Показательная, логарифмическая, степенная функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА І

Степенная функция

1.1Область определения

1.2Показатель степени

1.3Свойства

1.4Степенная функция с дробным показателем

1.5Графики степенной функции

ГЛАВА ІІ

Логарифмическая функция

2.1Основные характеристики

2.2Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

2.3Свойства логарифмической функции

2.4Графики логарифмической функции

ГЛАВА ІІІ

Показательная функция

3.1Область определения показательной функции

3.2Основные свойства показательной функции

3.3Обратная функция

3.4График показательной функции

Заключение

Список литературы



Введение

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

В этой работе мы рассмотрим степенную, логарифмическую, показательную функцию, приведем их графики и дадим без вывода и доказательства свойства основных элементарных функций по схеме:

· область определения функции;

· поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);

· четность и нечетность;

· область значений функции;

· промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

· промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);

· наклонные и горизонтальные асимптоты;

· особые точки функций;

· особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Цель данной работы:

- Систематизировать знания о степенной, логарифмической и показательной функциях.

- Закрепление и углубление теоретических и практических знаний по данной теме.

- Формирование навыков ведения самостоятельной исследовательской работы и систематизаций знаний.

- Приобретение навыков обобщения и анализа результатов, полученных в исследованиях.

Цель работы планируются достичь путем решения следующих задач:

1. Изучить свойства показательной функции.

2. Изучить свойства логарифмической функции.

3. Изучить свойства степенной функции.



Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.

Общая запись:

y = f (x)

Слева и есть функция. Под этой буквой скрывается какая-то величина. Любая, это может быть время, температура, пройденный путь, сила тока, зарплата и всё, что угодно.

У - называется зависимой переменной.

Справа мы видим х, под этой буквой тоже может скрываться любая величина х - называется независимой переменной, ещё х называют - аргумент.

И есть буква f. Под этой буквой скрываются все действия над иксом, какие можно только придумать.

В этой записи важны не столько буквы, сколько скобки. Именно они показывают, что от чего зависит. Буквы могут быть и другие, например g, p, t, s и т.д. Но запись, например:

s = g(t)

означает, что s как-то зависит от t. В такой записи s - это функция (зависимая переменная), а t - аргумент (независимая переменная). Под буквой g скрываются какие-то действия, которые совершаются с аргументом t. Если же мы поменяем буквы местами, вот так:

t =g(s)



то поменяется и смысл записи. Функцией станет t, а аргументом - s. [1]



Глава І

Степенная функция

Степенная функция - функция , где a (показатель степени) -- некоторое вещественное число. Число n может принимать различные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид.

К степенным функциям часто относят и функцию вида , где k -- некоторый коэффициент. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.[2]

Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке:

· степенная функция у=хІ(функция с четным показателем степени -парабола);

· степенная функция у=хі(функция с нечетным показателем степени - кубическая парабола);

· функция (х в степени Ѕ) (функция с дробным показателем степени);

· функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

1.1 Область определения

Если показатель степени - целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x> 0. Если a > 0, то функция определена также и при x = 0, иначе ноль является её особой точкой.[3]



1.2 Показатель степени

Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n.

При а=1 получается функция у=kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью.

Графики функций вида , где n- натуральное число, называются гиперболами порядка n. При a=-1 получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью.

Если , то функция есть арифметический корень степени n.

1.3 Свойства

Свойства функции:

1. Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция определена в нуле и его правой окрестности, но её производная в нуле не определена.

2. В интервале (0;?) функция монотонно возрастает при а>0 и монотонно убывает при a < 0. Значения функции в этом интервале положительны.

3. Производная функции:

4. Неопределённый интеграл:

если , то:

,

если а = 1, то получаем:



1.4 Степенная функция с дробным показателем

Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. D(x)=R, если n - нечетное число и D(x)=[0;?), если n - четное число.

2. E(y)=(-?;0)U(0;?), если n - нечетное число; E(y)=[0;?), если n - четное число.

3. Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.

4. Функция проходит через начало координат в любом случае.

