Исследование алгебраических сетей, порождающих совокупность вычислительных моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Исследование алгебраических сетей, порождающих совокупность вычислительных моделей

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Понятие алгебраических сетей (АС) появилось в конце 60-х - начале 70-х годов ХХ века в работах Э. Тыугу. АС представлялась набором уравнений, связанных общими переменными. В зависимости от различного определения переменных - как аргументов (входные переменные), так и результатов (выходные переменные) - возникали разные задачи, которые решались с помощью АС. Необходимость решения таких задач диктовалась сложными инженерными расчетами. Например, при проектных расчетах одни переменные были выходными, а при повторных - входными, и требовалось оценить точность расхождения. Потребность в АС и генерируемых с их помощью вычислительных моделях была так велика, что группа Э. Тыугу создала специальный язык «Утопист», в котором использовалась обычная алгебра действительных чисел. Вычислительные сети Тыугу в 70-х годах были использованы во многих институтах РАН, в частности в Институте Систем Энергетики СО РАН.

В 80-х годах в своих работах по теории моделей Ч. Чен предложил использовать идею Э. Тыугу в других алгебраических системах с нечисловыми алгебрами, работающими с объектами немеханической природы.

Актуальность работы определяется тем, что алгебраические сети с нечисловыми алгебрами могут применяться для моделирования процессов принятия решений в сложных ситуациях (в боевых операциях, бизнесе, политике и т.д.), когда варианты решений рассматриваются «с разных сторон», «от противного», или когда цель считается достигнутой, и нужно получить значение, при каких ограничениях это можно сделать.

Цель работы заключалась в том, чтобы предложить алгебраические сети с различными алгебрами и предикатами, которые могли бы быть использованы для моделирования процессов принятия решений.

Научная новизна и практическая ценность работы. Научная новизна диссертации заключается в том, что разработана методика математического моделирования сложных процессов приятия решений с помощью алгебраических сетей с различными алгебрами. Предложены новые классы алгебраических сетей:

1) класс рассуждающих сетей, позволяющих моделировать синхронные рассуждения нескольких субъектов;

2) класс рефлексивных рассуждающих сетей, позволяющих моделировать процесс рассуждений, когда рассуждающий субъект учитывает рассуждения оппонента, а оппонент, в свою очередь, учитывает рассуждения субъекта.

Доказана теорема, определяющая свойство алгебр порождать функциональные структуры для вычислительных моделей, а также доказан ряд других теорем, позволяющих более эффективно решать практические задачи.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и семинарах: XLII научной конференции Московского физико-технического института (г. Долгопрудный, 1999 г.); Байкальских всероссийских конференциях с международным участием «Информационные технологии в энергетике, экономике, экологии», «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (г. Иркутск, 2003, 2007 гг.); Всероссийской конференции с международным участием «Методы современной науки. Моделирование сложных систем» (г. Киров, 2006 г.); ХХХIV международной конференции «Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе» (Украина, г. Гурзуф, 2007 г.); научных семинарах отдела теории алгоритмов и математических основ кодирования Отделения кибернетики Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН (г. Москва, 2003-2007 гг.).

Результаты работы были использованы в следующих проектах РФФИ: №03-07-90356, «Исследование моделей ситуационной комнаты, управляемой событиями, которые передаются через Internet», 2003-2005 гг.; №06-07-89076, «Модели асинхронного управления распределенными процессами в реальном времени, использующие распознающие сети с памятью», 2005-2007 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе одна в издании из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и библиографии. Объем диссертации - 102 страницы. Список использованных источников содержит 38 наименований. В работу включены 75 рисунков и таблиц.

Содержание работы

рефлексивный сеть алгебра вычислительный

Введение к диссертации содержит обоснование актуальности избранной темы, описание основных целей и конкретных задач исследования. Сформулированы основные направления исследований в области алгебраических сетей. Обоснованы новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе вводятся общие понятия алгебраических систем, алгебраических и вычислительных сетей. На примерах показывается возможность их применения для практических задач.

