Идеи и методы прикладной геометрии и их применение в технике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Идеи и методы прикладной геометрии и их применение в технике

Начертательная геометрия, как учебный предмет и теоретическое обоснование нового геометрического знания, возникла еще в 19 веке [1]. Ее основателем, как моногамной геометрической области знания, считается по праву выдающийся французский геометр, член Национального института в Париже (который соответствовал по своему научному статусу Академии Наук) Гаспар Монж.

В то далекое время все крупные ученые, как правило, обладали большой эрудицией в различных областях научного знания. Это с полным правом можно отнести к весьма разносторонней научной деятельности Г. Монжа. Ему принадлежат серьезные теоретические изыскания в области математического анализа, в установлении тесных связей с высшей геометрией, в том числе и дифференциальной, и серьезные геометрические интерпретации уже известных научных дисциплин.

В классическом понимании, начертательная геометрия представляет собой ветвь высшей геометрии, основанной на широком применении метода проекционных изображений [2]. Именно так и классифицировал ее и сам Гаспар Монж. Однако, с течением времени, она все больше и больше обрастала глубокой общностью рассуждений, свойственной каждой математической науке. Одновременно возрастала и возможность ее поистине универсального применения в исследовании и конструировании объектов различной природы. Начертательная геометрия все больше и больше начинает играть определенную роль и в математике, физике, химии, кристаллографии и даже в педагогике (параметрический метод построения проекций), и в психологии (в проблемах восприятия пространства различного числа измерений), и т.д. [3].

Все это дало возможность еще в прошлом веке отметить характерный двойственный характер начертательной геометрии, причислив ее окончательно к числу прикладных наук, и присвоить ей название - прикладная геометрия. Это немаловажное обстоятельство и позволяет ей выживать и эффективно развиваться в столь долгом временном периоде.

В частности об этом всерьез и основательно упоминается в книге Джона Хоргана «Конец науки»: «Прикладная наука будет жить долгое время, т.к. ученые продолжают разработку новых универсальных материалов:

- более быстрых и сложных компьютеров;

- новых и более перспективных генно-инженерных технологий, делающих нас здоровее, сильнее, увеличивающих продолжительность жизни, и опирающихся на современные достижения математики, в том числе и высшей геометрии…».

В этой связи уместно отметить тот факт, что важнейшей особенностью всякого геометрического знания является поистине универсальная возможность его применения. Так еще академик А.Н. Колмогоров писал: «…однако везде, где это возможно, математики стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными, поэтому геометрическая интуиция, геометрическое воображение, пространственные представления, геометрические интерпретации играют существенную роль в процессе изучения различных разделов математики, физики и т.д.». Научно-педагогический комментарий самого Г. Монжа: «Если бы мне снова пришлось начать эту работу (речь идет о написании курса начертательной геометрии), я напечатал бы ее в два столбца: в первом поместил бы решения геометрических задач путем вычисления, а во втором - решения тех же задач, но исполненные путем графических построений. Читатели пожалуй были бы очень удивлены, увидев, что второй столбец почти всегда заслуживал бы предпочтения, как по ясности, так и по простоте доказательств».

Принимая во внимание типологию процесса возникновения новых областей знания, прикладную геометрию можно было бы поместить на границу существования двух основных типов развития наук, типа А и типа С. Поясним это более подробно.

Тип А. Процесс возникновения складывается из возможностей и потребностей исследования новых неизвестных прежде или исследовавшихся спорадически предметных областей.

В нашем случае компонентами является область решения технических задач, основанная на геометрических методах и их интерпретациях, применяющихся в начертательной геометрии плюс САПР (имеется ввиду смысловой эквивалент английского CAD, означающий проектирование с помощью ЭВМ).

Иначе в содержательном смысле - это конструирование, возможности автоматизации которого обеспечиваются использованием цифровых вычислительных средств. В настоящее время все это трактуется как компьютерное геометрическое моделирование [4].

