Размещено на http://www.allbest.ru/

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА ЗАГРЯЗНИТЕЛЕЙ В ПОДЗЕМНЫХ ВОДАХ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

М.У. Мурзакматов

Разрабатывается алгоритм, позволяющий исследовать и решать прогнозные задачи фильтрации подземных вод и переноса загрязняющих веществ в пространственной постановке.

Для исследования процесса распространения загрязняющих веществ в подземных водах необходимо совместно решать уравнения неустановившегося движения жидкости и переноса загрязнителей. Пространственная модель этого процесса состоит из двух уравнений параболического типа с соответствующими начально-краевыми условиями [1,2]:

фильтрация алгоритм подземный загрязняющий

(x,y,z), t (1)

H(x,y,z,0)=H₀(x,y,z), (x,y,z), (2)

(x,y,z) (3)

(4)

(x,y,z) ,

C(x,y,z,0)=C₀(x,y,z), (x,y,z) (5)

(x,y,z) (6)

Здесь H=H(x,y,z,t)- функция напора подземных вод; T=T(x,y,z)- коэффициент водопроводимости; =(x,y,z)- коэффициент упругой водоотдачи; f=f(x,y,z,t)- функция, учитывая инфильтрацию, испарение, переток из нижележащих горизонтов, источники и стоки; H₀ =H₀(x,y,z)-начальное распределение напоров; =(x,y,z,t), =(x,y,z,t) - заданные функции; C=C(x,y,z,t)- функция концентрации загрязняющего вещества; D=D(x,y,z) - коэффициент переноса; m=m(x,y,z)- коэффициент пористости; g=g(x,y,z,t)- функция источников и стоков загрязняющего вещества; C₀=C₀(x,y,z) - начальное распределение концентрации; _c=_c(x,y,z,t), _c=_c(x,y,z,t) - заданные функции; V- область фильтрации, - ее граница; =(v_x, v_y,v_z) - вектор скорости фильтрации ( - коэффициент фильтрации), v_x=v_x(x,y,z,t), v_y=v_y(x,y,z,t), v_z=v_z(x,y,z,t) - составляющие скорости фильтрации; - внешняя нормаль к границе области фильтрации.

Задачи (1)-(3) и (4)-(6) решаем методом конечных элементов [2,3,4]. Разобьем область V на т тетраэдральных элементов и функцию C в элементе (e) представим в виде линейной комбинации значений этих функций в вершинах тетраэдра:

H^(e)(x,y,z,t)=H _i(t)N_i(x,y,z)+H_j(t)N_j(x,y,z)+ H_k(t)N_k(x,y,z)+H_l(t)N_l(x,y,z),

C^(e)(x,y,z,t)=C _i(t)N_i(x,y,z)+C_j(t)N_j(x,y,z)+ C_k(t)N_k(x,y,z)+ C_l(t)N_l(x,y,z),

где i, j, k, l- вершины тетраэдра (e), C_i(t)=C(x_i, y_i, z_i, t), …, N_i, N_j, N_k, и N_l- линейные базисные функции: N_s(x,y,z)=a_s+b_sx+c_sy+d_sz, s=i,j,k,l, которые в вершинах i, j, k, и l соответственно равны единице, в других вершинах равны нулю, а в произвольной точке элемента их сумма равна единице [3]:

N_i(x,y,z)+ N_j(x,y,z)+ N_k(x,y,z)+ N_l(x,y,z)=1.

Приближенное решение задач (1)-(3) и (4)-(6) ищем в виде

H_n(x,y,z,t)=

C_n(x,y,z,t)= (7)

Поскольку задача (1)-(3) изучена достаточно подробно [5], мы на ее решении не останавливаемся. Разобьем временной отрезок [0,T] на q элементарных отрезков длиной : , s=1,2,…,q.

Применяя к задаче (4)-(6) обобщенный принцип Галеркина и подставляя вместо функции C(x,y,z,t) функцию C_n(x,y,z,t), получаем n уравнений

i=1,2,…,n, (8)

где и l - операторы уравнения (4) и краевого условия (6) соответственно:

.

В равенствах (8) используем формулу Грина. Имеем:

i=1,2,…,n, (9) где

Проведя интегрирование на отрезке [t_s-₁,t_s], используя разложение (7) и квадратурные формулы [6]

для слагаемых равенств (9) получаем следующие выражения

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

где

(17)

Подставляя в уравнение (9) выражения для интегралов (10)-(16), приходим к системе алгебраических уравнений относительно C_j^(s):

i=1,2,…,n, (18)

где

Скорость фильтрации v(x,y,z,t) определяется по формуле Дарси

v= - k gradH

для чего предварительно решается задача (1)-(3). После нахождения напорной функции H(x,y,z,t_s) для составляющих скорости фильтрации в элементе (е) получаем следующие выражения:

а для функции v^(s)= целесообразно использовать краевое условие (3).

Работа алгоритма отлажена на решении следующего тестового примера: задачи (1)(3) и (4)(6) решаются в цилиндре V={x²+y² 0.25, 0 z 0.4}. Исходными данными являются

а) для задачи (1)(3):

H₀(x,y,z)=x²+y²+z²+1, k(x,y,z)=x+y+z+2, = 1, W(x,y,z,t)=H(x,y,z,t)4e^t[2k(x,y,z)1];

б) для задачи (4)(6):

C₀(x,y,z)=2H₀(x,y,z), D(x,y,z)=2k(x,y,z), m=1, G(x,y,z,t)=C(x,y,z,t)20e^t[D(x,y,z,t)1].

Искомыми функциями являются