Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ (МГОУ)

Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Элементарная математика»

тема: «Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами»

Выполнил студент:

физико-математического факультета

Королева Мария Владимировна

Научный руководитель:

старший преподаватель Высоцкая П.А.

Москва 2018



СОДЕРЖАНИЕ

• Введение
• Глава 1. Теоретические основы координатно-параметрического метода решения задач с параметром
• 1.1 Понятия параметра
• 1.2 Координатно-параметрический метод
• 1.3 Решение координатно-параметрическим методом уравнений с параметрами
• 1.4 Метод «частичных» областей
• Глава 2. Практическое применение координатно-параметрического метода в решении задач с параметром
• 2.1 Рациональные алгебраические уравнения с параметрами
• 2.2 Рациональные алгебраические неравенства с параметрами
• 2.3 Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами
• 2.4 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами
• 2.5 Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами
• Заключение
• Список литературы

• ВВЕДЕНИЕ

XVII -- XVIII века являются третьим периодом развития математической науки. Начало века было ознаменовано выдающимися математическими исследованиями Рене Декарта. Именно Рене Декарту принадлежит заслуга введения нового математического понятия переменной величины. По мнению Ф. Энгельса, это стало поворотным моментом в математике, который кардинально изменил направление математических исследований. Теперь в математику вошло понятие движение, которое до этого не изучалось.

Переход от изучения постоянных величин к исследованию зависимостей между переменными величинами, позволили вступить на новую ступень науки -- к математическому описанию движения и других сложных абстрактных процессов, поэтому третий период развития математики стали называть периодом математики переменных величин. Понятие параметра тесно связано с понятием переменной величины.

В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве.

Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости.

На данный момент задачи с параметром в школьном курсе рассматривают крайне редко, бессистемно. Но я считаю эту тему очень актуальной, в первую очередь, для классов с углубленным изучением математики, так как задачи с параметром включены в программу единого государственного экзамена по профильной математике.

Целью исследования является изучение координатно-параметрического метода решения задач с параметром, систематизирование знаний решения задач с параметром.

Для достижения цели следует выдвинуть следующие задачи:

1. Приобретение знаний и овладение различными умениями, навыками, приемами для решения параметрических заданий.

2. Освоение методов решения и исследование вычислительных и логических задач с параметрами.



ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КООРДИНАТНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ

1.1 Понятие параметра

Выше было сказано, что понятие параметра тесно связано с понятием переменной величины. Итак, переменная величина - величина, которая принимает различные значения.

Параметр - величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Если в уравнение помимо неизвестной величины входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами, а уравнение называется параметрическим.

Примеры: ах = 9; 2х - 7q = 8; (2а + 5)х² - ах + 3 =0.

Здесь х -- неизвестное, а и р -- параметры.

Решить уравнение, содержащее параметр, -- это значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.

Вспомним, что называется линейным уравнением с одной переменной.

Определение: Уравнение вида ax = b, где x - переменная, a и b - некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Решить уравнение с параметром - это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух случаев:

1) Получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные, и не содержащие параметров;

2) Получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра называют допустимым, во втором - недопустимым. При решении задач допустимые значения параметров определяются из конкретного смысла.

1.2 Координатно-параметрический метод

Рассмотрим один из самых эффективных методов решения задач с параметром - координатно-параметрический метод. Координатно-параметрический метод, или КП-метод - это метод решения задач с параметрами с применением координатно-параметрической плоскости.

Пусть на плоскости даны две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом (т. О. Одну из них (Ох) назовем координатой; другую (Оа) - параметрической, а плоскость (хОа или аОх) - координатно-параметрической. параметр уравнение логарифмический вычислительный

При решении данным методом задач с параметром необходимо найти множества всех точек координатно-параметрической плоскости, значения координаты х и параметра а каждой из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи условию (соотношению).

Если указанное множество точек найдено, то можно каждому доступному значению параметра а= const поставить в соответствие координаты х точек этого множества, дающие искомое решение задачи, или указать те значения параметра, при которых задача имеет решения.

1.3 Решение координатно-параметрическим методом уравнений с параметрами

Пусть дано уравнение F(х, а) = 0 (обозначим его *), где F(х, а) - функция переменной х и числового параметра а.