Тип С. Непосредственные связи двух или трех традиционных дисциплин приводят к консолидации предметов отдельных наук и к возникновению пограничных дисциплин. В этом случае ведущую роль приобретают те проблемы, которые разрешаются на стыке отдельных областей знания, а следовательно, возникновение новых областей знания происходит не в результате произвола и субъективных склонностей ученых, а представляет объективный процесс. Образование подобного рода пограничных научных дисциплин не меняло в дальнейшем существовании «материнских дисциплин». Но если говорить о состоянии высшей начертательной геометрии в ХХ столетии и сейчас, то следует в первую очередь учитывать влияние прикладных задач в области механики, физики, теории механизмов и машин, САПР и фундаментальных результатов вычислительной геометрии [5]. Все это свидетельствует о новом научно прикладном направлении развития наук, воедино связавшем научные основания начертательной геометрии с современными вычислительными методами в процессе конструирования, что и привело к эволюции классической начертательной геометрии в геометрию прикладную. В этом направлении уместно отметить необычайно плодотворную деятельность кафедры прикладной геометрии МАИ, созданной в 1948 году. Под руководством первого заведующего кафедрой действительного члена АПН СССР, доктора физико-математических наук, заслуженного деятеля науки и техники профессора Н.Ф. Четверухина были получены замечательные результаты как в научной деятельности так и учебной работе. Теоретические изыскания, положенные в основу начертательной геометрии: теория условных изображений, параметрический метод, обобщение принципов параллельной аксонометрии, позволили Н.Ф. Четверухину создать великолепную научную школу, подготовить и выпустить большое количество аспирантов и докторантов - будущих специалистов широкого профиля в области теоретических основ начертательной геометрии, способных внедрить современные теоретические методы ее преподавания на всей территории Советского Союза и за его пределами.

Этот комментарий позволит лучше понять и оценить значение и силу научного творчества коллектива кафедры прикладной геометрии МАИ. Это дало возможность расширить и углубить круг прикладных задач, решаемых методами начертательной, прикладной геометрии. Ее методы нашли свое блестящее воплощение в CAD/CAM/CAE-системах [6]. Известный специалист в области математического обеспечения CAD/CAM-систем П. Безье отмечал, что создание систем автоматизированного проектирования невозможно без знания геометрии, особенно прикладной геометрии.

Итак, нами отмечено, что прикладная геометрия очень многогранная наука, включающая в себя решение самых сложных геометрических задач разной направленности [7]. В настоящее время решаются задачи геометрического конструирования разных геометрических объектов, в том числе авиационного профиля. Следует отметить, что эти задачи отличаются общностью методов [8], т.к. их решение основано на оптимизации большого количества параметров, входящих в функциональные зависимости, описывающие тот или иной объект, а далее вступают в силу и применяются общие законы автоматизации в их стандартной форме.

Сопоставляя методы начертательной геометрии и номографическое моделирование, можно получить весьма эффективное и изящное решение такой классической задачи как квадратичная интерполяция. С другой стороны, номографические интерпретации плоских кривых, поверхностей приводят к важнейшим понятиям в номографии - понятию криволинейных шкал и сетчатых номограмм, составляющих основу для введения в рассмотрение номограмм более общих классов. Так, например, сетчатые номограммы можно интерпретировать как плоские сечения поверхностей самого общего вида, заданных непрерывными функциями в неявной форме F (x, y, z)=0, а основной метод начертательной геометрии - метод Монжа можно с успехом применить для конструирования плоских эквивалентов сложных пространственных номограмм. Отметим, что в процессе математической обработки эмпирических данных, а это одна из серьезнейших задач конструирования технических поверхностей, в частности, в создании летательных аппаратов разных классов приходится решать задачу об интерполировании функций определенного типа.

Покажем, как это делается. Предположим, что исходная функциональная зависимость задана в виде таблицы, в которой допустима квадратичная интерполяция. В декартовой системе координат (0uv) трем парам значений переменных (u₁v₁), (u₂v₂), (u₃v₃), взятых из этой таблицы, соответствует интерполяционная кривая v = au² + bu + c (1), коэффициенты которой (параметры) определяются из системы уравнений:

v₁ = au₁² + bu₁ + c

v₂ = au₂² + bu₂ + c (2)

v₃ = au₃² + bu₃ + c

прикладной начертательный геометрия летательный

Из условия совместимости уравнения (1) и системы (2) можно получить уравнение интерполяционной кривой в виде:

¦u₁ u₁² v₁ 1¦

¦u₂ u₂² v₂ 1¦ = 0

¦u₃ u₃² v₃ 1¦ (3)

¦u u v 1¦

Предположим, что заданы определенные интервалы изменений переменных u, v. Тогда уравнение (3) можно интерпретировать пространственной номограммой, взяв в качестве разрешающего индекса определенную плоскость.

Итак, в прямоугольной системе координат 0xyz уравнение (3) определяет проецирующую поверхность, направляющей которой служит парабола, симметричная относительно оси координат.

