Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 517 (075. 8)

Интегрируемость разрывных функций

К.С. Шарипов

Впервые интегрируемость неинтегрируемых по Лебегу разрывных функций установлена теорией первообразных функций. Также показано, что нет необходимости понятий обобщенной производной [3-4] для непрерывной функции не имеющей производной в смысле Ньютона-Лейбница.

Для исследования интегрируемости неограниченных разрывных функций считаем насущной необходимостью введение для них первообразных функций. Такая мысль пришла после того, как нами было введено понятие «исправленная производная» [1] непрерывной функции.

Это с одной стороны. А с другой стороны, на разработку нового способа для установления интегрируемости неограниченных разрывных функций наталкивает нас, например, известная дельта-функция Дирака, которая неинтегрируема по Лебегу [2-4]. Этот разработанный способ основан на теории первообразных функции. Покажем это на задаче исправленной производной непрерывной функции вида:

(1)

Пусть ,

Причем 1.

2. (2)

Функция (1) была предметом исследования и на обобщенные производные в теории обобщенных функций [3-4]. Здесь лишь отметим, что внешний вид формулы для обобщенной производной функции (1) [3-4] напоминает нам одну из форм записи исправленной производной. Причем, можно говорить, что обобщенная производная [3-4] есть несовершенная производная функции (1).

Поэтому понятие первообразной функции для разрывной функции нужно ввести только (и только) с помощью исправленной производной. С этой целью рассмотрим первую и вторую исправленные производные функции (1). Они описываются соответственно формулами.

(3)

здесь

(4)

Функция (4) является неограниченной разрывной функцией.

Очевидно, что

(5)

Первообразная функция для совокупности разрывных функций .

Во многих задачах науки и техники приходится не по заданной функции искать ее исправленную производную, а наоборот, восстанавливать функцию по известной ее исправленной производной.

Дадим следующее определение.

Определение : Если в каждой точке t[t_o ,Т] имеют место равенства

1. (С-постоянная) (6)

2. , (7)

то непрерывная функция F(t) называется первообразной второго порядка для функции f(t).

Разыскание для неограниченной разрывной функции всех ее первообразных, называемое интегрированием ее и составляет одну из задач интегрального исчисления разрывных функций.

Из (3), (4) и (6) следует, что непрерывная функция (1) является первообразной второго порядка для совокупности разрывных функций (4). В этом случае совокупность первообразных функций второго порядка имеет вид

F(t)=C(t)+C₁T+C₂, t[t_o ,Т] , (8)

где C₁ , C₂ -произвольные постоянные, С (t) - функция (1).

Неопределенные интегралы для совокупности неограниченных разрывных функций имеют вид.

(9)

(10)

Здесь неопределенный двойной интеграл

условимся написать в виде

(11)

(12)

Из (9), (10) непосредственно вытекают, в частности, следующие замечательные свойства.

Двойной интеграл от неограниченной разрывный функции :

дает нам непрерывную функцию;

2. Интеграл от неограниченной разрывной функции :

дает нам разрывную функцию (первого рода)

3. Исправленная производная второго порядка интеграла

равна подинтегральной функции isc”(A,a,t):

(13)

Исправленная производная первого порядка интеграла

равна внутреннему интегралу

(14)

Теперь из неопределенных интегралов (9) и (10) в области

выделим так называемые интегралы, при этом не будем останавливаться на способе выделения их. Выделенные интегралы имеют

(15)

(16)

Эти соотношения верны на любом отрезке Поэтому, по принятой терминологии, неограниченные разрывные функции называются интегрируемыми разрывными функциями на любом отрезке интеграл функция производная

Интегралы

(17)

будем называть интегралом с переменным верхним пределом.

При интегрируемой неограниченной разрывной функции имеет место равенство

(18)

Эта формула дает нам развитие известного результата Ш. Ж. Валле - Пуссена [5]. Итак, по заданной неограниченной разрывной функции можно восстановить ее непрерывную первообразную функцию С(t). Этот факт дает нам возможность показать, в частности, что начальная задача вида

с интегрируемой неограниченной разрывной функцией имеет непрерывное решение.

На основании формулы (13) и (14) имеют место следующие соотношения для неограниченной разрывной функции

(19)

(20)

(21)

Эти результаты являются развитием аналогичного результата [6] для непрерывной функции. Интегралы (15) и (16) имеют место в каждой точке . Поэтому при t =T имеют место соотношения

(22)

(23)

Впервые эти интегралы построены и исследованы нами. Они не являются интегралами Лебега, т. е. они не подчиняются классической теории интеграла Лебега. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим непрерывную функцию вида

(24)

Ее исправленные производные по формулам (3) и (4) равны

(25)

(26)

Теперь рассмотрим интеграл от этой неограниченной разрывной функции. Он в силу формулы (16) имеет вид

(27)

Отсюда при t=T в силу формулы (23), имеем весьма важное соотношение

(28)

Но, как известно, [2-4] для функции вида определенной формулой вида (26), интеграл Лебега

(29)

равен нулю:

(30)

Видно, что для интеграла (27) от функции (26) получены два результата: результат (28) получен с помощью нами разработанной теории исправленных производных [1], а результат (30) получен интегралом в смысле Лебега [2-4].