Рассмотрим два частных случая:

1. Координата х - функция параметра а:

х = f(а)

На координатно-параметрической плоскости хОа с горизонтальной параметрической осью Оа множество всех точек, значения координаты х и параметра а каждой из которых удовлетворяют уравнению (*), представляет собой график функции, где роль аргумента функции играет параметр.

2. Параметр а - функция координаты х:

а = f(х)

В этом случае можно рассматривать координатно-параметрическую плоскость аОх с вертикальной параметрической осью Оа и интерпретировать множество всех точек, значения координаты и параметры каждой из которых удовлетворяют уравнению (*), как график функции где роль аргумента функции играет координата.

Следует отметить, что в рассматриваемом координатно-параметрическом методе центральное место занимает нахождение множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых уравнением (*).

Более просто обстоит дело, когда левой частью уравнения (*) являются многочлены первой или второй степеней.

Так в курсе аналитической геометрии доказывается, что уравнения вида

Р(х, а) = 0,

где Р(х,а) - многочлен второй степени относительно х и а, определяет на координатно-параметрической плоскости линии: эллипс, гиперболу, параболу или пару прямых (пересекающихся, параллельных или сливающихся в одну).

Например, на координатно-параметрической плоскости хОа уравнения

,

,

определяют соответственно окружность, гиперболу и параболу, а уравнение

определяет пару пересекающихся (взаимно перпендикулярных ) прямых.

1.4 Метод «частичных областей»

Метод областей при решении неравенств с параметром - это аналог метода “интервалов” для решения неравенств с одной переменной.

Общие признаки задач, подходящих под рассматриваемый метод:

§ В задаче дан один параметр а и одна переменная х

§ Они образуют некоторые аналитические выражения F(x;a), G(x;a)

§ Графики уравнений F(x;a)=0,G(x;a)=0 строятся несложно

Рассмотрим теперь подробно все шаги решения методом областей.

Пример. Пусть дано неравенство Р (х,а) > 0, (1)

где Р (х ,а) - многочлен, аргументами которого являются переменная х и параметр а.

Пусть уравнение

Р (х,а) =0

определяет некоторые линии на координатно-параметрической плоскости.

Разобьем этими линиями координатно-параметрическую плоскость на конечное число n «частичных областей» G1,G2,…….Gn, ограниченных линиями Р=0.

В каждой из «частичных областей» Gi(i=1,2,…….., n) многочлен Р(х,а) отличен от нуля, так как точки в которых Р (х,а) =0 принадлежат границе этих “частичных областей”.

Справедлива теорема : В каждой из областей Gi(i=1,2,…….., n), на которые линии Р=0 делят КП-плоскость, многочлен Р (х,а) либо положителен, либо отрицателен.

Таким образом, решение неравенства (1) - множество всех пар чисел (х,а), при которых неравенство выполняется, образуют совокупность тех областей Gi(i=1,2,…….., n), в которых значение Р (х,а) положительно.

Для установления, какое из неравенств Р>0 или P<0 выполняется в данной области, достаточно вычислить значение Р (х,а) в какой- нибудь определенной точке этой области.

Неравенство Р (х,а) < 0 решается аналогично.

Решение системы алгебраических неравенств

заключается в отыскивании для каждого из неравенств системы областей, в которых оно выполняется, и в нахождении пересечения всех этих областей.

Пусть дано неравенство вида P(x, a) > 0. Сформулируем для данного вида алгоритм решения на основе координатно-параметрического метода:

1) Найти на координатно-параметрической плоскости ОДЗ (область допустимых значений переменной и параметра).

2) Построить на координатно-параметрической плоскости линии, состоящие из всех точек, при значениях координаты х и параметра а, в каждой из которых выражение P(х,а) обращается в нуль или не существует.

3) Разбить этими линиями найденную ОДЗ на «частичные области».

4)Исследовать знак выражения P(х,а) в каждой из полученных частных областей. Для этого достаточно установить знак выражении P(х,а) в какой-нибудь точке в каждой из «частных областей».

5) В ответ записываются те из “частичных областей”, в которых выражение P(x,a) положительно. Неравенство P(x,a) < 0 решается аналогично.