Алгебраическая система (AS). Понятие алгебраической системы введено А.И. Мальцевым в его книге «Алгебраические системы» для построения теории моделей, которые описывали бы широкий класс моделей с применением математической логики над отношениями (предикатами), обладающими полезными содержательными свойствами. В самом общем виде AS задается четверкой AS = <M, F, P, A >, где М - произвольное множество, F - множество функций на М, Р - множество предикатов первого порядка, задающих различные отношения на множестве М, А - алгебра, имеющая список тождественных преобразований.

Вычислительная сеть Э. Тыугу. Понятие вычислительной сети впервые появилось в работе Э. Тыугу «Концептуальное программирование» и, по существу, использует понятие AS с обычной алгеброй для операций «+», «-», «*», «/». В качестве предикатов выступают обычные алгебраические выражения, задающие отношения из различных предметных областей. Алгебраическая сеть Э. Тыугу представляется в виде неориентированного графа с вершинами двух типов: переменными и выражениями, связывающими эти переменные. Если переменная входит в отношение, то соответствующие вершины соединяются дугой. На алгебраических сетях можно решать задачи следующего вида: задав значения одних переменных в сети, построить путь вычисления других переменных. Решение задачи - суть процесс расстановки стрелок на графе, определяющих порядок вычисления одних переменных через другие. Алгебраическая сеть с расставленными стрелками называется вычислительной алгебраической сетью. На рис. 1.1 и рис. 2.1 приведены иллюстрирующие примеры.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.1. Правильная расстановка стрелок в вычислительной сети для задачи: «вычислить w по (x=2, y=3)»

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1. Неправильная расстановка стрелок. Неоднозначный вывод: переменная w - вычислима двумя разными способами

рефлексивный сеть алгебра вычислительный

Основная проблема, которая возникает в алгебраических вычислительных сетях Тыугу - нахождение неоднозначных выводов (вычислений). Неоднозначность разрешается на семантическом уровне.

Вычислительные сети Тыугу нашли широкое применение при инженерных расчетах сложных конструкций, а в последнее время при аудите финансовых потоков в сложных экономических объектах. Для вычислений на алгебраических сетях Тыугу был сделан язык «Утопист», где проверка выводимости (вычислимости) была реализована автоматически.

Алгебраические вычислительные сети с циклической структурой. Вычислительные сети, описывающие решения практических задач, часто имеют циклическую структуру. На рис. 3. 1,3.2 показано, как для АС при расстановке стрелок возникает циклическая структура, и как в этом случае перейти к вычислительной модели.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.1. Вычислительная модель с циклом. а) алгебраическая сеть для пяти уравнений и шести переменных; б) вычислительная модель; в) циклическая структура вычислительной модели, полученной соответствующей расстановкой стрелок



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.2. Циклическая структура, развернутая в бесконечную сеть с повторяющимся фрагментом вычислений

Развертка цикла, представленная на рис. 3.2, может быть записана в виде рекуррентных выражений.

Во второй главе рассматриваются асинхронные алгебраические сети для моделирования взаимодействия независимых процессов и проведения асинхронных вычислений. Пусть заданы два независимых процесса, которые определяются каждый своей системой уравнений, представленной в виде алгебраической сети. Каждый процесс имеет собственный процессор, в котором разворачивается одна из возможных вычислительных моделей, определенная на АС. Каждая элементарная функция имеет физическую длительность выполнения. Процессы связаны поставками общих переменных, понятно, что без этих поставок они должны остановить свое движение. Такие процессы называются асинхронными. Они синхронизируются только общими поставками информации, ожидают этих поставок и продолжают свою работу в момент получения информации от другого процесса. Существует несколько моделей, описывающих такое взаимодействие. Наиболее известные из них: 1) взаимодействие последовательных процессов Хоара; 2) сети Петри и их модификация - Joiner - сеть. В дальнейшем для описания взаимодействия процессов, будь они физическими, социальными, политическими или бизнес-процессами, будем всегда использовать сети Петри.

