Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа третьего и четвертого порядков

Размещено на http://www.allbest.ru/

25

На правах рукописи

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа третьего и четвертого порядков

Рустамова Людмила Рустамовна

Белгород - 2010

Работа выполнена в Кабардино-Балкарском государственном университете им. Х.М. Бербекова (КБГУ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Елеев Валерий Абдурахманович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Пулькина Людмила Степановна

доктор физико-математических наук, профессор Зарубин Александр Николаевич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН

Защита состоится 24 февраля 2010 г. в 15 ч 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан "____" января 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 Прядиев В. Л.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа в силу своей теоретической и прикладной значимости является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Важным этапом развития теории уравнений смешанного типа, является исследования, проведенные К.И.Бабенко, А.В.Бицадзе, М.А.Лаврентьевым, Ф.И.Франклем, где наряду с фундаментальными исследованиями целого ряда существенных вопросов данной теории, была показана практическая важность проблемы уравнений смешанного типа.

В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типа стали предметом многочисленных исследований как отечественных, так и зарубежных специалистов. Основные результаты этих работ и соответствующая библиография приведена в монографиях Л.Берса, А.В.Бицадзе, К.Г.Гудерлея, Т.Д.Джураева, М.С.Салахитдинова и А.К.Уринова, М.М.Смирнова, А.М.Нахушева, Е.И.Моисеева, а так же в докторских диссертациях Д.Базарова, В.А.Елеева, О.А.Репина, К.Б.Сабитова.

Одним из активно развивающихся направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является теория нелокальных краевых задач для различных уравнений смешанного типа. А.М. Нахушевым в связи с нахождением общих подходов в теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного (эллиптико-гиперболического) типа второго порядка были поставлены и исследованы краевые задачи, получившие в настоящее время название задач со смещением. В этих задачах нелокальные условия связывают значение искомой функции или ее производной внутри области со значениями, принимаемыми на гиперболической части границы рассматриваемой области. Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, процессов размножения клеток.

Исследованиями нелокальных краевых задач занимались. В.И.Жегалов, В.А.Елеев, С.К.Кумыкова, М.С.Салахитдинов, А.К.Уринов, О.А.Репин. Систематическое изучение уравнений третьего и четвертого порядков, содержащих в главной части смешанные операторы эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов началось в 70-х годах в работах Т.Д.Джураева и его учеников. Достаточно полная библиография по теории краевых задач для уравнений смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и уравнений смешанно-составного типа содержится в монографиях Т.Д.Джураева, М.С.Салахитдинова, М.М.Смирнова, в докторской диссертации Д.Базарова.

Цель работы. Основной целью работы является постановка и исследование однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для уравнений третьего и четвертого порядков, содержащих в главной части смешанные операторы параболо-гиперболического типа.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием методов функции Грина и интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегродифференцирования, интегральных преобразований Лапласа, метода интегралов энергии.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказана теорема существования и единственности решения аналога задачи Франкля для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка.

2. Для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором дробного порядка в краевом условии доказана теорема об однозначной разрешимости нелокальной внутренне-краевой задачи.

3. Доказана теорема существования и единственности решения задачи Бицадзе - Самарского для уравнения смешанного типа четвертого порядка.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа задачи Франкля и Бицадзе - Самарского для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и со спектральными параметрами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит в основном теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. Результаты работы могут иметь также прикладной характер при решении различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах по современному анализу, информатике и физике (руководитель - заслуженный деятель науки РФ, академик АМАН, профессор А.М.Нахушев), на семинарах по краевым задачам для уравнений смешанного типа и их приложениям в КБГУ (руководитель - академик АМАН, профессор В.А.Елеев), на Международных (Российско-Узбекской, Российско-Казахской, Российско-Азербайджанской, Российско-Абхазской) 2003, 2004, 2008, 2009годах, на региональных научных конференциях молодых аспирантов и студентов, на региональной научно-практической конференции "Вузовское образование и наука", посвященной 10-летию ИнгГУ (г. Назрань, 2005 г.), на региональной конференции (г. Владикавказа 2006 г.), на второй и третьей международных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Махачкала, 2005, 2007 г.) и т.д.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах. Из них [6] выполнена в соавторстве с В.А. Елеевым, которому принадлежит постановка задачи и общие указания о путях ее решения, а Рустамовой Л.Р. - реализация поставленной задачи. Из них [8-9] опубликованы в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 115 страниц состоит из введения, двух глав, состоящих из 6 параграфов и списка литературы, содержащего 81 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

