Разработка алгоритмов и программ символьно-численного интегрирования некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании систем с переменной структурой

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

Кузнецова Ирина Сергеевна

05.13.18 - математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Белгород - 2009

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник

Н.А. Чеканов

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор

С.И. Виницкий

Заслуженный деятель науки РФ

доктор технических наук, профессор

Н.И. Корсунов

Ведущая организация: Орловский государственный университет

Защита состоится 25 декабря 2009г. в 13.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 в Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан « » 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Беленко В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Во многих системах в области физики, техники, биологии, автоматического регулирования и оптимального управления и других происходят сложные процессы, которые на разных отрезках своей эволюции с необходимостью описываются различными видами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Например, для некоторых систем их состояние в конкретный момент времени зависит от состояний в предыдущие или последующие моменты времени. Имеются также системы, которые изменяются по разным законам на различных участках своего движения. Некоторые системы изменяют свою структуру при достижении заранее заданных условий.

При математическом моделировании таких систем с переменной структурой адекватным подходом является использование более сложных классов ОДУ, а именно: 1) с отклоняющимися аргументами, которые учитывают эффекты запаздывания или опережения, 2) с кусочно-непрерывными правыми частями, 3) содержащие импульсы (толчки).

Однако нахождение решений перечисленных выше классов ОДУ представляет крайне трудоемкую задачу, так как приходится интегрировать большое количество ОДУ на всем отрезке интегрирования, причем структура ОДУ сильно усложняется при каждом переходе от одного участка к другому.

По поводу вопроса интегрирования ОДУ с отклоняющимся аргументом Г.Г. Малинецкий на стр. 21 своей книги (Математические основы синергетики, 2005) отмечает: «Сами нелинейные уравнения с запаздыванием - одни из наиболее сложных объектов в современном моделировании. Например, весьма непростым является анализ элементарной на вид модели - уравнения Хатчинсона

. (1)

…Его достаточно трудно анализировать как с помощью численных, так и с помощью асимптотических методов при больших значениях параметра ». В теории автоматического управления, где используются ОДУ и их системы с отклоняющимся аргументом, автор обстоятельного курса (Я.Н. Ройтенберг. Автоматическое управление, 1971) на стр. 44 пишет: «Эффективное построение решений дифференциально-разностных уравнений представляет собой достаточно трудную задачу».

В работе (Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости, 1976) относительно исследования ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями на стр. 377 написано, что «… полное сведение исследования её качественной структуры к исследованию некоторого точечного отображения, как правило, делается невозможным».

Точно также обстоит дело с импульсными системами ОДУ, для которых исследование качественной структуры представляет собой ещё более трудную задачу (А.М. Самойленко, Н.А. Пересчук. Системы дифференциальных уравнений с импульсным возмущением, 1987).

Трудности интегрирования указанных классов ОДУ можно в определенной степени преодолеть при использовании комбинированного метода, в котором вначале выполняются символьные преобразования исследуемой математической модели, а затем на основе полученных аналитических выражений производятся численные расчеты. Для символьных, так и численных этапов интегрирования целесообразно использовать современные пакеты, такие как MAPLE и другие подобные системы компьютерной алгебры.

Таким образом, разработка новых методов и алгоритмов, в особенности символьно-численных, реализация их в виде программных средств с использованием современных компьютерных технологий и их применение для исследования систем с переменной структурой является актуальной проблемой математического моделирования сложных систем.

В диссертационной работе предложены новые алгоритмы, реализованные в виде программ для символьно-численного интегрирования ОДУ указанных выше классов, которые позволяют найти их решения в аналитическом виде, а также находить численные значения решений для заданных значений аргумента и строить графики. При помощи разработанных программ в среде MAPLE были проведены исследования конкретных предложенных в работе математических моделей, описывающих глобальный круговорот воды в природе с учетом запаздывания и динамику численностей биологических популяций: хищник, две жертвы и хищник-жертва.