Рассмотрим пример асинхронной алгебраической сети. Существует два процесса П₁ и П₂. Процесс П₁ описывается уравнениями R₂ и R₃ с переменными 1,2,3,5. Процесс П₂ описывается уравнениями R₅ и R₆ c переменными 4,5,6,2. Через D₂, D₃, D₅, D₆ обозначим действия вычисления функций вычислительной модели. Каждое действие имеет определенную длительность выполнения. Длительности действий фиксированы: D₂ = 3, D₃ = 3, D₅ = 3, D₆ = 2. Алгебраическая сеть для данного примера показана на рис. 1.2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.2. Алгебраическая сеть для постановки задач

Формулируются следующие две задачи. Задача №1: известны <1, 4> вычислить <3, 6>, при этом действия D₂ и D₅ начинаются произвольно. Задача №2: известны <1, 3, 6> вычислить <4>, действия D₂, D₃, D₆ могут начинаться произвольно. Для каждой задачи необходимо построить диаграмму Ганта ее решения. На рис. 2.2а показана вычислительная модель для задачи №1, на рис. 2.2б для задачи №2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.2. а) Вычислительная модель для задачи №1: «известны <1,4> вычислить <3,6>».

б) Вычислительная модель для задачи №2: «известны <1,3,6> вычислить <4>».

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.2. Модели взаимодействия процессов в задачах №1 и №2

а) Сеть Петри для задачи №1. б) Сеть Петри для задачи №2.

На рис. 4.2 показаны диаграммы Ганта (ДГ) возможных решений задач №1 и №2.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.2. Диаграммы Ганта различных задач, построенных на одной АС. а) ДГ для решения задачи №1; б) ДГ для решения задачи №2

Асинхронные алгебраические сети успешно применяются при проектировании различных конвейерных производств, технологических процессов, синхронизации строительных работ, где поставками служат вещество, энергия, информация, но переменные, которые характеризуют соответствующие поставки, являются числовыми. Методика перехода от алгебраической сети к вычислительной модели в случае асинхронных процессов приведена в теоретической части диссертационной работы.

В третьей главе вводится понятие рассуждающей сети RN (Reasoning net). Идея такой сети была выдвинута Ч. Ченом для поиска сущностей в семантической сети, но так и не была реализована. Рассуждающая сеть определяется следующим образом: RN = <X, R >, где Х = {х₁, х₂., х_n} булевские переменные, R = {R₁, R₂, R_3,…, R_k} - множество предикатов, каждый из которых определен в пространстве Х. Предикаты R могут быть заданы в виде булевской формулы B(х₁,…, x_n), таблицы истинности, или в виде диаграммы Вейча, или карт Карно, либо покрытий на гиперкубе Х.

Рассмотрим пример рассуждающей сети, представленной на рис. 1.3. На рис. 1.3а показана, так называемая, предикативная сеть из трех предикатов R₁, R₂, R₃ и связывающих их четырех переменных x, y, z, w. Предикативные сети являются аналогом алгебраических сетей в дискретном пространстве.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.3. Рассуждающая сеть. а) Предикативная сеть. б) Вычислительная сеть.

На рис. 1.3б показана вычислительная сеть, полученная расстановкой стрелок так, что она представляет собой некоторую вычислительную модель из двух функций связанных переменными, как это показано на рис. 2.3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.3. Вычислительная модель или рассуждающая сеть

Сделаем важное замечание: функция может определяться не обязательно на всех наборах аргументов. Так, например, на рис. 3.3 функции определены на двух аргументах из трех. Полученные функции могут содержать противоречивые наборы (на одних и тех же наборах аргументов иметь различные значения функций), что устраняется на семантическом уровне. Значение функции может быть не определено, тогда оно доопределяется произвольно, как это принято в теории булевских функций.

Каждая функция может быть интерпретирована как некоторое рассуждение.

R₁Z: если , то z = истина.

R₂W: если , то w = истина.

R₂W дополнена значением w = истина, а семантика задачи такова, что может быть выбрано w = ложь для строки y = истина и z = ложь. Для задачи на рис. 2.3 будет записано такое рассуждение: . При любых значениях x и y переменная w принимает значение «ложь».