гиперболический нелокальный краевой задача

Первая глава посвящена нелокальным задачам типа задач Франкля и Бицадзе - Самарского для уравнений третьего и четвертого порядков, содержащим параболо-гиперболический оператор.

В § 1.1 исследуется аналог задачи Франкля для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка в конечной смешанной области , ограниченной отрезками прямых соответственно, и характеристикой уравнения (1.1.1).

(1.1.1)

Задача 1.1.1. Требуется определить функцию , обладающую следующими свойствами: 1) является регулярным решением уравнения (1.1.1) в области , кроме прямых ,

3) удовлетворяет краевым условиям:

, (1.1.2)

, (1.1.3)

где - внутренняя нормаль, причем

Используя свойства первой краевой задачи для уравнения теплопроводности, задача 1.1.1 исследована специальным методом редукции к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

В § 1.2 рассматривается уравнение

(1.2.1)

в конечной односвязной области плоскости независимых переменных и , ограниченной отрезками , прямых x = 0, y = , x = , соответственно, и характеристиками AC:



x + y =0, BC: x - y = ,

уравнения (1.2.1), выходящими из точек и , и пересекающимися в точке при при . Обозначим через параболическую и гиперболическую части области .

Задача 1.2.1. Найти регулярное в области (при ) решение уравнения (1.2.1), непрерывное в , обладающее непрерывными производными и в области , удовлетворяющее краевым условиям

, (1.2.2)

(1.2.3)

, (1.2.4)

где - произвольная фиксированная точка интервала - оператор дробного интегрирования порядка , - внутренняя нормаль;

, , ,

, причем полагаем, что

- функции непрерывные в замыкании области их определения.

В начале рассматривается случай, когда . В этом случае для следа искомого решения, приходим к нелокальной краевой задаче для неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения:

,

.

Справедлива

Теорема 1.2.1. Пусть и ,

(1.2.5)

Тогда задача (1.2.1') - (1.2.3') разрешим и притом единственным образом.

Схема доказательства следующая: после нахождения приходим к задаче (1.2.1) - (1.2.3), , которая в силу свойств функции Грина смешанной краевой задачи, эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода.

Пусть теперь . Задача 1.2.1 эквивалентно редуцируется к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая однозначно разрешима.

Обозначим

Задача 1.2.2. Найти регулярное в области , , непрерывное в решение уравнения

(1.2.6)

обладающее непрерывными производными в области и удовлетворяющее краевым условиям (1.2.3),

, (1.2.7)

(1.2.8)

и условиям склеивания



где заданные функции и коэффициенты нелокального условия (1.2.3) обладают такими же свойствами, как и в задаче (1.2.1), а причем .

Методом редукции к интегральному уравнению Вольтерра второго рода доказана однозначная разрешимость задачи 1.2.2.

В § 1.3. в области (см. §1.2) для уравнения четвертого порядка, содержащего гиперболо-параболический оператор

(1.3.1)

ставятся и исследуются следующие нелокальные задачи:

Задача 1.3.1. Найти регулярное решение уравнения (1.3.1) в области при , непрерывное в замкнутой области с непрерывной производной при переходе через отрезок , удовлетворяющее граничным условиям

(1.3.2)

,

(1.3.3)

. (1.3.4)

Здесь - внутренняя нормаль области произвольная фиксированная точка интервала оператор дробного интегрирования порядка -

причем .

Задача 1.3.2. Эта задача отличается от задачи 1.3.1 тем, что условия (1.3.2), (1.3.3) заменяются условиями

.

Заданные функции обладают такими же свойствами, как и в задаче 1.3.1.