Цель диссертационной работы - разработка методов, алгоритмов и программ с использованием современных средств компьютерной алгебры для символьно-численного интегрирования ОДУ и их систем следующих классов: 1) уравнений с отклоняющимся аргументом; 2) уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями; 3) уравнений содержащих импульсы (толчки). Проведение с помощью полученных программных продуктов исследования ряда прикладных задач из различных областей науки.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований и вычислений на основе средств компьютерной алгебры с представлением решений в аналитическом и численном виде для следующих классов ОДУ и систем:

а) с постоянным и переменным запаздыванием;

б) с кусочно-непрерывными правыми частями;

в) с правой частью, которая содержит импульсы (толчки).

2. Получение системы из трёх ОДУ, которая представляет собой новую нульмерную математическую модель круговорота воды в природе, учитывающую эффект запаздывания стока воды в океан. Проведение исследования на устойчивость решений в аналогичных двух моделях, но без учета эффекта запаздывания.

3. Провести апробацию разработанных программ на известных задачах и применить их для символьно-численного интегрирования и исследования свойств решений следующих предложенных математических моделей:

а) нульмерная модель глобального круговорота воды в природе с учетом запаздывания стока воды в океан;

б) модель взаимодействующих популяций один хищник и две жертвы в виде системы ОДУ с разрывной правой частью;

в) модель динамики численности популяций хищник-жертва при наличии импульсов, связанных с мгновенным изъятием из популяции жертвы определенного ее количества в моменты достижения своих максимальных значений.

Методы исследований. В работе использовались методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как с непрерывными, так и с разрывными правыми частями, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, методы компьютерной алгебры и вычислительной математики, прикладные пакеты программ.

Научная новизна. Показана эффективность применения символьно-численных вычислений для исследования физических, технических, биологических систем с переменной структурой, которые описываются ОДУ как постоянным, так и переменным отклонением аргумента, с кусочно-непрерывными правыми частями, а также содержащих импульсы.

Исследована устойчивость предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе, описываемая ОДУ с запаздывающим аргументом, и показано, что наличие запаздывания является причиной неустойчивости решений в отличие от моделей без учета этого эффекта.

Найдены и исследованы решения предложенной математической модели один хищник и две жертвы в виде системы из трех ОДУ с разрывной правой частью и показано, что существуют такие значения параметров, при которых в системе возникают устойчивые периодические колебания.

Получены и исследованы решения математическая модель в виде системы ОДУ с импульсами, которая описывает динамику численности двух популяций хищник и жертва и обнаружено, что при определенных значениях параметров в такой системе возникает явление динамического хаоса.

Практическая значимость и полезность полученных результатов. Диссертационная работа имеет одновременно теоретический и практический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть с успехом использованы как в теоретических исследованиях, так и для решения прикладных задач, например, в физических, биологических, системах автоматического регулирования и оптимального управления.

Полученные программы для символьно-численного интегрирования всех рассмотренных в работе ОДУ могут быть применены при исследовании устойчивости, зависимости от параметров, отыскания периодических и стохастических движений этих уравнений в сложных системах с переменной структурой.

Отдельные положения диссертационной работы используются в учебном процессе БелГУ при проведении занятий по теории дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы и программы символьно-численных вычислений при интегрировании ОДУ и систем с постоянными и переменными отклоняющимися аргументами, систем ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями и систем ОДУ с импульсами.

2. Программная реализация алгоритмов символьных преобразований и ее применение для вычисления решений предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе с учетом запаздывания стока воды в океан и результаты исследования режимов движения в этой модели.

3. Результаты исследования решений нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе в виде линейной и нелинейной систем ОДУ без учета эффектов запаздывания.

4. Результаты исследования предложенной математической модели системы один хищник и две жертвы, описываемой системой ОДУ с разрывными правыми частями, и расчеты значений параметров, при которых в системе существует устойчивый периодический режим.