Координатная плоскость

В зависимости от того какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приема: построение графического образа на координатной плоскости (х;у), второй на (х;а) или (а,х).

На плоскости (х;у) функция у=f(х,а) задает семейство кривых, зависящих от параметра а.



ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КООРДИНАТНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ

2.1 Рациональные алгебраические уравнения с параметрами

№1. P(x, a) = x - |a| = 0. Решить уравнение для каждого значения параметра a.

Решение: Для начала перенесем модуль в правую часть: x = |a|. Теперь воспользуемся определением модуля и запишем систему:

Разберем два случая:

1. График функции x = |a|, где параметр a - аргумент, изображен на Рисунке 1. График представляет собой множество всех точек (x, a) на координатно-параметрической плоскости xOa с горизонтальной параметрической осью Oa, значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют полученной системе.

Точки координатно-параметрической плоскости xOa, значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют выражению (I), расположены на части прямой x = a, находящейся в полуплоскости a ? 0 с границей a = 0 (Рисунок 1 - заштрихованная часть).

Аналогично находим решение для выражения (II). Точки расположены на части прямой x = -a, находящейся в полуплоскости a < 0 (Рисунок 1 - заштрихованная часть).

Таким образом, каждому значению параметра a соответствует единственное значение координаты x. Если a < 0, то x = -a, если a = 0, то x = 0, если a > 0, то x = a.

2. На Рисунке 2 изображено то же множество, но уже на координатно-параметрической плоскости aOx с вертикальной параметрической осью Oa. Каждая из прямых семейства a = const пересекает изображенное множество в точке с координатой x, которая определяет решение исходного уравнения. Если a = const < 0, то x = -a, если a = const = 0, то x = 0, если a = const > 0, то x = a. Таким образом, получаем такой же ответ, что и в первом случае.

Ответ: Если a < 0, то x = -a, если a = 0, то x = 0, если a > 0, то x = a.

№2. Решить уравнение 2|x| + |x-1| = a.

Решение: применяем метод “частичных областей”. Получаем совокупность состояющую из трех систем:

I)II)

III)

На координатно-параметрической плоскости решением данного уравнения в I “частичной области”: х < 0 (полуплоскости) является луч , во II области: (полосе)-отрезок прямой x = a-1, в III области: x>1 (полуплоскости) - луч .

Используя решение на координатно-параметрической плоскости, можно записать ответ, поставив в соответствие каждому значению параметра а значение х на полученной ломаной линии.

Рисунок 3[2, стр.22]

Ответ: a<1: a>2 :

№3. 3|x+2a| - 3a + x - 15 = 0.

При каких значениях параметра a все решения уравнения удовлетворяют неравенству 4 ? x ? 6?

Решение: Раскрываем модуль, получаем совокупность из двух систем:

2)

В данном номере прямая x + 2a = 0 разбивает координатно-параметрическую плоскость xOa на две “частичные области” 1) и 2).

Решением системы 1), удовлетворяющим условию 4 ? x ? 6, на координатно-параметрической плоскости является отрезок луча с началом в точке a = -3, x = 6 и концом a = , x = 4 (для нахождения a значения x подставляются в уравнение).

Аналогично находим решение для системы 2). Им является отрезок луча с началом в точке a = -3, x = 6 и a = , x = 4 (эти отрезки изображены на Рисунке 4 жирными линиями).

Оба решения удовлетворяют неравенству при всех значениях параметра a из отрезка [-3; ].

Ответ: -3 ? a ? .

№4. (2-x)(x+a) = 0. Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет два различных неотрицательных корня.

Решение: На координатно-параметрической плоскости xOa множество всех точек (x, a), значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой параболу - график функции

a = (2-x)(x+1)



Парабола пересекает ось Ox в точках x = -1, a = 0 и x = 2, a = 0. В вершине параболы x = 1/2, a = 9/4 оба корня совпадают. При 2 ? a ? 9/4 оба корня неотрицательны.