Выписывая соотношения между и , приносимые из областей и на линию , а так же учитывая граничные условия (1.3.2) и (1.3.3) задачи 1.3.1, получим вспомогательную нелокальную задачу относительно вида

, (1.3.5)

, (1.3.6)

, (1.3.7)

где

произвольные константы.

Доказана следующая

Теорема 1. 3.1. Пусть выполняются неравенства

, (1.3.8)

-(1.3.9)

где ,

,

,

.

Тогда задача (1.3.5) - (1.3.7) разрешима и притом единственным образом.

Аналогично доказывается однозначная разрешимость задачи 1.3.2.

Задачи (1.3.1), (1.3.2), и (1.3.1), (1.3.2') и эквивалентно редуцируются к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая имеет единственное решение.

Во второй главе исследованы на корректность нелокальные задачи типа задачи Франкля и Бицадзе - Самарского для уравнений смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

В § 2.1. исследуется нелокальная краевая задача типа задачи Франкля для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками вида

0 = (2.1.1)

в области (см § 1.2).

Задача 2.1.1. Определить функцию u(x, y), обладающую следующими свойствами: 1) u(x, y) - является регулярным решением уравнения (2.1.1) в области , кроме прямой y = 0; 2) u(x,y) C() C(); 3) u(x,y) удовлетворяет граничным условиям:

(2.1.2)

(2.1.3)

где (y), (y), (y) и (x), (x) - известные гладкие функции, причем

(0)=(0),

. Относительно коэффициентов в уравнении (2.1.1.)

предполагаем, что . Рассматривается случай, когда . Доказываются следующие утверждения:

Лемма 2.1.1.

Пусть и выполняются равенства

(2.1.4)

Тогда для любого регулярного в области решения уравнения (2.1.1.) справедливо неравенство

(2.1.5)

Лемма 2.1.2. Если то для любого регулярного в области решения уравнения (2.1.1.) справедливо неравенство

Теорема 2.1.1. Пусть - регулярное в области решение однородной задачи (2.1.1), удовлетворяющее условиям (2.1.4). Тогда в при всех значениях .

Из теоремы 2.1.1 непосредственно следует единственность решения задачи 2.1.1. Для определения следа искомого решения на линии приходим к нелокальной задаче

, (2.1.6)

. (2.1.7)

Обозначим через дискриминант характеристического уравнения

(2.1.8)

соответствующего однородному уравнению (2.1.6).

Теорема 2.1.2. Пусть выполняются условия

, если ;

если

если ,

где

при , и

при , тогда задача (2.1.6), (2.1.7) разрешима, притом единственным образом.

Схема доказательства следующая: после определения в области приходим к задаче (2.1.1), (2.1.2), единственность решения которой доказывается методом интегралов энергии, а его существование доказывается с помощью теории потенциала и аппарата преобразования Лапласа. В области приходим к задаче (2.1.1), (2.1.3) решение которой выписывается в явном виде.

Во второй части § 2.1. исследуется нелокальная краевая задач 2.1.1. . В этом случае справедливы утверждения:

Лемма 2.1.3. Если , то для любого регулярного решения уравнения (2.1.1) имеет место неравенство

при любом .

Лемма 2.1.4. Если и

то для любого регулярного решения уравнения (2.1.1) справедливо соотношение

.

Теорема 2.1.3. Пусть - регулярное в области решение однородной задачи 2.1.1. Тогда в .

Из теоремы 2.1.3 непосредственно следует единственность решения задачи 2.1.1. С помощью преобразования Лапласа задача 2.1.1 эквивалентно редуцируется к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая однозначно разрешима.

В §2.2. исследуется на корректность аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, содержащими спектральные параметры

0= (2.2.1)

В односвязной смешанной области (см. §1.2.)

Задача 2.2.1. Найти функцию

,

удовлетворяющую уравнению (2.2.1) в и внутренне-краевым условиям

, , (2.2.2)

, (2.2.3)

(2.2.4)

и ,

, (2.2.4')

где - фиксированная точка интервала - заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения, причем

, .