В четвертой главе вводится понятие рефлексивной рассуждающей сети. Рефлексивные рассуждающие сети являются моделью рассуждений нескольких субъектов, когда рассуждающий субъект учитывает рассуждения своего контрагента (которые можно назвать «фантомами», потому что они существуют только в голове субъекта), который, в свою очередь, предполагает, как рассуждает сам субъект и т.д. В этом случае действия субъекта зависят от действий других субъектов и «фантомов», которые существуют как в голове субъекта, так и его контрагентов. Возможные действия субъектов и «фантомов» могут быть скооперированы на решении общей задачи (корпоративные действия), либо принадлежать противникам, и тогда действия контрагентов и «фантомов» могут иметь агрессивный характер.

Рассмотрим пример рефлексивной алгебраической сети. Содержательно задача выглядит следующим образом. Пограничники (П) охраняют объект. Террористы (Т) хотят проникнуть на объект. П хотят перехватить Т. Местность состоит из гор и реки. Путь и Т и П - последовательность отрезков из горных троп и берега реки. В некоторые моменты времени П и Т одновременно обнаруживают друг друга. При планировании операции и террористами и пограничниками рассматриваются различные варианты или, исходя из нашего определения, различные рассуждающие сети.

Для рефлексивной рассуждающей сети для всех возможных вариантов (вычислительных задач) определим правила принятия решений П и Т по изменению маршрута.

Правила рассуждений для пограничников П:

1.. Если П идут по реке (П = Р), а Т по горам (Т = Г), то П пойдут в горы за Т (П = Г) _t+1. П всегда следуют за Т.

2.

3.

4.

Правила рассуждений для террористов Т:

1. . Если П идут по горам и Т идут по горам, то П будут продолжать идти по горам, поэтому Т пойдут по реке.

2.

3.

4.

В пятой главе представлены основные элементы теории алгебраических сетей. Они, по сути дела, являются техническими конструктивными теоремами и определяют алгоритмы преобразования структур алгебраических сетей.

1. Основная теорема алгебраических сетей, определяющая свойство алгебр порождать функциональные структуры для вычислительных моделей.

2. Теорема о нахождении (выделении) дерева вывода функции (выходной переменной). По своей сути она позволяет определить возможность решения задачи х = Z (y^*₁,…, y^*_n, w₁,…, w_k), где х - выходная переменная (результат), (y^*₁,…, y^*_n) - входные переменные (заданные), (w₁,…, w_k) - промежуточные переменные.

3. Теорема о неоднозначности выходной переменной х и промежуточной переменной w_i = (w₁,…, w_k).

4. Теорема о ярусно-параллельной форме (ЯПФ). Любой граф вычислительной сети может быть приведен к ЯПФ. ЯПФ имеет вид ярусов (наборов переменных), где каждая переменная может вычисляться независимо, и поставка данных для вычисления определяется соседним ярусом. Вычислительные ленты в такой форме позволяют эффективно строить конструкции сетей Петри и рассуждающих сетей.

В шестой главе представлены модели применения алгебраических сетей для решения конкретных практических задач.

1. Модель бизнес-процесса, основанного на рефлексивном менеджменте. Рассматривается рефлексивное управление рынком на примере менеджмента, который использовал на автомобильном рынке Ли Якокка (пример взят из книги Ли Якокка «Карьера менеджера»). Ли Якокка был первым, кто применил рефлексивные способы управления рынком. При принятии решений он учитывал не только текущее состояние рынка и своей организации, но и возможные действия других производителей и их влияние на рынок. Такой подход позволял Ли Якокке всегда быть на шаг впереди конкурентов.

На рис. 1.6 представлена рефлексивная модель управления производством (схема Лефевра), которую держит в голове Ли Якокка.

FF - Представление (модель) Ли Якокки о собственном производстве.

FFC - Представление Ли Якокки о поведении рынка продажи собственных автомобилей фирмы F - «Форд».

FH - Представление Ли Якокки о производстве фирмы H - «Шевроле».