№5. Предприятие производит телевизоры и является прибыльным. Известно, что при изготовлении n телевизоров в месяц расходы предприятия на выпуск одного телевизора составляют не менее 40500/n + 270 ? |90?40500/n| тыс. руб., а цена реализации каждого телевизора при этом не превосходит 540- 3/10•n тыс. руб. Определить ежемесячный объем производства, при котором может быть получена наибольшая из возможных в данных условиях ежемесячная прибыль.

Решение: Пусть ежемесячная прибыль предприятия при изготовлении n телевизоров - x (тыс. руб.). Тогда по условию задачи:

x ? (540n - 3/10 • n) • n - (40500/n +270 - |90 - 40500/n|) • n

x ? 540n - 3/10 • n² - 40500 - 270 + |90n - 40500|

x ? x(n) =

На координатно-параметрической плоскости xOn координата x - это кусочно-квадратичная функция действительного аргумента n, график которой состоит из частей двух парабол: x = x₁(n) и x = x₂(n). Так как x₁'(n) = 0 => n = 300 и x₂'(n) = 0 => n = 600, то максимальное значение x = 27000 функции x = x₁(n) и x = x₂(n) достигают соответственно при n = 300 и n = 600 (по свойству кусочно-квадратичной функции).

Ответ: 300 или 600 телевизоров.

2.2 Рациональные алгебраические неравенства с параметрами

№6. x - |a| > 0. Решить неравенство для каждого значения параметра a.

Решение: На Рисунке 7 на координатно-параметрической плоскости xOa изображено множество точек (x, a), значения координаты и параметра каждой из которых которых удовлетворяют данному неравенству. Точки, расположенные выше графика функции x = |a|, являются элементами этого множества.

Каждому значению параметра a соответствуют точки изображенного множества с искомыми значениями координат.

Ответ: Если a < 0, то x > -a, если a = 0, то x > 0, если a > 0, то x > a.

№7. Найти все значения параметра a, при которых неравенство

выполняется для всех x из промежутка 2 ? x ? 3.

Решение: Решим неравенство F(x, a) =

На координатно-параметрической плоскости на прямой x = 3a+1 числитель обращается в нуль, а знаменатель на x = 2-2a. Эти прямые разбивают координатно-параметрическую плоскость на четыре “частичные области”.

Теперь нам предстоит определить знаки в каждой из областей, для этого необходимо взять любую точку из исследуемой области. Например, x=2, a=1 F(2, 1) > 0. Следовательно, всюду в I области F(x, a) > 0. В остальных областях определяем знаки по аналогии. Таким образом, получаем, что неравенство выполняется в I и III областях, причем граница x=3a+1 является его решением, а граница x=2-2a не принадлежит множеству решений рассматриваемого неравенства.

Пересечение данного множества с множеством точек, удовлетворяющих неравенству 2 ? x ? 3, дает решение данного неравенства на промежутке 2 ? x ? 3. Следовательно, данное неравенство выполняется сразу для всех x из промежутка 2 ? x ? 3 при a < -1/2 и a ? 2/3.

Ответ: a < -1/2, a ? 2/3.

№8. Для каждого целочисленного значения параметра q найти целочисленные решения неравенства x²-5(x-1)+3|x-q|-q ? 0.

Решение: Составим равносильную совокупность, состоящую из двух систем:

1)

2)

На координатно-параметрической плоскости xOq множество значений (x, q), удовлетворяющих полученной совокупности систем неравенств, ограничено двумя параболами. В вершинах парабол x=1, q=1 и x=4, q=11/2.

Покроем данное множество прямоугольной сеткой с целочисленными значениями координат x_m и параметра q_n: 1 ? x_m ? 5, 1 ? q_n ? 6.

Находим среди множества всех точек в узлах сетчатого прямоугольника те точки, которые принадлежат заштрихованному множеству, т.е. дают на координатно-параметрической плоскости целочисленные решения неравенства (на Рисунке 9 эти точки изображены жирно, а точки, которые не дают решения - квадратами).

Ответ: Если q=1, то x=1;

если q=2, то x=2, x=3;

если q=3, то x=2, x=3;

если q=4, то x=3, x=4

если q=5, то x=3, x=4, x=5.

№9. Найти все значения a, при которых система неравенств имеет единственное решение.

