Моделирование физико-структурных характеристик композитных материалов с частицами неизометрических форм
Методы математического моделирования структуры композитных материалов. Математические модели случайного заполнения матричных структур. Свойства материалов от моноатомарных жидкостей до материалов типа бетонов с различными размерами элементов композиций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.05.2018 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 7, №4 (июль - август 2015) http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru
Размещено на http://www.allbest.ru/
http://naukovedenie.ru 09TVN415
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 7, №4 (июль - август 2015) http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru
1
http://naukovedenie.ru 09TVN415
ФГБОУ ВПО "Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет"
Моделирование физико-структурных характеристик композитных материалов с частицами неизометрических форм
Алхалуш Мохаммед, аспирант
Аннотации
Разработаны математические модели случайного заполнения матричных структур, которые представляют собой розыгрыш координат пакуемых сфер с равномерным распределением по объему пакуемого контейнера и которые могут быть использованы для исследования физико-структурных свойств и композиций материалов методом статистических испытаний отдельных случайных заполнений. Моделирование позволяет учесть более тонкие структурные особенности композиций, которые не удается фиксировать экспериментальными методами. Исследования проводятся современными компьютерными средствами, позволяющими производить большой объем необходимых вычислений с высокой точностью и в короткое время. Исследования методами математического моделирования структуры композитных материалов позволяют гибко и оперативно производить необходимые поправки и уточнения методики исследования. Эти методы позволяют исследовать свойства широкого класса материалов от моноатомарных жидкостей до материалов типа бетонов с различными размерами элементов композиций различной формы.
Ключевые слова: композит; объемная концентрация; критическая концентрация; теория "просачивания"; кластер; проводимость; модель.
Mathematical models of casual filling of matrix structures which represent draw of coordinates of packed spheres with uniform distribution on the volume of the packed container and which can be used for research of fiziko-structural properties and compositions of materials by method of statistical tests of separate casual fillings are developed. Modeling allows to consider thinner structural features of compositions which don't manage to be fixed by experimental methods. Researches are conducted by the modern computer means allowing to make large volume of necessary calculations with high precision and in a short space of time. Researches by methods of mathematical modeling of structure of composite materials allow to make flexibly and quickly necessary amendments and specifications of a technique of research. These methods allow to investigate properties of a wide class of materials from monoatomic liquids to materials like concrete with various sizes of elements of compositions of various form.
Keywords: composite volume concentration; critical concentration; the theory of "trickle down" cluster conductivity; models.
Основное содержание исследования
Некоторые физико-структурные характеристики композитных материалов зависят от геометрической формы частиц заполнителя, исследование которых на математических моделях сопряжено с учетом отклонения их формы от сферической. В этом случае следует строить случайные заполнения принятого объема материала несферическими элементами. Моделирование упаковок сферическими и несферическими элементами подчиняется некоторым общим принципам, заключающимся в случайном розыгрыше параметров этих элементов и их расположении в пространстве (в упаковке), последовательности пакования этих элементов, в методах построения алгоритмов и программ. В основу процесса заполнения входит проверка условий непересечения элементов случайного заполнения, как между собой, так и с границами гипотетического контейнера.
Однако принципиальное отличие заполнений сферическими и несферическими элементами заключается в том, что число обобщенных координат каждого элемента значительно больше по сравнению со сферическими элементами, а количество их определяется формой частиц в упаковке. В этих случаях значительно возрастают трудности анализа условий непересечения элементов друг с другом и с гранями контейнера. Причем, если случайное заполнение представлено элементами одной формы, эти условия могут быть систематизированы. Если частицы в упаковке имеют разную форму, то число различных видов сравнения разноименных элементов определяется номинальным коэффициентом из числа форм по два, усложняя программу моделирования и приводя к резкому возрастанию затрат машинного времени. В этом случае приходится оптимизировать процедуру выбора форм элементов заполнения и их представительного количества в упаковке.
Элементы упаковок по форме можно качественно разделить на три группы: с округлой формой, с многогранной формой и комбинированные. Рассмотрим формирование условий непересечения элементов модели упаковок друг с другом и с гранями контейнера для различных форм элементов заполнения. Элементы округлой формы могут быть представлены в виде круглого цилиндра со сферическими основаниями, эллипсоидов вращения, трехосных эллипсоидов и т.д. Ограничимся рассмотрением только этих трех форм элементов.
Упаковка круглых цилиндров со сферическим основанием. Каждый элемент описывается семью обобщенными координатами центров оснований и радиусом сечения цилиндра. Условия непересечения (рис.1) сфер оснований цилиндров представляют собой неравенства:
где n - число упакованных элементов; индексы I и j обозначают номер элемента в упаковке; k, p - номера оснований цилиндра.
Рис. 1. Схема упаковки не пересекающихся круглых цилиндров со сферическими основаниями
К условиям (1) необходимо добавить условия непересечения сфер оснований одного цилиндра с поверхностью другого. Для чего необходимо опустить перпендикуляры из центров оснований одного цилиндра на ось другого и найти точку их пересечения, решая затем систему уравнений прямой оси и плоскости, ей перпендикулярной и проходящей через центр основания другого цилиндра:
Если обозначить решения системы (2) через координаты точки , которая лежит между основаниями цилиндров, т.е.