5. Результаты символьно-численных вычислений в математической модели для биологической системы хищник-жертва при наличии импульсов, которые показывают существования стохастических решений.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием теорем теории ОДУ (как с непрерывными, так и с разрывными правыми частями) и теории ОДУ с отклоняющимся аргументом, положений метода точечных отображений и теории устойчивости. Кроме того, результаты, полученные с применением разработанных символьно-численных программ, согласуются с имеющимися результатами, полученными другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 10-16 сентября, 2006); IX Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 10-16 сентября, 2007); X Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 15-20 сентября, 2008); Первая Международная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (г. Минск, 10-16 ноября, 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2007 г.); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (г. Харьков, 23-25 марта 2007); V Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2008 г.); IX Международная математическая школа (Алушта, 15-20 сентября 2008); VI Международная научно-практическая конференция «Геометрическое моделирование и компьютерные технологии: теория, практика, образование» (г. Харьков, 21-24 апреля 2009); Международная конференция по математическому моделированию (г. Херсон, 14-19 сентября, 2009); Первая Международная научно-техническая конференция «Компьютерные науки и технологии» (г. Белгород, 8-9 октября 2009).

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их приложения», утверждённого Учёным советом БелГУ от 03.11.2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант №03-02-6263).

Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертационной работе. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 18 публикациях в виде статей в журналах, в трудах международных научных конференций. Из них четыре - в изданиях по списку ВАК РФ. Программы «Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом» и «Пакет программ для интегрирования дифференциальных уравнений запаздывающего, нейтрального или опережающего типов с несколькими постоянными отклонениями аргумента методом шагов» по теме диссертационного исследования зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и двух приложений. Объём диссертации 180 страниц, 36 рисунков. Список литературы включает 190 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

символьный численный интегрирование уравнение

Во введении обосновывается актуальность темы, формируются цели и задачи диссертационного исследования, научная новизна и практическая значимость работы, даётся краткое описание результатов диссертационной работы.

В главе 1 «Алгоритмы и программы символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом» представлены алгоритмы и записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования ОДУ и систем с отклоняющимся аргументом.

В разделе 1.1 излагаются основные положения метода шагов интегрирования ОДУ с постоянным запаздыванием. Описываются классы уравнений, решения которых всегда могут быть продолжены на промежуток равный шагу уравнения, начиная с любой точки расширенного фазового пространства. Приводятся записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования таких уравнений. Даны примеры, тестирующие и иллюстрирующие работу разработанных программ.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом называются уравнения вида:

(1.1.1)

где функции , называемые отклонениями аргумента, предполагаются положительными для и . Функция непрерывна во всём пространстве и удовлетворяет в нём локально условию Липшица по аргументам . Символ означает производную порядка от функции при значении аргумента равном , то есть . Аргумент всюду в дальнейшем трактуем как время.

В настоящем разделе рассматривается уравнение (1.1.1), для которого все есть положительные постоянные, . Обозначим , , число - порядок уравнения. Отрезок называется начальным множеством.

Пусть - наперёд заданные и непрерывные на начальном множестве функции. Если , то вместе с функциями задаём произвольных чисел , , …. Основная начальная задача ставится следующим образом: требуется найти раз непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1.1.1), удовлетворяющее начальным условиям

(1.1.2а)

, (1.1.2б)

а при также дополнительным условиям:

. (1.1.3)

В дальнейшем поставленную таким образом задачу будем называть основной начальной задачей (1.1.1) - (1.1.3).

Для решения поставленной задачи в среде MAPLE были составлены программы ddesolve, oddeplot, ddefsolve, которые позволяют находить решение ОДУ с отклоняющимся аргументом в аналитическом и численном виде, строить их графики.

В разделе 1.2 излагаются особенности применения метода шагов для интегрирования ОДУ с переменным запаздыванием. Описываются классы уравнений, для которых оказывается возможным запрограммировать этот процесс на языке программирования символьной алгебры математического пакета MAPLE. Приводятся записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования таких уравнений и даны примеры, тестирующие и иллюстрирующие работу программ.

В этом разделе рассматриваются уравнения вида

, (1.2.1)

где отклонение - некоторая непрерывная функция.

Составленная программа для символьно-численного интегрирования ОДУ с переменным запаздыванием называется oddevdplot. Она имеет следующие четыре особенности по сравнению с программами ddesolve и oddeplot.

