Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 517.22

СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛЫ НАХОЖДЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ЩВАРЦА

Т.А. Муканов

Описаны следствия из нахождения обобщенной производной Шварца и доказываются теоремы признаков дифференцируемости ОПШ, в отличие от функций дифференцируемых по Ньютону.

Пусть задана определенная функция на промежутке [a, в] y=f(x) и x=x0 произвольная функция точки промежутка[a, в].

Определение 1. Функция называется дифференцируемой по Ньютону

в.т х0, если существует производная функции, определенная равенством дифференцируемость функция шварц формула

,

где приращение аргумента в т. х0 , а разность

есть приращение функции.

Как известно, необходимым и достаточным условием диф-ти ф-ии является выполнения условия

,

где

левая производная, а

правая функции.

Пусть функция задана равенством

и непрерывна в. т х0, но не дифференцируемая по Ньютону в этой точке, т. е. выполняется условия (4), но

Определение 2. Если существует конечный предел

то функция называется дифференцируемой по Щварцу в т. х0 и производная Щварца.

Как известно, производная Шварца находится формулой

.

Определение 3. Конечный предел

где и

называется обобщенной производной Шварца в т. х0. Обобщенная производная Шварца (ОПШ) находится по формуле

.

Доказательство формулы (9) следует из последовательности равенств

Введя параметры (10), и с учетом того, что(11) формулу (9) преобразуем к виду

где

Очевидно, если то , и ,

Так же ,если то r=1, >0 и

Из определения ОПЩ следует истинность теоремы.

Теорема 1. Для того что бы функция f(x) была дифференцируема по Щварцу в т. х0 необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

где . Из равенства (15) с учетом формулы (9) получим

,

или ,

Доказательство равенства (17) получим непосредственно, если воспользуемся существованием левой и правой производных по Ньютону. Действительно,

т. к. существует правая производная, так же

,

т. к. существует левая производная.

Вычитая из (18) равенство (19) и обозначая получили формулу (17).

Из формулы (17) заключаем, что для малых значений h найдутся значения такие, что имело место равенство

Формула (19 ) является аналогом формулы Лагранжа конечных приращений классического анализа.

Пусть функция непрерывна на и дифференцируема по Ньютону на промежутке за исключением точки. х0 , но дифференцируема по Щварцу в этой точке, не имеет ОПЩ. Так же предположим, что в т. х0 функция имеет максимум, т. е. и . Далее, предположим, что В этом случае график функции в т. x0 имеет излом в виде вершины М0

М0 L1 - левая касательная прямая к графику в т. М0 , а М0 L2 - правая касательная прямая к графику функции в т. М0. Пусть прямая М1 М2 параллельно оси Ох и N1 и N2 точки пересечения прямой M1 M2 соответственно с левой и правой касательными прямыми М0 L1 и M0 L2. Уравнениями касательных прямых будут, соответственно, М0 L1 :

Тогда N1 соответствует некоторому значению , а точка N2 некоторому значению . Тогда так как точки M1, N1, N2, M2 имеют равные ординаты получим:

.

Отсюда или (20) . Из равенства (20) и формулы нахождения ОПЩ, получим что (21) Итак, доказали теорему :

Теорема 2. Если функция дифференцируема по Ньютону слева и справа т.х0 а в самой точке х0 дифференцируема по Щварцу и в этой точке имеет максимум, то найдутся значения параметров и такие, что выполняется равенство (21).

Теорема 2 является аналогом теоремы Ролля классического анализа .

Решая нижеследующее линейное алгебраическое уравнение относительно r; найдем (22) при котором Так значение r всегда существует, так как

Учитывая равенство (10) из (22) имеем . Отсюда . Из последнего равенства находим , т. е.

При этих значениях выполняется условия (20) и (21) в которых ОПЩ равна нулю.

Рассмотрим следующий пример:

, т. е.

В точке х0=1 данная функция не дифференцируема по Ньютону , но дифференцируема по Щварцу и ОПЩ равна т. к. ш! (1+0)= - 1, ц! (1-0)=2 и в силу равенства (22)

Так как , то в т. х0=1 функция имеет максимум и max.

Литература

1. Натансон И. П. Теория функций вещественных переменных. -М.: Наука, 1984.

2. Муканов Т. А. Формула нахождения обобщенной производной Щварца. //Материалы научно-практической конференции, посвященной 60-летию образования Иссык-Кульской области. -Каракол, 2001.

Размещено на Allbest.ru