Решение: На координатно-параметрической плоскости xOa решением данной системы неравенств является пересечение множеств I и II. Множество I состоит из всех точек плоскости, расположенных на параболе a = -x² - 2x (1) и левее ее, а множество II - из точек, расположенных на параболе a = 1/6 • (x²-4x) (2) и правее ее.

Рисунок 10 [2, стр. 81]

Параболы (1) и (2) пересекаются в точках, для которых x = 0, a = 0 и x = -8/7 < -1 и a = 48/49 < 1.

В вершине A параболы (1) x = -1, a=1.

Точки O и A являются соответственно самой левой и самой правой точкой полученного множества решений системы неравенств.

Следовательно, при a < 0 и a > 1 данная система неравенств не имеет решений; при a = 0 и a = 1 - имеет единственное решение; при 0 < a < 1 - бесконечное множество решений.

Ответ: a = 0, a = 1.

2.3 Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами

№10. Для каждого значения параметра aрешить уравнение =a.

Решение: По определению квадратного арифметического корня можно составить систему:

На координатно-параметрической плоскости xOa решением исходного рационально уравнения является множество точек этой плоскости, расположенных на части параболы x = a², находящиеся в правой полуплоскости a ? 0.

Ответ: Если a < 0, то решений нет, если a ? 0, то x = a².

№11. При каких значениях параметра a уравнение имеет решение?

Решение: Пусть возведем данное выражение в квадрат: . Из полученного выражения выражаем переменную x: x = t² + 1. Теперь можно составить систему:

На координатно-параметрической плоскости tOb жирной линией изображено решение системы.

Исходное уравнение имеет решение при

b = 1+a ? 1/4

a ? -3/4

Ответ: a ? -3/4.

№12. Решить неравенство для всех значений параметра a.

Решение: Составим систему:

На координатно-параметрической плоскости xOa решением полученной системы является множество точек (x, a), расположенных одновременно ниже прямой x = 1 и на ней, на параболе a = x² и левее ее, ниже прямой .

Прямая касается параболы a = x² в точке с координатой и значением параметра, определяемого условием

Уравнения верхней и нижней ветвей параболы a = x² имеет вид и .

На Рисунке 13 множество решений заштриховано.

Ответ: Если a ? 0, то ; если 0 < a < 1, то , если a ? 1, то .

№13. Решить неравенство для всех значений параметра a.

Решение: Составим систему:

На координатно-параметрической плоскости xOa решение полученной системы неравенств представляет собой множество, состоящее при a = 0 из луча x > 0, а при a > 0 - из всех точек I четверти без точек параметрической оси x = 0, а также точек угла без его стороны x = -a. На Рисунке 13 это множество заштриховано.

Ответ: Если a < 0, то решений нет; если a = 0, то x > 0; если a > 0, то и x > 0.



2.4 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами

№14. При каких значениях a уравнение - (a + 2)* + 2a * = 0 имеет ровно два решения?

Решение: Умножая обе части уравнения (при x ? 0) на ? 0, получим уравнение:

- (a+2)*+ 2a = 0 ; ;

Уравнение (1) равносильно на множестве x ? 0 квадратному уравнению - bx + 1 = 0, которое имеет ровно два решения, если его дискриминант положителен

D = - 4 > 0 ; |b| > 2 ; |a| > 2 ;

Уравнение (2) действительных решений не имеет.

На координатно-параметрической плоскости хОb множество всех тoчек (х;b), значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют уравнению (1), представляет собой график функции , получающийся при суммировании графиков прямой b = x и гиперболы .

Следовательно, при b < -2 (0 < а < 1/4) и при b > 2 (a>4) существует ровно два решения уравнения (1), так как прямая b = const пересекает в этом случае график функции (3) в двух точках. Уравнение (2), получаемое из (1) при b = 1, решений не имеет.

Ответ: 0 < a < , a > 4.

№15. Решить уравнение для каждого значения параметра a.

Решение: Уравняем основания:

Далее можно составить совокупность, состоящую из двух систем:

На координатно-параметрической плоскости xOa решение системы уравнений (1) изображается точками пересечения прямой с окружностью радиуса и с центром в точке x = 0 и a = 3, а решение совокупности систем (2) изображено двумя точками пересечения пар прямых (Рисунок 16)

Ответ: Если

№16. Решить неравенство для каждого допустимого значения a.