1) Поскольку запаздывание является функцией , то величина шага интегрирования будет переменной (зависящей от номера шага) и, следовательно, должна в программе вычисляться заранее.

2) В программе oddevdplot, в силу переменности шага интегрирования, заранее неизвестно, сколько следует взять шагов, чтобы получить решение на заданном отрезке , поэтому за входной параметр берётся этот отрезок.

3) Как известно, обращение функции в ноль при некотором значении называется особенным случаем для уравнения (1.2.1). Особенность заключается в том, что при переходе через такую точку решение может разветвляться. Вопрос о том, по какой из ветвей продолжать решение за точку не может быть решён математическими средствами и, по этой причине, программа может быть составлена только для уравнений без особенного случая.

4) Уравнение с переменным запаздыванием в программе oddevdplot не может быть задано в естественной записи. Действительно, если, например, неизвестная функция есть , то при запуске программы команда выполнит дифференцирование и вид уравнения изменится.

Анализ указанных особенностей приводит к необходимости наложить на функцию следующие условия:

a) запаздывание определено и непрерывно на отрезке ,

b) функция строго возрастает на отрезке ,

c) .

Из условий a) и b) следует, что существует функция обратная для функции , определённая, непрерывная и строго возрастающая на отрезке , , .

Особенный случай не может наступить, если выполнено условие c), причём для интегрирования уравнения в этом случае может быть применён метод шагов с шагом не меньшим .

Для того чтобы уравнение не менялось при запуске программы, использован следующий приём. Заменим функцию и производные, входящие в уравнение с измененным аргументом, на индексированную переменную по следующему правилу: функцию заменим в уравнении на ; первую производную заменим на ; вторую - на и так далее; производную , порядка заменяем на .

В разделе 1.3 излагаются основные положения метода шагов при интегрировании систем ОДУ с постоянным запаздыванием. Приводятся записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования таких систем. Даны примеры, тестирующие и иллюстрирующие работу программ.

Рассматриваемая система ОДУ с одним отклонением аргумента имеет вид:

. (1.3.1)

Под понимается производная от функции вычисленная в точке . Предполагается, что запаздывание - положительное число типа float или fraction. Требуется найти непрерывное решение системы (1.3.1), удовлетворяющее начальным условиям:

(1.3.2)

Здесь - наперёд заданные непрерывно дифференцируемые функции. Функции также считаем непрерывно дифференцируемыми по всем аргументам в соответствующих областях.

Вручную решать системы ОДУ с отклоняющимся аргументом методом шагов - крайне трудоемкая работа. Поэтому, в работе, используя язык символьной алгебры математического пакета MAPLE 8, были разработан алгоритм и составлена программа soddeplot для построения интегральных кривых системы ОДУ с отклоняющимся аргументом методом шагов.

В главе 2 «Алгоритмы и программы символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями» представлены алгоритмы и программы для символьно-численного интегрирования ОДУ с разрывной правой частью.

В разделе 2.1 излагаются основные факты теории ОДУ с разрывными правыми частями. Вводится определение решения систем разрывных дифференциальных уравнений. Приводятся записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования таких систем. Приведены тестовые задачи.

В наиболее общем виде система ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями задаётся в следующей нормальной форме:

, (2.1.1)

которая определена в некоторой области , , , и - векторные функции. Правые части системы (2.1.1) имеют разрывы первого рода на поверхностях , . В каждой из частей , на которые поверхности делят область , правая часть системы (2.1.1) удовлетворяет условию Липшица по аргументу . Поверхности задаются уравнениями в неявной форме: , , где - непрерывно дифференцируемые функции.

Поскольку в каждой из областей правые части системы (2.1.1) удовлетворяют условию Липшица, то внутри каждой из них решение понимается в классическом смысле, то есть, как непрерывно дифференцируемая вектор-функция , обращающая систему (2.1.1) на некотором интервале в истинное тождество. Следовательно, различия между указанными определениями будут проявляться только на поверхностях разрыва , .