FHC - Представление (модель) Ли Якокки о представлении фирмой H поведения рынка продажи собственных автомобилей.

Рис. 1.6. Рефлексивная модель управления производством в голове Ли Якокки

На рис. 2.6 показана продуктово-информационная модель производства и продажи автомобилей фирмами «F» и «H».



F, H - модели предприятий «Форд» и «Шевроле».

CF, CH - модели рынка продажи автомобилей «Форд» и «Шевроле».

f, h {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} - векторы событий изменения цены и характеристик автомобиля.

cf, ch { - продажи увеличились,

- продажи уменьшились}

Рис. 2.6. Продуктово-информационная модель производства и продажи автомобилей фирмами «F» и «Н»

Переменные f, h принадлежат множеству {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}, элементы которого - упорядоченные пары, где первая компонента отвечает за событие изменения цены, а вторая - за изменения характеристик выпускаемого автомобиля. Например, f_t = (01)_t означает, что «Форд» улучшил характеристики выпускаемого автомобиля по сравнению с t-1, но цена осталась прежней; h_t=(10) означает, что «Шевроле» увеличил цену, оставив неизменными характеристики автомобиля. Переменные cf, ch отражают реакцию рынка. Взаимосвязь переменных и моделей представлена на рис. 3.6 в виде алгебраической (вычислительной) сети АС.



Рис. 3.6. Алгебраическая сеть для моделирования бизнес-процессов

Рис. 4.6. Решение классической задачи управления Ли Якокки

Классическая задача управления Ли Якокки - выбрать для производства в момент времени t+1 такой тип автомобиля f_t+1, который, в зависимости от поведения рынка и других производителей, удовлетворяет некоторому критерию оптимальности. Решение этой задачи показано на рис. 4.6. По поводу критерия оптимальности можно сказать следующее. Он есть, на его основе принимается решение, которое отражается в правилах, но конкретный вид не приводится, тем более, что в различные моменты времени существования критерии были разными в зависимости от поведения рынка.

Вычислительная модель для решения данной задачи приведена на рис. 5.6.



Рис. 5.6. Вычислительная модель для задачи Ли Якокки.

Функции для вычислительной модели Ли Якокка определяет следующим образом:

1) ФСF - модель поведения покупателей автомобилей марки «F» с точки зрения Ли Якокки. Рис. 6.6.

Примеры рассуждений: если F выпустил автомобиль с повышенной ценой и не изменил его характеристики, а H выпустил автомобиль с неизменными характеристиками и с прежней ценой, то покупают автомобили H, а не F.

2) ФН - модель поведения покупателей марки «H» с точки зрения H в представлении Ли Якокки. Рис. 7.6.

3) ФRH - модель поведения производителя марки «Н» в представлении Ли Якокки. Рис. 8.6.

4) ФF - модель принятия решений Ли Якоккой о выпуске автомобиля марки «F» в зависимости от поведения конкурента «H» и рынка сбыта.

На основании вычислительной модели строится событийная сеть Петри (рис. 6.6), где ц_f, ц_h, ц_ch, ц_cf - события изменения переменных f, h, cf, ch соответственно. Заметим, что сеть Петри в данном примере бесконечна, т.к. функционирует всегда.



Рис. 6.6. Событийная сеть Петри для задачи менеджмента Ли Якокки

На рис. 7.6 показан пример расписания последовательности выполнения действий (диаграмма Ганта) процессорами в событийной сети. План действий для процессора «F» - план работ для организации «Форд». Остальные процессоры - «живут» только в голове Ли Якокки. Хотя их поведение является результатом его рефлексивных рассуждений, оно необходимо для правильного планирования собственных действий.

Рис. 7.6. Пример диаграммы Ганта выполнения действий процессорами принятия решений в событийной сети.

2. Моделирование операции «Буря в пустыне» (война между США и Ираком 1990 г.). В этой модели учитывали принцип рефлексивного управления, который использовал генерал Шварцкопф, т.н. «Ловушка Шварцкопфа», когда он заставил Хусейна принять решение отвести войска к Персидскому заливу, специально демонстрируя Хусейну «трюки» с передвижением американских войск.