Мы, при вычислении интеграла (28), в отличие от интеграла Лебега (30) [2-4] не исключили точку t=a из отрезка [t₀,T] как множество меры нуль. Поэтому интеграл Лебега (30), вычисленный исключением точки t=a из отрезка [t₀,T] как множества меры нуль дает нам неверный результат. Отсюда следует, что еще вчера считавшийся незыблемым интеграл Лебега сегодня дает трещину. Это видно из равенства (30) и (28): равенство (30), на основании интеграла Лебега, еще вчера считавшееся верным [2-4], сегодня, как нами доказано, является неверным. А равенство (28), на основании интеграла Лебега, еще вчера считавшееся неверным [2-4], сегодня, согласно нашим доказательствам, является верным. Такое противоречие, порожденное интегралом Лебега, появилось в конце 20-х годов (XX - века), когда П. Дираком была введена дельта-функция. Теперь для ясности приведем высказывания некоторых авторов относительно этой функции:

В. С. Владимиров [4 стр. 9 ] писал: « <<В конце 20 - х годов П. Дирак в своих квантовомеханических исследованиях впервые ввел в науку так называемую функцию, обладающую следующими свойствами

(31)

Вскоре математиками было указано, что с математической точки зрения это определение бессмысленно>>.

В свое время Фон Нейман [2 стр. 27] писал: <<Если же мы выберем то получится

(32)

тогда, как из предыдущего безусловно следует

(33)

Несмотря на это, Дирак лицемерно допустил существование функции такого рода: для >>.

Из этих высказываний и равенств (28), (30), (31), (32) и (33) следует, что именно интеграл Лебега привел математическую науку в тупик. Предпринимались шаги вывести ее из этого тупика. Одним из них является теория обобщенных функций. В ней для определения дельта - функции Дирака использовали равенство (31) [3- 4, 7-8] : считая его неверным (в смысле интеграла Лебега [2-4]) в классе неограниченных разрывных функций понимаемых в классическом смысле.

Для определения дельта - функции Дирака мы предлагаем за основу брать исправленную производную (26) и использовать ее интеграл (28), который имеет место в классе неограниченных разрывных функций, понимаемых в классическом смысле [1]. Тогда мы предлагаем следующее равенство

(34)

т. е. за дельта-функцию Дирака будем брать вторую исправленную производную (26) непрерывной функции (24). Это и есть решение задачи о существовании дельта - функции Дирака в классе неограниченных разрывных функций, понимаемых в классическом смысле. Значит, постановка задачи в теории обобщенных функции была неверной т. е. обобщенная производная функция (1) не смогла вывести из тупика математическую науку, поэтому она и считается как несовершенной производной непрерывной функции (1).

Итак, лучше «поздно, чем никогда» мы можем говорить о том, что критические мнения [2-4], высказанные в адрес П. Дирака и его функции являются неверными.

С помощью теории исправленных производных нам удалось доказать существование интеграла (28) в классе неограниченных разрывных функций, понимаемых в классическом смысле, вопреки утверждения теории интеграла Лебега.

Теперь, имея виду равенства (28) и (34), мы можем говорить о том, что нами разработанная теория исправленных производных [1] вывела математическую науку из вышеуказанного тупика.

Таким образом, кроме класса неограниченных разрывных функций вида (4) (неинтегрируемых в смысле Лебега) существуют и другие неограниченные разрывные функции, которые неинтегрируемы в смысле Лебега, а также все они не подчиняются теории несобственных интегралов, понимаемых в классическом смысле.

Следовательно, свойства непрерывной функции (1) - (2) и ее исправленных производных оказались новыми, причем они не подчиняются средствам классической математики. Поэтому для исследования свойства функции (1) - (2) и ее исправленных производных, нужно построить для них пространства.

Это означает, что мы должны построить семейство пространств, которые создадут подходящую основу для формулировки большого количества задач. Такая постановка задачи исходит, в частности, из предложенного нами равенства (34). О необходимости построения таких пространств (пространств обобщенных функций) очень хорошо говорится в монографии [9]. В ней также раскрываются недостатки этих пространств. Основываясь на равенстве (34), мы можем говорить, что новые пространства должны быть построены для неограниченных разрывных функций вида (4), понимаемых в классическом смысле.

Только в наших пространствах, на основании равенств (15) и (16), мы можем говорить, что необходимо провести исследование вопросов, касающихся существования, единственности и гладкости. Здесь, лишь ограничимся приведением примера вида

Для этой начальной задачи вышеуказанные вопросы впервые исследованы нами методом последовательных приближений.

С помощью первообразной функции на кривой линии в сочетании с первообразной функцией в смысле слабой сходимости можно убедиться, что данная задача эквивалентна интегральному уравнению вида:

Продолжение следует.

Литература

Шарипов С. Методы решения нерегулярных интегральных уравнений типа Вольтерра первого рода. автореф. дисс. канд. ф - м. н., -Фрунзе, 1990.

Нейман Ф. Математические основы квантовой механики. -М.: Наука, 1964.

Шварц Л. Математические методы для физических наук. -М.: Мир, 1965.

Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1979.

Натансон И. П. - Теория функций вещественной переменной. -М.: Наука, 1974;

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1., -М.: Наука, 1970.

Тихонов А. Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972.

Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. -М.: Наука, 1984.

Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. -М.: Наука, 1988.

Размещено на Allbest.ru