Задач ставится следующим образом. Пусть дано некоторое число областей , с кусочно-гладкими границами , , лежащих в расширенном фазовом пространстве переменных и таких, что , и в каждой области определена система ОДУ

, (2.1.2i)

с правыми частями, удовлетворяющими условию Липшица. В свою очередь, каждая граница содержит некоторое число гладких частей .

Некоторые из областей , могут иметь размерность меньшую , то есть могут лежать на поверхностях разрыва правых частей системы (2.1.1), или даже на пересечении этих поверхностей. Задание областей , и в каждой из них систем уравнений (2.1.2i) равносильно заданию разрывной системы (2.1.1) вместе со скользящими движениями. Интегрируя систему ОДУ с разрывными правыми частями, мы из самой постановки задачи определяем с траектории какой системы и на траекторию какой системы происходит переход при достижении изображающей точкой поверхности переключения. В программе же для интегрирования таких уравнений с помощью ЭВМ должны быть предусмотрены правила такого перехода.

Так же как и для ОДУ с отклоняющимся аргументом для систем ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями были составлены программы, позволяющие интегрировать такие системы аналитически и численно, при необходимости с выводом решений в виде графиков.

В разделе 2.2 излагаются основные факты теории ОДУ с импульсами (толчками). Вводится определение решения импульсной системы. Приводятся записанные в псевдокодах символьно-численные программы для интегрирования таких систем. Даны примеры, тестирующие и иллюстрирующие работу программ.

Многочисленные прикладные задачи приводят к необходимости исследовать ОДУ с импульсами (толчками). Несмотря на то, что теория таких уравнений хорошо разработана, на практике их интегрирование представляет значительные трудности. В широко известных математических пакетах MAPLE, MATHEMATICA и других известных нам отсутствуют программы для интегрирования импульсных систем.

В наиболее общем виде импульсная система задаётся системой ОДУ в нормальной форме:

, (2.2.1)

определённая, непрерывная и удовлетворяющая условию Липшица по локально в некоторой области . Кроме того, заданы одна или несколько гладких поверхностей , , и операторы

, , (2.2.2)

отображающие поверхность в (номер является функцией ). Случай, когда поверхность отображается в себя, не исключается. Отображения (2.2.2) удовлетворяют условию

, (2.2.3)

которое означает, что при отображении момент времени остаётся неизменным, а точка в фазовом пространстве мгновенно меняет своё положение на . Заданную таким образом систему ОДУ, будем называть импульсной системой (2.2.1) - (2.2.3).

Предполагаем, что поверхности задаются уравнениями в неявной форме: , , где - достаточно гладкие функции. Кроме того, считаем, что на любом конечном отрезке интегральные кривые системы ОДУ (2.2.1) пересекаются с поверхностями , лишь в конечном числе точек.

Решением импульсной системы (2.2.1) - (2.2.3) является кусочно-непрерывная на отрезке функция , удовлетворяющая на каждом из интервалов , уравнению (2.2.1), непрерывная в точках справа и имеющая в этих точках скачки: , .

Для интегрирования импульсных систем ОДУ был составлен комплекс SDEI (от System of Differential Equation with Impulses), состоящий из программ odeisolve, odeifsolve и odeiplot, позволяющих интегрировать такие системы в аналитическом и численном видах с представлением их графически.

В главе 3 «Применения разработанных программ для исследования некоторых систем с переменной структурой» рассматривается ряд задач из разных областей знания, на которых апробируются разработанные программы, представленные в предыдущих главах.

В разделе 3.1 рассматривается вопрос о влиянии фактора запаздывания на устойчивость глобального круговорота воды в природе. То, что запаздывание является существенным элементом процесса круговорота воды очевидно, поскольку вода по рекам не сразу попадает в океан, а через несколько суток, в ледниках же вода может накапливаться десятилетиями. В то же время наиболее общая система уравнений (В.Ф. Крапивин, Ю.М. Свирежев, А.М. Тарко. Математическое моделирование глобальных биосферных процессов, 1982), описывающая круговорот воды, настолько сложна, что исчерпывающее исследование её весьма затруднительно, и полностью она до сих пор не исследована. Кроме того, в ней не учтён фактор запаздывания.