3. Моделирование рассуждений членов правительства, решающих коллективно единую задачу. В этой модели акцент делается на построение сложной рассуждающей сети, учитывающей рассуждения коллег при их капризах и недоверии друг к другу. Приводятся различные варианты взаимных рассуждений, которые приводят к решению задачи, и варианты, когда в результате взаимного недоверия задача не решается.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты работы

1. Сформулирована общая концепция перехода от алгебраической системы к алгебраическим сетям, порождающим совокупность вычислительных моделей, имеющих общие переменные и уравнения (либо отношения).

2. Сформулирована и доказана теорема алгебраических сетей, определяющая свойство алгебр порождать функциональные структуры для вычислительных моделей.

3. Разработаны процедуры построения рассуждающих сетей с использованием соответствующих алгебр для моделирования социальных, экономических и военных задач, основанные на рефлексивных моделях Лефевра.

4. Доказан ряд теорем, позволяющих эквивалентно преобразовывать структуры алгебраических сетей для эффективных вычислений.

5. Рассмотрены примеры решения практических задач, использующих механизмы работы с алгебраическими сетями.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. П.А. Старостин. Модели кризисных ситуаций в производстве IT-продуктов. // Труды Всероссийской конференции «Математические и информационные технологии в энергетике, экономике, экологии». /ИСЭМ СО РАН. - Иркутск, 2003. - C. 90-98.

2. П.А. Старостин. Визуальное ситуационное пространство для планирования работ со случайным внешним потоком заданий. // Моделирование процессов управления. Сб. научных трудов. / Моск. физ.-тех. ин-т. - М., 2004. - С. 174-182.

3. П.А. Старостин. Моделирование боевых операций с помощью рассуждающих сетей Петри (на примере операции «Буря в пустыне»). // Труды института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Выпуск 10 (02). / - М.: КомКнига, 2006. - С. 414-419.

4. П.А. Старостин. Рассуждающие сети для бизнес-процессов. // Методология современной науки. Моделирование сложных систем. Тезисы докладов международной научной конференции. / ВятГУ. - Киров, 2006. - С. 79.

5. Л.Н. Столяров, П.А. Старостин. Рассуждающие сети, моделирующие психологию участников корпоративных решений. // Моделирование процессов обработки информации. Сб. научных трудов. / Моск. физ-тех. ин-т. - М., 2007. - С. 100-109.

6. П.А. Старостин. Рассуждающие сети Петри для моделирования боевых операций. // Моделирование процессов обработки информации. Сб. научных трудов. / Моск. физ-тех. ин-т. - М., 2007. - С. 77-91.

7. П.А. Старостин. Моделирование рефлексивного управления на примере боевых операций. // Труды XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении». / ИСЭМ СО РАН. - Иркутск, 2007. - Часть 3 - С. 158-151.

8. П.А. Старостин. Сетевые модели принятия корпоративных решений, учитывающих психологию участников. // Труды XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении». / ИСЭМ СО РАН. - Иркутск, 2007.

- Часть 3 - С. 161-170.

9. Л.Н. Столяров, П.А. Старостин. Анализ взаимосвязи логических рассуждений членов правительства. // Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе. Приложение к журналу «Открытое образование». ХХХIV международная конференция. IT+SE'07. / МЭСИ.-М., 2007. - С. 139-141.

10. Л.Н. Столяров, П.А. Старостин. Логическая модель рассуждений Шварцкопфа в операции «Буря в пустыне». // Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе. Приложение к журналу «Открытое образование». ХХХIV международная конференция. IT+SE'07. / МЭСИ.-М., 2007. - С. 141-143.

11. Л.Н. Столяров, П.А. Старостин. Рефлексивный менеджмент Ли Якокки. // Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе. Приложение к журналу «Открытое образование». ХХХIV международная конференция. IT+SE'07. / МЭСИ.-М., 2007. - С. 143-145.

Размещено на Allbest.ru