то условие, при котором расстояние между точкой основания перпендикуляра и точкой, из которой опущен этот перпендикуляр, должно быть не менее суммы радиусов обоих цилиндров:
Для проверки условия пересечения цилиндрических участков элементов достаточно при фиксированном положении центра одного основания смещать центр другого основания по оси цилиндра в сторону первого основания, непрерывно проверяя при этом условия (2) и (3). Прямое решение этой задачи затруднительно.
Условие непересечения цилиндров с гранями гипотетического контейнера кубической формы, совпадает с условием непересечения с этими гранями обеих сфер оснований.
Упаковка эллипсоидов. Каждый элемент в упаковке описывается девятью обобщенными координатами: координатами центра, длинами трех полуосей и трех узлов Эйлера (направляющих осей эллипсоида). Эллипсоиды вращения являются частным случаем трехосного эллипсоида, в котором две оси совпадают. Поэтому, эллипсоиды вращения полностью описываются восемью обобщенными координатами.
Непересечение двух эллипсоидов связано с выполнением условия отсутствия корней системы двух эллиптических уравнений. В этом случае из уравнений эллипсоидов определяется в явном виде одна из координат, например аппликата z, и для эллипсоида с большей аппликатой центра берется радикал с отрицательным знаком, а в другом - с положительным. Находится методом наискорейшего спуска минимум величины разности вычитания из первого уравнения второго. Эллипсоиды не пересекаются, если этот минимум не отрицателен. Аналогично определяют условия непересечения эллипсоидов с границами гипотетического контейнера. Так как нет аналитического описания этих условий, то решения уравнений отыскиваются численными методами, используя следующую последовательность операций элементы определителя преобразований через l, m, n и т.д.:
композитный материал математическое моделирование
где ц - угол вращения вокруг новой оси аппликат; ш - угол прецессии (между осью абсцисс и прямой пересечения координатных плоскостей с постоянной аппликатой); и - угол нутации (между осями аппликат); l, m, n, … - элементы определителя преобразований.
Углы j,--y,--q--являются обобщенными координатами эллипсоида в пространстве.
Учитывая обозначения (5) уравнению i-гo эллипсоида придаем следующий вид:
где Xi, Yi, Zi - координаты эллипсоида; ai, bi, ci - длины полуосей его - тоже обобщенные координаты i-гo эллипсоида.
Из уравнения (6) определим z в виде выражения
где Fi (X,Y) и gi (X,Y) - многочлены второй степени, определяемые коэффициентами
преобразования (5) и другими обобщенными координатами.
Для определения непересечения i-гo и j-го эллипсоидов рассмотрим выражение:
представляющее собой разницу нижней части кривой построенной по выражению (7) и i-гo эллипсоида и верхней части j-го эллипсоида, если Zi>Zj. В области определения цij (X,Y) это выражение имеет положительный минимум при не пересечении эллипсоидов, т.е., если
то все n эллипсоидов образуют упаковку непересекающихся элементов.
Упаковка выпуклых многогранников. В моделях упаковок выпуклых многогранников обобщенными координатами служат координаты всех вершин. При моделировании этих заполнений, несмотря на кажущееся разнообразие форм многогранников, все они могут образовывать заполнение по единообразным алгоритмам и программам. При этом могут моделироваться заполнения элементов как с однотипной, так и с не однотипной формой, а также с разным числом вершин. В этом случае необходимо задаваться лишь их максимальным числом.
Сформулируем условия непересечения двух многогранников. В каждом многограннике образуем множество комбинаций из трех вершин и проведем через них семейство плоскостей. Очевидно, что эти плоскости будут или проходить сквозь многогранник (пересекать его), или включать в себя его грани. Если провести проверку на непересечение всех ребер с отрезками прямых, заключенных между любыми двумя вершинами одного многогранника, со всеми гранями указанного семейства другого многогранника, а затем эту же процедуру повторить в обратной последовательности, то можно сделать заключение о пересечении этих многоугольников. Рассмотрим эту процедуру подробнее.
Выберем из j-го многогранника (рис.2) любые три вершины, а в i-м-любое ребро.
Рис.2. Пересечение ребра одного многогранника гранью другого
Точка пересечения прямой, совпадающей с ребром и плоскостью через указанные три вершины, определяется из решения системы уравнений:
Если решением системы является точка (X0, Y0, Z0), то в случае, если грань и ребро пересекаются, эта точка должна принадлежать ребру, т.е.
При этом в соотношениях (12) достаточно проверить только любые два неравенства.
Таким образом, невыполнение хотя бы одного из условий (11) и (12) указывает на то, что данное ребро не пересекает выбранную грань. Невыполнение же этих условий для всех ребер и граней i-го и j-го многогранников свидетельствует о их непересечении. Для того чтобы многогранники полностью находились внутри гипотетического контейнера, необходимо, чтобы все вершины лежали внутри него.