1.5 Графики степенной функции

Рассмотрим степенную функцию у=хІ. Нанесем точки с вычисленными координатами (x;y) на плоскость и соединим их плавной непрерывной кривой. Эта кривая, называющаяся параболой, и есть график исследуемой нами функции. Степенная функция у=хІ имеет график функции, изображенный на рисунке(1). Из рисунка видно, что графиком функции у=хІ является парабола.

Степенная функция у=хІ обладает следующими свойствами:

1. D(x)=R - функция определена на все числовой оси;

2. E(y)=[0;?) - функция принимает положительные значения на всей области определения.

3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).

4. Функция убывает на промежутке (-?;0] и возрастает на промежутке [0;?).

5. Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).

В зависимости от числового множителя, стоящего перед хІ(рис. 1), функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз. На графике видно, что ось Oy делит параболу на симметричные левую и правую части (ветви параболы), в точке с координатами (0; 0)(вершине параболы) значение функции -- наименьшее. Наибольшего значения функция не имеет.

Вершина параболы -- это точка пересечения графика с осью симметрии OY. На участке графика при x ? (-?;0] функция убывает, а при x ? [ 0; + ?) возрастает. Функция y = является частным случаем квадратичной функции. Степенная функция у= - хІ, представлена на (рис. 2). Графиком функции

y=-также является парабола, но её ветви направлены вниз.

Рис. 1



Рис. 2

Рассмотрим, степенную функцию у = хі. Степенная функция у=хі имеет график функции, изображенный на рисунке (3). График функции у=хі называется кубической параболой.

Степенная функция у=хі(рис. 3)обладает следующими свойствами:

1. D(x)=R - функция определена на все числовой оси.

2. E(y)=(-?;?) - функция принимает все значения на своей области определения.

3. При х=0, у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).

4. Функция возрастает на всей области определения.

5. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).

6. График функции неограниченно продолжается вверх справа от оси y и неограниченно продолжается вниз слева от оси y.

7. Если x > 0, то y > 0, если x < 0, то y < 0.



Рис. 3

Противоположным значениям x соответствует противоположные значения y.

Это следует из того, что (-x)³ = -x³ для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат. В зависимости от числового множителя, стоящего перед хі, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать. Имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.[4]

Рассмотрим свойства степенной функции с целым отрицательным показателем. Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. D(x)=(-?;0)U(0;?) для любого n.

2. E(y)=(-?;0)U(0;?), если n - нечетное число.

3. E(y)=(0;?), если n - четное число.

4. Функция убывает на всей области определения, если n - нечетное число; функция возрастает на промежутке (-?;0) и убывает на промежутке (0;?), если n - четное число.

5. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n - нечетное число; функция является четной, если n - четное число.

6. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n - нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n - четное число. Рассмотрим случаи, когда показатель степени - целое отрицательное число. , при n=1.

График функции (рис. 4).

Рис. 4



Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, … . Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, .... Если положить n = -k, где k = 1, 2, 3, ...- натуральное, то ее можно представить в виде (рис 5)

Рис. 5 График степенной функции y = xⁿ с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ....

а) функция задана в виде . Определена только на полуинтервале (0,+?) рис(6).

б) функция определена на всей числовой оси рис (7);

Рис. 6 Рис. 7

в) функция определена при любом х (рис. 8), т.е. интервал симметричен относительно нуля;

г) функция (рис. 9).

Рис. 8 Рис.9



Глава ІІ Логарифмическая функция

2.1 Основные характеристики

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию .

Она определена приa> 0;a ? 1; x>0.

Область значений:E(y) = (-?;+?).

Эта кривая часто называется логарифмикой. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, большими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок). Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция является строго возрастающей при a> 1 и строго убывающей при 0<a<1. График любой логарифмической функции проходит через точку(1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат () является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

При a > 1,

При 0< a < 1.

Производная логарифмической функции равна:

.

С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения:

2.2 Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Область определения функции - это множество всех значений аргумента, на котором задается функция.

Область определения логарифмической функции (или как еще говорят область определения логарифма) - это множество всех положительных действительных чисел, то есть, D(log_a)=(0, +?), в частности, D(ln)=(0, +?) и D(lg)=(0, +?).

Приведем примеры. Рассмотрим логарифмические функции

, ,, область определения этих функций есть множество(0, +?).

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет.

