Аналитическое решение одномерного нестационарного уравнения конвективно-диффузионного переноса неконсервативных примесей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналитическое решение одномерного нестационарного уравнения конвективно-диффузионного переноса неконсервативных примесей

М.А. Волынов; А.Е. Гусев

Введение

Основными физическими процессами, влияющими на качество водного объекта, являются процессы конвекции и диффузии. Прогноз качества воды предполагает также анализ химических, биологических и физических процессов, однако, их описание в рамках единой математической модели нецелесообразно. Поэтому в большинстве моделей качества воды эти процессы характеризуются агрегированными соотношениями, включающими один-два параметра. Чаще всего для этих целей рассматривают биохимическое потребление кислорода (БПК) в результате бактериального окисления органических веществ и поступление кислорода в воду из атмосферы. Классическими уравнениями, описывающими процессы кислородного баланса, являются уравнения Стритера-Фелпса [1], которые широко вошли в практику [2].

Существуют более сложные модели, описывающие процессы неконсервативного переноса загрязняющих веществ, но точные расчеты гидродинамических процессов конвективно-диффузионного переноса (КДП) в пространстве и во времени и физико-химические превращения неконсервативных примесей в большинстве случаев были невозможны из-за громоздкости или отсутствия аналитических решений КДП. Полевые исследования и измерения процессов КДП в природных условиях трудны и дороги, кроме того, число возможных вариантов, как правило, во много раз превышает число реально существующих типовых объектов. Поэтому исследователи и проектировщики прибегают к численным методам расчета или к методам математического моделирования [3].

Нам представляется, что наиболее удобным и быстрым использованием уравнения конвективно-диффузионного переноса будет являться его аналитическое решение, которое представлено далее.

1. Исходные уравнения и начально-краевая задача

Рассмотрим одномерное нестационарное уравнение конвективно-диффузионного переноса неконсервативных примесей

, (1)

где С - концентрация загрязняющего вещества, мг/л; U - скорость потока воды, м/с ; t - время, с; D- коэффициент продольной диффузии; К₁ - коэффициент скорости распада загрязняющего вещества в воде в результате химической реакции первой степени. При этом K₁ > 0.

Уравнение (1) является дифференциальным уравнением в частных производных (ДОЧП) второго порядка. Методы решения данного уравнения основаны на сведении (1) к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) и дальнейшем его интегрировании. Существует несколько методов сведения (1) к ОДУ:

1. Нахождение автомодельного решения путем введения новой комплексной координаты и дальнейший переход к интегрированию ОДУ в координате . Данный метод также использован для нахождения решения (1) и получены идентичные результаты.

2. В данной работе рассматривается метод перехода к операционному исчислению путем введения преобразования Лапласа по временной координате.

Рассмотрим начально-краевую задачу (НКЗ) рассеивания на бесконечности, что вполне соответствует физическим представлениям процесса распространения примеси при условии, что K₁ > 0:

(2)

Очевидно, что НКЗ (2) описывает такой физический процесс переноса примеси в области с заданной постоянной по времени концентрацией С₀ от 0 до + по пространственной координате (по руслу реки), где 0 соответствует начальному створу.

2. Метод решения

Для решения уравнения (1) будем рассматривать операционное исчисление с использованием преобразования Лапласа по направлению переменной t.

Преобразование Лапласа - это преобразование, переводящее функцию f(t) действительного переменного t (0 < t < ?), называемую «оригиналом», в функцию

, (3)

комплексного переменного p = + i. Под преобразованием Лапласа понимают также не только само преобразование, но и его результат -- функцию F(p). Интеграл в правой части формулы (3) называется интегралом Лапласа [4].

В соответствии с правилами операционного исчисления для преобразования Лапласа (3):

; (4)

из начальных условий (2), откуда следует

, (5)

, (6)

Преобразовывая граничные условия (6), с учетом того, что L{0} = 0

. (7)

Будем считать, что коэффициент продольной диффузии D не зависит от координаты x и является постоянным. Данное предположение справедливо, если течение в реке является плавно изменяющимся. Очевидно, что в таком случае уравнение (1) перепишется в пространстве (p - x), при условии, что К₁ > 0 = const, к виду

. (8)

Так как зависит от x, то уравнение (8) запишется как обыкновенное дифференциальное уравнение вида

, (9)

Уравнение (9) является линейным уравнением второго порядка и имеет общее решение [6], при условии задания начальных (2) и граничных (6) условий в операторном пространстве

, (10)

Уравнение (10) есть решение начальной краевой задачи в пространстве (p - x). Чтобы получить решение в пространстве (t, x) необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа, вида

, (11)

Далее подставив уравнение (11) в (10), используя стандартные таблицы обратного преобразования Лапласа [6] и раскрывая радикал в (10) в ряд по аргументу, получаем

. (12)

В уравнении (12)

. (13)

есть дополнительная функция ошибок. Для численного вычисления (13) можно воспользоваться последовательностью A007680 в OEIS [6].