В нашей работе предложена нульмерная модель глобального круговорота воды в виде системы ОДУ третьего порядка, которая отражает основные закономерности процесса с учетом запаздывания, а вначале исследованы также его две модели - первая линейная, а вторая нелинейная этого явления без учета запаздывания.

1). Вначале, при рассмотрении глобального круговорота воды, не будем учитывать использование пресной воды человеком для бытовых и производственных нужд, обращение пресной воды в животном и растительном мире, а также зависимость коэффициентов испарения воды от количества водяных паров в атмосфере.

Пусть - количество воды, находящейся в океане, - количество воды, находящейся в атмосфере, а - количество воды, находящейся на суше. Линейная система ОДУ, описывающих изменение величин , и с течением времени выглядит так:

(3.1.1)

Здесь коэффициенты являются положительными константами. Так как суммарное количество воды в трёх средах не меняется со временем, то имеет место соотношение

, (3.1.2)

поэтому три коэффициента в системе (3.1.1) могут быть выражены через остальные. Вводя обозначения , , , , , , систему уравнений (3.1.1) запишем в виде:

, (3.1.3)

где все переменные являются положительными, то есть находятся в первом октанте .

Проведённое методами качественной теории ОДУ исследование показывает, что все особые точки системы (3.1.3) устойчивы, то есть количества воды в океане, на суше и в атмосфере при времени , начиная с произвольной точки и оставаясь на плоскости стремятся к определённым конечным значениям:

,

. (3.1.4)

2). При составлении системы ОДУ (3.1.1) не учитывался тот совершенно очевидный факт, что чем больше облачность (то есть, чем больше воды в атмосфере), тем меньшее количество солнечного излучения достигнет поверхности Земли, и тем меньше воды испаряется с поверхности океана и суши. При учёте этого фактора соответствующие коэффициенты уравнений системы (3.1.1) будут непрерывно дифференцируемыми, положительными и строго убывающими функциями , при , и система становится нелинейной:

 (3.1.5)

И в этом случае в работе также доказано, что количества воды в океане, на суше и в атмосфере при времени также стремятся к определённым конечным значениям.

3). В двух моделях, рассмотренных в предыдущих пунктах, не учитывается эффект запаздывания, который, несомненно, присутствует и играет весьма существенную роль в круговороте воды.

(3.1.6)

Действительно, вода, выпадающая на сушу из атмосферы, не сразу оказывается в океане, а попадает туда через определённое время - время запаздывания. Задержка воды на суше объясняется временем необходимым для стока её по рекам, скоплением воды в ледниках, содержанием воды в растениях и животных, использованием большого количества воды в промышленном производстве и пр.

Для учета эффекта запаздывания в работе предложена математическая модель исследуемого явления в виде системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (3.1.6).

Применяя программы символьно-численного интегрирования систем ОДУ с отклоняющимся аргументом, приведённые в первой главе, было показано, что в системе (3.1.6) реализуются различные виды движения (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Устойчивое (, , , , , ), (слева), периодическое (, , , , , ), и неустойчивое

(, , , , , ) (справа) решения системы (3.1.6)

В частности, обнаружено, что при некоторых значениях параметров, состояние равновесия системы дифференциальных уравнений (3.1.6) круговорота воды становится неустойчивым, то есть наличие запаздывания приводит к неустойчивости глобального круговорота воды в природе.

В разделе 3.2 исследована предложенная в работе математическая модель в виде системы ОДУ с разрывной правой частью, описывающая взаимодействие трёх популяций - один хищник и две жертвы.

Пространство численностей популяций двух жертв , и хищника разбивается некоторой гладкой поверхностью на две области и , и динамика численностей в области задаётся системой ОДУ (3.2.1), а в области - системой ОДУ (3.2.2):

, (3.2.1) , (3.2.2)

которые отличаются только значениями числовых коэффициентов , , , , , , , при одинаковых значениях коэффициентов , , .