Решение: Составим систему, учитывая ОДЗ:

Построим на координатно-параметрической оси xOa множество всех точек, значения координаты x и параметра a каждой из которых удовлетворяют полученной системе (на Рисунке 17 это множество заштриховано).

Ответ: Если

№17. Решить неравенство для всех значений a.

Решение: Составим систему:

На координатно-параметрической плоскости tOa неравенство t > 0 задает верхнюю полуплоскость (без параметрической оси t = 0).

Прямые линии t = -a и t = разбивают плоскость на четыре частичные области (I-IV). Вдоль этих линий левая часть неравенства обращается в нуль, а между ними сохраняет знак: положительный в I и III областях, отрицательный - во II и IV (задающих на координатно-параметрической плоскости решение неравенства (2)).

Решение систем неравенств (1) и (2) на плоскости - пересечение полуплоскости t > 0 с областями II и IV (на Рисунке 18 это множество заштриховано).

Записываем для каждого значения a решение рассматриваемой системы и используем применяемую подстановку:

Ответ:

2.5 Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами

№18. При каких значениях параметра a уравнение ?

Решение: Вспомним, что 2cos²x - 1.

4cos²x - 2 - 4a•;

4cos²x - 4a•

2.

Полученное тригонометрическое уравнение не имеет действительных корней при всех значениях параметра |a| > 2.

На Рисунке 19 изображено решение на координатно-параметрической плоскости aOx с вертикальной параметрической осью.

№19. Решить уравнение для каждого допустимого значения параметра a, принадлежащего промежутку .

Решение: На Рисунке 20 изображено решение на координатно-параметрической плоскости с вертикальной параметрической осью.

Ответ: Если

№20. Для каждого значения параметра a ? 0 решить неравенство

Решение: Заменим неравенство равносильной системой:



На Рисунке 21 изображено решение совокупности систем.

Следовательно, если

Решаем простейшие тригонометрические неравенства и получаем ответ.

Ответ: Если



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проделанной работы был рассмотрен координатно-параметрический метод решения задач с параметрами. В результате были достигнуты цели и задачи: был определен алгоритм, при использовании которого можно решать подобные уравнения, было наглядно показано, что задачи с параметром можно решать несколькими методами. При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шилкина О.В. Разноуровневый подход к обучению координатно-параметрическому методу решения задач с параметрами. - Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова, 2016. - с. 331-338.

2. Моденов В.П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие. - М.: Экзамен, 2007. - 285 с.

3. Субханкулова С.А. Задачи с параметрами.-- М.: Илекса, 2010.-- 208 с.

4. Ляхова Н.Е., Яковенко И.В. Методы решения уравнений и неравенств в задачах с параметрами: учеб. пособие - ТГПИ им. Чехова, 2014. - 92 с.

5. Уравнения и неравенства, содержащие параметры: Пособие для учителей / Г.А. Ястребинецкий.- М.: Просвещение, 1977.- 128 с.

6. Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. - М.: Экзамен, 2009. - 286 с.

7. Просветов Г.И. Задачи с параметрами и методы их решения. - М.: Альфа-Пресс, 2010. - 48 с.

8. Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрами на экзаменах. - 2012. - 248 с.

9. Садовничий Ю.В. ЕГЭ 2018. 100 баллов. Математика. Профильный уровень. Задачи с параметром. - М.: Учпедгиз, 2018. - 128 с.

10. Карасев В.А., Левшина Г.Д. Решение задач с параметрами с помощью графиков функций. - М.: Илекса. 2014. - 136 с.

11. Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения. - М.: Оникс, 2007. - 416 с.

12. Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. - М.: Научный мир, 2011. - 316 с.

13. Генденштейн Л.Э., Ершова А.П., Ершова А.С. Наглядный справочник по математике с примерами. Для абитуриентов, школьников, учителей.-- М.: Илекса, 2009,-- 192 с.

14. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств. -- М.: АРКТИ, 2010. -- 64 с.

15. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. Учебное пособие. - М.: МИЭТ, 2004

Размещено на Allbest.ru