Очевидно, что решение уравнения (12) в пространстве (t, x) определяет скалярное поле С.

Анализ результатов

Для проведения анализа результатов полученного решения (10) проведем сопоставление с хорошо известным решением уравнения (1) для НКЗ (2) при стационарном распределении примеси, то есть C = f(x). Тогда частная производная по t в (1) равна 0 и решение для будет иметь вид [7]

, (14)

,

Очевидно, что решение (12) должно переходить в (14) при в (12).

Рассмотрим ряд случаев:

на всех графиках прерывистая линия - это решение при стационарном распределении примеси;

сплошная линия - решение при нестационарном распределении примеси.

1. В первом случае рассмотрим ситуацию, при которой нам известна начальная концентрация, начальная скорость, коэффициент скорости распада загрязняющего вещества, коэффициент линейной диффузии: С₀ = 1,0 мг/л; U₀ = 0,5 м/с; K₁ = 0; D₀ = 0,1; при различных значениях t.

Рис.1. Распределение концентрации примеси по длине для случая 1. Прерывистая линия - стационарное распределение, линия - нестационарное распределение через 1 с

Рис.2. Распределение концентрации примеси по длине для случая 1. Прерывистая линия - стационарное распределение, линия - нестационарное распределение через 50 с

При стационарном распределении примеси, физические параметры не зависят от времени.

Очевидно, что нестационарное решение в отличие от стационарного более точно описывает значение концентрации в нужный момент времени. При К₁ = 0, уравнение (13) имеет линейный характер. Как видно из графиков, решения сошлись только при .

2. Рассмотрим ситуацию, при которой начальная концентрация, начальная скорость и коэффициент линейной диффузии останутся неизменными, а коэффициент скорости распада ЗВ будет равен K₁ = 0,05: С₀ = 1,0 мг/л;

Рис.3. Распределение концентрации примеси по длине для случая 1. Прерывистая линия - стационарное распределение, линия - нестационарное распределение при t

U₀= 0,5 м/с; K₁ = 0,05; D₀ = 0,1; при различных значениях t.

Рис.4. Распределение концентрации примеси по длине для случая 2. Прерывистая линия - стационарное распределение, линия - нестационарное распределение через 0,1 с

Рис.5. Распределение концентрации примеси по длине для случая 2. Прерывистая линия - стационарное распределение, линия - нестационарное распределение через 10,0 с

При К₁ 0, уравнение (13) для данного случая при t + и заданными данными решения в числовом выражении будут иметь вид

.

Как видно из графиков, решения сошлись только при t .

Рис.6. Распределение концентрации примеси по длине для случая 2. Прерывистая линия - стационарное распределение, линия - нестационарное распределение при t

Рис.7. Распределение концентрации примеси по длине для случая 3. Прерывистая линия - стационарное распределение, линия - нестационарное распределение через 16 мин 20 с

Рис.8. Распределение концентрации примеси по длине для случая 3. Прерывистая линия - стационарное распределение, линия - нестационарное распределение при t

3. Рассмотрим еще два решения, при сохранившемся значении начальной концентрации, увеличившейся начальной скорости и большом коэффициенте линейной диффузии. Коэффициент скорости распада ЗВ будет равен K₁= 0,0005: С₀ = 1 мг/л; U₀ = 1,5 м/с; K₁=0,0005; D₀ = 5,5; при различных значениях t.

конвективный диффузионный примесь лаплас

Заключение

Применение стационарного уравнения конвективно-диффузионного переноса справедливо использовать в случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения. В то время как нестационарное уравнение оказывается более универсальным. На сегодняшний день последнее решалось различными способами: с помощью численных методов; с применением критериев подобия; аналитическое же решение представляется наиболее удачным в практическом и теоретическом применении. Применяя современное компьютерное оборудование, можно за короткий промежуток времени создавать новые математические модели, описывающие физические процессы распространения загрязнения. Аналитическое решение, позволяет оперативно определять через какое время в конкретной точке будет искомая концентрация вещества.

Библиографический список

1. Streeter H.W., Phelps E.B. A study of the pollution and natural purification of the Ohio river. U.S. Publ. Health Service Bull., Washington, 1925. No.146.

2. Пряжинская В.Г., Ярошевский Д.М., Левит-Гуревич Л.К. Компьютерное моделирование в управлении водными ресурсами. М.: Физматлит, 2002.

3. Дружинин Н.И., Шишкин А.И. Математическое моделирование и прогнозирование загрязнения поверхностных вод суши. - Л.: Гидрометеоиздат, 1989.

4. Диткин В.А. и Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М., 1961.

5. Bateman, H. and Erdelyi, A., Tables of Integral Transforms. Vols. 1 and 2, McGrawHillBook Co., New York, 1954.

6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976.

Размещено на Allbest.ru