В нашей работе методами качественной теории ОДУ и с применением описанных в разделе 2.1 программ были исследованы решения системы ОДУ с разрывной правой частью (3.2.1), (3.2.2) для двух поверхностей разрыва: , и . В результате были выявлены многие качественные закономерности решений в предложенной модели трех взаимодействующих популяций, в частности, в зависимости от величины параметров было показано существование в ней периодических, устойчивых и неустойчивых режимов.

В качестве примеров на рис. 3.2 слева и в центре приведены траектории системы (3.2.1), (3.2.2), которые заканчиваются циклами, лежащими на поверхностях (затемнены) разрыва и , а справа на этом же рисунке показан цикл, состоящий из двух дуг, одна из которых лежит на поверхности скользящих движений , а другая дуга - вне этой поверхности.

В разделе 3.3 исследована система ОДУ с импульсами, которая представляет собой математическую модель динамики численности популяций жертвы и хищника, в которой из популяции жертвы в моменты достижения своих максимальных значений мгновенно изымается некоторое количество особей (установленная квота). Такая модель описывается системой ОДУ с импульсами



Рис. 3.2. Траектории системы (3.2.1), (3.2.2) с разрывной провой частью, которые заканчиваются циклами.

, (3.3.1.)

где - положительные константы. Движение происходит по траектории системы (3.3.1) до такого момента времени, когда изображающая точка численности жертвы не достигнет своей максимальной величины, в этот момент времени мгновенно из количества изымается величина установленной квоты, после чего движение снова будет продолжаться по траектории системы (3.3.1) и так далее.

Рис. 3.3. Траектория импульсной системы (3.3.1), выходящая из точки при изменении времени и при следующих значениях параметров , , , , .

Система ОДУ (3.3.1.) была исследована с помощью разработанной программы, описанной в разделе 2.2 и, в частности, обнаружено, что в этой модели имеет место так называемый динамический хаос. Отметим, что наличие в данной системе хаоса было строго доказано методами качественной теории (М.А. Аматов, Г.М. Аматова. Об автоколебаниях в уравнениях Лотки-Вольтерра с толчками. Дифференциальные уравнения. Рязань, 1986). Найденная с помощью описанной в разделе 2.3 программы часть траектории импульсной системы (3.3.1) показана на рис. 3.3.

При дальнейшем увеличении интервала изменения времени она сплошь заполняет собой область, ограниченную замкнутой кривой ABCDEFMA, что показывает стохастический характер движения, полностью определяемый динамикой импульсной системы (3.3.1).

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В двух приложениях приведены листинги разработанных программ для символьно-численного интегрирования: 1) ОДУ с отклоняющимся аргументом (Приложение А), 2) ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями, неинтегрируемых в квадратурах (Приложение Б).

Основные результаты

1. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования ОДУ -го порядка с постоянным и переменным отклонениями аргумента.

2. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из ОДУ с постоянным отклонением аргумента.

3. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями.

4. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсами.

5. С помощью разработанных программ и методами качественной теории дифференциальных уравнений исследованы решения линейной и нелинейной математических моделей глобального круговорота воды в природе в виде системы трёх ОДУ без учета фактора запаздывания стока воды с суши в океан и показана устойчивость их состояний равновесия.

6. С помощью разработанных программ получены и исследованы решения предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе в виде системы трёх ОДУ с учетом запаздывания. Определены значения параметров модели, при которых явление запаздывания приводит к неустойчивости круговорота воды в природе.

7. Выполнены символьно-численные вычисления с использованием разработанной программы и проведен анализ решений предложенной математической модели в виде системы из трёх ОДУ с разрывной правой частью для описания динамики численностей трёх взаимодействующих популяций: один хищник - две жертвы. Показано, в частности, что в системе имеются периодические решения.

8. Исследована математическая модель, описывающая динамику двух популяций взаимодействующих между собой как хищник и жертва при условии, что в момент, когда численность жертвы становится максимальной, из неё мгновенно изымается одно и то же число особей. С использованием составленной нами программы для символьно-численного интегрирования ОДУ с импульсами показано, что в такой системе возникает явление динамического хаоса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Статьи в научных изданиях, входящих в перечень рекомендованных ВАК

1. Аматов М.А. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью пакета MAPLE 8./ М.А. Аматов, А.А. Гусев, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Вестник Воронежского государственного технического университета, т.3, №8. - Воронеж: ВГТУ, 2007. - С. 165-166.