Теперь пространственная номограмма уравнения (3) будет состоять из четырех бинарных полей (u₁, v₁), (u₂, v₂), (u₃, v₃), (u, v), расположенных на этой поверхности. Одно из семейств линий представлено образующими цилиндра (это прямые u₁, u₂, u₃, u), другое линиями пересечения полученной поверхности с плоскостями уровня z = const. Эти линии имеют соответственно пометки v₁, v₂, v₃, v. Геометрически схема пользования номограммой состоит в следующем: в пространстве находим положение разрешающей плоскости ?, при котором она пройдет через три точки с заданными пометками (u₁, v₁), (u₂, v₂), (u₃, v₃), далее выбираем образующую цилиндра с пометкой «u» и отмечаем точку ее пересечения с плоскостью ?. Тогда ордината этой точки равна значению ответной переменной v. Теперь спроецируем данную поверхность ортогонально на плоскости П₁, П₂, совпадающие с координатными плоскостями x0y и y0z. Тогда на горизонтальной плоскости получим совпавшую шкалу переменных u₁, u₂, u₃, u, расположенную на параболе, а на фронтальной плоскости - общее ортогональное бинарное поле для переменных (u₁, v₁), (u₂, v₂), (u₃, v₃), (u, v), состоящее из помеченных прямых параллельных оси 0z (рис. 1).

Рис. 1

Рассмотрим второй случай применения чертежа Монжа для получения канонической формы пространственной номограммы определенного типа. Предположим, что дана составная номограмма с прямоугольной немой шкалой и двойным выравниванием, что означает, что ответную переменную на ней можно найти с помощью двух разрешающих прямых.

Итак, пусть немая шкала расположена на оси абсцисс и уравнения четырех шкал записаны в виде:

u = f_i(б_i),

v = ц_i(б_i)

где, i = 1, 2, 3, 4.

Примем плоскости составляющих номограмм за координатные совмещенные плоскости (z, x) (x, y). Тогда для первой номограммы u = x, v = z, для второй номограммы u = x, v = y. Точки M, N, P, Q, дающие решение уравнения и принадлежащие одной разрешающей плоскости, будут иметь в пространстве следующие координаты:

M [x = f₁(б₁), 0, z = ц₁(б₁)]

N [x = f₂(б₂), 0, z = ц₂(б₂)]

P [x = f₃(б₃), y = ц₃(б₃), 0]

Q [x = f₄(б₄), y = ц₄(б₄), 0]

Итак, на эпюре Монжа плоскости элементарных составляющих номограмм совпали с горизонтальной и фронтальной плоскостями эпюра. Заметим, переходя снова в пространство 0xyz, прямые MN и PQ можно считать следами разрешающей плоскости номограммы.

Так как четыре текущие точки M, N, P, Q принадлежат одной разрешающей плоскости, то это условие можно записать в следующей форме:

¦ f₁(б₁) 0 ц₁(б₁) 1 ¦

¦ f₂(б₂) 0 ц₂(б₂) 1 ¦ = 0

¦ f₃(б₃) ц₃(б₃) 0 1 ¦

¦ f₄(б₄) ц₄(б₄) 0 1 ¦

Это уравнение, записанное в форме определителя Соро (французский номограф впервые получивший это выражение) и представляет собой в таком компактном виде каноническую форму уравнения с четырьмя переменными, представленную номограммой рассмотренного вида (рис. 2).

Рис. 2

прикладной начертательный геометрия летательный

Литература

1. Гузненков В.Н. Геометро-графическая подготовка в техническом университете // Российский научный журнал. - 2013. - №6. - С. 159-166.

2. Гузненков В.Н. Тенденция развития геометро-графического образования в техническом университете // Инновации в образовании. - 2014. - №12. - С. 131-137.

3. Якунин В.И., Гузненков В.Н. Геометро-графические дисциплины в техническом университете // Теория и практика общественного развития. - 2014. - №17. - С. 191-195.

4. 4. Гузненков В.Н., Демидов С.Г. Autodesk Inventor в курсе инженерной графики. Учебное пособие для вузов. - М.: Горячая линия-Телеком, 2009. - 144 с.

5. Якунин В.И., Гузненков В.Н., Журбенко П.А. Геометрическое моделирование как междисциплинарный язык // Дискуссия. - 2012. - №12. - С. 161-166.

6. Гузненков В.Н., Журбенко П.А. Autodesk Inventor 2012. Трехмерное моделирование деталей и создание чертежей: учеб. пособие. - М.: ДМК Пресс, 2012. - 120 с.

7. Якунин В.И., Гузненков В.Н. Геометрическое моделирование как обобщение методов прикладной геометрии и ее разделов // Интеграл. - 2012. - №5. - С. 120-121.

8. Гузненков В.Н., Журбенко П.А. Модель как ключевое понятие геометро-графической подготовки // Alma mater (Вестник высшей школы). - 2013. - №4. - С. 82-87.

Размещено на Allbest.ru