Разработанные математические модели случайного заполнения представляют собой розыгрыш координат пакуемых сфер с равномерным распределением по объему пакуемого контейнера. Они могут быть использованы для исследования физико-структурных свойств и композиций методом статистических испытаний отдельных случайных заполнений. Моделирование позволяет учесть более тонкие структурные особенности композиций, которые не удается фиксировать экспериментальными методами. Исследования проводятся современными компьютерными средствами, позволяющими производить большой объем необходимых вычислений с высокой точностью и в короткое время. Исследования методами математического моделирования структуры композитных материалов позволяют гибко и оперативно производить необходимые поправки и уточнения методики исследования.
Эти методы позволяют исследовать свойства широкого класса материалов от моноатомарных жидкостей до материалов типа бетонов с различными размерами элементов композиций различной формы [5-9].
Литература
1. Лычев А.С., Пименова Э.В. Получение математических моделей прочности бетонов для оперативного регулирования их составов // Надежность и контроль качества строительных конструкций: Сб. научн. трудов / КИСИ. - Вып.4 - Куйбышев, - 1976. - С.37…42.2 Лычев А.С. Вероятностные методы расчета строительных элементов и систем: Учебное пособие. Самарская государственная архитектурно-строительная академия. Самара: 1995. - 160 с.
2. Оделевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем // ЖТФ. - 1951. Т.21. №6. - С.667 - 685.
3. Илюхин А.В., Колбасин А.М., Марсов В.И. Формирование оптимальной структуры асфальтобетонной смеси с пуассоновским распределением частиц / Строительные материалы. 2012. №9. - С.47 - 50.
4. Статистические методы контроля качества при производстве цементобетона и цементобетонных смесей / Васильев Ю.Э., Полянский В.Г., Соколова Е.Р., Гарибов Р.Б., Кочетков А.В., Янковский Л.В. // Современные проблемы науки и образования. 2012. №4. С.101.
5. Проблемы долговечности цементных бетонов / Рапопорт П.Б., Рапопорт Н.В., Кочетков А.В., Васильев Ю.Э., Каменев В.В. // Строительные материалы. 2011. №5. С.38-41.
6. Совершенствование структуры отраслевой диагностики федеральных автомобильных дорог / Аржанухина С.П., Кочетков А.В., Козин А.С., Стрижевский Д.А. // Интернет-журнал Науковедение. 2012. №4 (13). С.70.
7. Адаптивное управление подвижностью при дискретном производстве цементобетонных смесей / Васильев Ю.Э., Каменев В.В., Кочетков А.В., Шляфер В.Л. // Вестник Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ). 2011. №2. С.96-100.
8. Диагностика и паспортизация элементов улично-дорожной сети системой видеокомпьютерного сканирования / Васильев Ю.Э., Беляков А.Б., Кочетков А.В., Беляев Д.С. // Интернет-журнал Науковедение. 2013. №3 (16). С.55.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Сущность математического моделирования. Аналитические и имитационные математические модели. Геометрический, кинематический и силовой анализы механизмов подъемно-навесных устройств. Расчет на устойчивость мобильного сельскохозяйственного агрегата.
курсовая работа [636,8 K], добавлен 18.12.2015Математическое моделирование задач коммерческой деятельности на примере моделирования процесса выбора товара. Методы и модели линейного программирования (определение ежедневного плана производства продукции, обеспечивающей максимальный доход от продажи).
контрольная работа [55,9 K], добавлен 16.02.2011Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности. Оценка статистических характеристик случайного процесса.
курсовая работа [744,3 K], добавлен 07.06.2010Соотношение между удельным весом и плотностью. Кинематическая и динамическая вязкость жидкостей и газов; уравнение Бернулли для идеальной и реальной жидкостей. Порядок расчета сопротивления слоя зернистого материала. Методы очистки газов от пыли.
контрольная работа [433,5 K], добавлен 07.06.2011Основные положения теории математического моделирования. Структура математической модели. Линейные и нелинейные деформационные процессы в твердых телах. Методика исследования математической модели сваи сложной конфигурации методом конечных элементов.
курсовая работа [997,2 K], добавлен 21.01.2014Изучение актуальной задачи математического моделирования в биологии. Исследование модифицированной модели Лотки-Вольтерра типа конкуренция хищника за жертву. Проведение линеаризации исходной системы. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.
контрольная работа [239,6 K], добавлен 20.04.2016Математические модели технических объектов и методы для их реализации. Анализ электрических процессов в цепи второго порядка с использованием систем компьютерной математики MathCAD и Scilab. Математические модели и моделирование технического объекта.
курсовая работа [565,7 K], добавлен 08.03.2016Использование формул объема прямоугольного параллелепипеда и площади прямоугольника при расчете расходных материалов для изготовления различных упаковок. Осуществление связей математики с окружающим миром в целях улучшения экономичности упаковки чая.
научная работа [44,6 K], добавлен 11.01.2010Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011Компьютерное моделирование в базовом курсе информатики. Роль компьютерного моделирования в процессе обучения. Методические рекомендации курса "Математические основы моделирования 3D объектов" базового курса "компьютерное моделирование".
дипломная работа [284,6 K], добавлен 07.07.2003
