических систем // Докл. АНСССР. 1989. Т.308, №3, с. 531-534.

8. Фок В.А., Куни Ф.М. О введении «гасящей» функции в дисперсионные соотношения // Докл. АНСССР, 1959. Т.127, №6. с. 1195-1198.

9. Шлапунов А.А. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, с. 205-215.

10. Ярмухамедов Ш. Интегральные представления CR-функции и голоморфное продолжение // Докл. РАН. 1995. Т.341, №5. с. 600-602.

11. Carleman T. Les functions quasi analitiques. Paris-Gauthier-Villars. 1926.

Размещено на Allbest.ru