Область значений логарифмической функции -- множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство

log_a(a^y)=y (1)

т. е. функция y= log_ax принимает значение у₀в точке x₀=a^у_0. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится аналогичное рассуждение).

Пусть x₁ и x₂ -- произвольные положительные числа и x₂>x₁. Надо доказать, что log_ax₂>log_ax₁. Допустим противное, т. е. что

log_ax₂?log_ax₁ (2)

Так как показательная функция у=а^х при а>1 возрастает, из неравенства (2) следует:

a^log_a^x₂?a^log_a^x₁ (3)

Но a^log_a ^x₂=x₂, a^log_a ^x₁=x₁ (по определению логарифма), т. е. неравенство (3) означает, что x₂? x₁. Это противоречит допущению x₂> x₁. Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; log_a1 =0 при любом а>0, так как а⁰= 1.

Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0<a<1--отрицательные. Если 0<а<1, то y=log_ax убывает на R₊, поэтому log_ax>0 при 0<x<1 и log_ax<0 при х>1.

Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y=log_aх при а>1(рис.10) и 0<а<1 (рис.11).

Рис. 10 Рис. 11

Справедливо следующее утверждение: Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х.

2.3 Свойства логарифмической функции

Свойства логарифмической функции:

1.Область определения:D(y) = (0; ?);

2.Множество значений: E(y) = (- ?; + ?);

3.Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.

4.Периодичность функции: непериодическая.

5.Нули: функция обращается в нуль при x = 1.

6.Промежутки знакопостоянства: Еслиa> 1, то функция положительна для x?(1; +?) отрицательна для x?(0; 1) если 0 <a< 1, то функция положительна для x?(0;1) отрицательна для x?(1; +?).

7.Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8.Промежутки возрастания и убывания: если 0 <a< 1, функция убывает для: x?(0; +?) если a> 1, возрастает для x? (0; + ?).

9.Асимптоты: прямая X= 0 (ось Oy) - вертикальная асимптота.

10.График функции для a> 1 изображен на (рис.12), а для 0 <a< 1 на (рис.13)

Рис. 12 Рис. 13

Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда

или

Функция если a> 1, является обратной для функции , при a> 1. Функция если 0 <a< 1, является обратной для функции при 0 < a < 1.[5]

2.4 Графики логарифмической функции

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. На графике представлены значения логарифма y(x)=log_ax (рис. 14) для четырех значений основания логарифма: a =2, a =8, a =1/2 и a = 1/8.

На графике видно, что при a >1логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 <a<1логарифм монотонно убывает.

Рис. 14



1. y=log2x, основание 2>1 (рис.15).

x	14	12	1	2	4	8
y=log2x	?2	?1	0	1	2	3

Рис. 15

2. y=logx, основание 0<<1, (рис.16).

x	9	3	1	13	19
y=logx	?2	?1	0	1	2



Рис. 16

3. Логарифмическая функция (рис.17)и функция , (рис.18)где (a>0,a?1), взаимно обратны.

Рис. 17 Рис. 18



Глава ІІІ

Показательная функция

Показательная функция это функция y(x) = a ^x, зависящая от показателя степени x, при некотором фиксированном значении основании степени a. Показательной функцией называется функция вида, где a> 0, a ? 0 и является числом(рис. 19, 20).

Рис. 19



Рис. 20

3.1 Область определения показательной функции, множество значений

Рассмотрим показательную функцию y(x)= a ^x. В дальнейшем будем считать, что основание степени a является положительным числом: a>0. Тогда функция y(x)= a ^x определена для всех x. Ее область определения:-?<x+?. При a?1 она имеет множество значений 0<y<+?. При a =1 показательная функция является постоянной y = 1.[1]

3.2 Основные свойства показательной функции

Свойства функции:

1)Областью определения функции является множество всех действительных чисел R.

2)Множеством значений функции являются все положительные числа, т.е. промежуток.

3)Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

4)Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.

5)Функция непериодическая.

6)График функции пересекает координатную ось Oy в точке (0;1).

7)Функция не имеет нулей.

8)При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.

9) Функция принимает положительные значения на всей области определения.

3.3 Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a. Если , то . Если , то .