2. Аматов М.А. Исследование устойчивости глобального круговорота воды в природе / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, Кунгурцев С.А., Н.А. Чеканов // Экологические системы и приборы. - Москва: №6. - 2008. - С. 42-46.

3. Аматов М.А. Исследование математической модели динамики численностей трёх взаимодействующих популяций / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова //. Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. - Тамбов: ТГТУ. №3(17). - 2009. - С. 65-77.

4. Аматов М.А. Исследование модели взаимодействия трёх популяций, связанных трофическими отношениями / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, Кунгурцев С.А., Н.А. Чеканов // Экологические системы и приборы. - Москва: №7. - 2009.-С. 31-41.

Статьи в научных журналах и сборниках трудов

5. Аматов М.А. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью математического пакета MAPLE 8 / М.А. Аматов, И.А. Клименко, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, - №2(25), - 2006. с. 14-18.

6. Аматов М.А. Применение математического пакета MAPLE 8 к интегрированию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / М.А. Аматов, И.А. Клименко, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Научные ведомости. - Белгород: БелГУ, Серия физико-математическая, - №6(26). Вып. 12, - 2006. - с. 65-70.

7. Аматов М.А. Интегрирование систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью математического пакета MAPLE 8 / М.А. Аматов, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, - Вып. 2(28). - 2007. - с. 12-15.

8. Аматов М.А. Применение математического пакета MAPLE 8 к исследованию одного класса немарковских процессов / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Научные ведомости БелГУ. - Белгород: БелГУ, - №6 (37). вып. 13, 2007. - с. 65-74.

9. Кузнецова И.С. Решение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом методом шагов в среде MAPLE / И.С. Кузнецова //. Сб. материалов международной научной конференции «Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях». Харьков: ХНУ, 2007, с. 134-137.

10. Аматов М.А. Интегрирование импульсных систем с помощью математического пакета MAPLE 8 / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета.- Херсон: ХНТУ, № 2(31). - 2008. - с. 15-19.

11. Кузнецова И.С. Об устойчивости нульмерной модели глобального круговорота воды в природе / И.С. Кузнецова //. Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. № 11, - 2009. - с. 5-8.

12. Аматов М.А. Интегрирование математического пакета MAPLE к интегрированию систем дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, Ишкова О.А., И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, - №2(35). -2009. - с. 19-24.

Статьи в материалах и сборниках трудов научных конференций

13. Аматов М.А. Исследование одного класса немарковских процессов с помощью математического пакета MAPLЕ 8 / М.А. Аматов, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Труды первой международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения». - Минск: БГУ, - 2007. - с. 112-113.

14. Аматов М.А. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью пакета MAPLE 8 / М.А. Аматов, А.А. Гусев, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов //. Физико-математическое моделирование систем. Материалы IV Международного семинара. Часть 2. - Воронеж: ВГТУ, - 2007. - с. 175-179.

15. Аматов М.А. К теории устойчивости глобального круговорота воды в природе / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Материалы девятой Международной математической школы: «Метод функций Ляпунова и его приложения». - Симферополь: СНУ, - 2008. - с. 3-4.

16. Аматов М.А. Математические модели глобального круговорота воды в природе / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Десятая Международная Белорусская математическая конференция. Математическое моделирование и математическая физика. - Минск: БГУ, 2008

Официальная регистрации программ

17. Аматов М.А. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / М.А. Аматов, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // ФГНУ «Государственный координационный центр информационных технологий». Отраслевой фонд алгоритмов и программ, дата регистрации 04 апреля 2007 г.

18. Аматов М.А. Пакет программ для интегрирования дифференциальных уравнений запаздывающего, нейтрального или опережающего типов с несколькими постоянными отклонениями аргумента методом шагов / М.А. Аматов, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // ФГНУ «Государственный координационный центр информационных технологий», ОФАП, дата регистрации 14 декабря 2007 г.

Размещено на Allbest.ru