3.4 График показательной функции

логарифмический график функция

График показательной функции асимптотически приближается к оси Ox (прямая y=0 является для функции горизонтальной асимптотой): если a>1 при x> + ? y> 0, если 0<a<1 при x> -- ? y> 0. Таким образом, показательная функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения, но , ( a>0, a?1). Показательная функция имеет большое прикладное значение. Многие физические, химические, биологические, экономические, социологические процессы описываются с помощью показательных функций. Например, закон естественного роста (рост числа бактерий, увеличение денежного вклада при постоянном процентном приращении и т.д.), процессы образования и распада вещества, затухающие колебания.

График показательной функции всегда проходит через точку с координатами (0;1). В зависимости от того возрастает или убывает показательная функция, её график будет иметь один из двух видов. На следующем рисунке представлен график возрастающей показательной функции: a>0 (рис. 21).

Рис. 21

На следующем рисунке представлен график убывающей показательной функции: 0<a<1 (рис. 22).

Рис. 22

И график возрастающей показательной функции и график убывающей показательной функции согласно свойству, описанному в пятом пункте, проходят через точку (0;1).Показательная функция не имеет точек экстремума, то есть другими словами, она не имеет точек минимума и максимума функции. Если рассматривать функцию на каком-либо конкретном отрезке, то минимальное и максимальное значения функция будет принимать на концах этого промежутка. Функция не является четной или нечетной. Показательная функция это функция общего вида. Это видно и из графиков, ни один из них не симметричен ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат. [6]

На графике представлены значения показательной функции
y(x)=a ^x для четырех значений основания степени: a =2, a = 8,a = Ѕ и a =1/8.

На графике видно, что при a > 1показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a, тем более сильный рост. При 0<a< 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a, тем более сильное убывание (рис. 23).[7]

Рис. 23



Заключение

В данной работе мы рассмотрели показательную, логарифмическую, а так же степенную функцию. Рассмотрели область определения функции, поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты, четность и нечетность, область значений функции.

Обозначили промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба), наклонные и горизонтальные асимптоты.

Представили графики степенной функции, такие как:

1.

2.

3.

4. с отрицательным показателем степени

5.

6.

7.

8.

Изобразили графики логарифмической функции такие как:

1. при a > 0

2. при 0 < a < 1

3. для четырех значений логарифма a = 2, a = 8, a = , a =

4.

Так же представили графики показательной функции, такие как:

1.

2.

3. для четырех значений основания степени a = 2, a = 8, a = , a =

Закреплены и углублены теоретические и практические знания по избранной теме и применены для решения конкретных задач. Сформированы навыки ведения самостоятельной проектно-конструкторской или исследовательской работы. В ходе работы овладели методикой проектирования или научного исследования и эксперимента. Приобретены навыки обобщения и анализа результатов, полученных исследованиями. Как результат работы стоит отметить повышение подготовленности для самостоятельной работы в условиях современной школы.

Задачи курсовой работы были решены, чем была полностью достигнута цель данного исследования.



Список литературы

1. Махнач, С.Б. Введение в курс математики гл 1/ Л.И Майсеня. Мн: МГВРК, 2006 г. 226 с.

2. Бронштейн, И.Н. Семендяев, К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. / И.Н. Бронштейн, К.А.Семендяев. «Лань», 2008 г. 352с.

3. Новоселов, С.И. Алгебра и элементарные функции. / С.И Новоселов. М: Учпедгиз, 1950 г. 388 с.

4. Никольского, С.М. Алгебра и начала математического анализа / С.М. Никольского.8-е изд. М: Просвещение, 2009 г. 430 с.

5. Майсеня, Л. И. Алгебраические уравнения и неравенства. Функции. Логарифмы / Л.И.Майсеня, С.Б.Махнач, Д.И.Радюк, Н.И. Романовская. Ми.:МГВРК, Часть 1. 2006 г. 226 с.

6. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Часть 1, 2. / Фихтенгольц Г.М. 7-е изд., стер. СПб.: Издательство "Лань", 2005 г. 464с.

7. Бронштейн, И.Н., Семендяев, К.А. Справочник по математике для учащихся вузов. / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. «Лань», 2009 г. 352с.

Размещено на Allbest.ru