Пусть . В этом случае относительно следа искомого решения на линии получаем нелокальную внутренне-краевую задачу для неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка

(2.2.5)

(2.2.6)

(2.2.7)

если и нелокальную задачу (2.2.6), (2.2.7) для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка

, (2.2.8)

если , где - выражаются через заданные функции.

Имеет место

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены неравенства

(2.2.9)

в случае задачи (2.2.5)-(2.2.7),

(2.2.10)

в случае задачи (2.2.8), (2.2.6), (2.2.7), где - известная функция из класса . Тогда задачи (2.2.5)-(2.2.7) и (2.2.8), (2.2.6), (2.2.7) однозначно разрешимы.

После определения в области , в обоих случаях приходим к задаче (2.2.1)- (2.2.3), которая эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции . Это уравнение безусловно, и однозначно разрешимо.

Доказывается однозначная разрешимость задачи и для случая . А в решение рассматриваемой задачи выписывается в явном виде.

В § 2.3 рассматривается нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения с кратными характеристиками, содержащими спектральные параметры.

Рассматривается уравнение

(2.3.1)

в области , определенной в § 1.2.

Задача 2.3.1. Найти функцию , удовлетворяющую условиям: 1); 2) -регулярное решение уравнения (2.3.1) в ; 3) удовлетворяет краевым условиям (2.2.2)-(2.2.4).

При определенных условиях на заданные функции доказывается однозначная разрешимость задачи (2.3.1).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.А. Елееву за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Рустамова, Л. Р. Аналог задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка / Л. Р. Рустамова // Вестник КБГУ. Серия мат. наук. - 2003. - № 3. - С. 57-60.

[2] Рустамова, Л. Р. Об одной краевой задаче для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка / Л. Р. Рустамова // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума. Нальчик - Эльбрус, 18-25 мая 2003 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2003. - С. 83.

[3] Рустамова, Л. Р. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками / Л. Р. Рустамова // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума. Нальчик - Эльбрус 22-26 мая 2004 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2004. - С. 153-155.

[4] Рустамова, Л. Р. Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного уравнения третьего порядка со спектральными параметрами / Л. Р. Рустамова // Сборник научных трудов Ингушского государственного университета. - Магас, 2004. - Выпуск № 2. - С. 298-303.

[5] Рустамова, Л. Р. Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного уравнения с кратными характеристиками / Л. Р. Рустамова // Материалы региональной научно-практической конференции "Вузовское образование и науки". - Магас, 2005. - С. 61-68.

[6] Елеев, В. А. Нелокальные краевые задачи со смещением для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка / В. А. Елеев, Л. Р. Рустамова // Материалы второй Международной научной конференции "Функционально-дифференцируемые уравнения и их приложения". - Махачкала, 2005. - С. 93-96.

[7] Рустамова, Л. Р. Нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка с оператором смешанного параболо-гиперболического типа / Л. Р. Рустамова // Материалы второй Международной научной конференции "Функционально-дифференцируемые уравнения и их приложения". - Махачкала, 2005. - С. 156-158.

[8] Рустамова, Л. Р. Нелокальная краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками с группой младших членов / Л. Р. Рустамова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2007. - № 3. - С. 14-16.

[9] Рустамова, Л. Р. Нелокальная краевая задача типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа четвертого порядка / Л. Р. Рустамова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2007. - № 4 - С. 14-16.

[10] Рустамова, Л. Р. Некоторые краевые задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором дробного порядка в краевом условии / Л. Р. Рустамова // Материалы третьей Международной научной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". - Махачкала, 2007. - С. 177- 180.

[11] Рустамова, Л. Р. О некоторых нелокальных задачах для уравнения смешанного типа четвертого порядка / Л. Р. Рустамова // Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума. Нальчик-Эльбрус, 12-17 мая 2008 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2008. - С. 145.

[12] Рустамова, Л. Р. Нелокальная краевая задача типа задачи Франкля для уравнения смешанного типа третьего порядка / Л. Р. Рустамова // Материалы Российско-Абхазского симпозиума. Нальчик-Эльбрус, 17-22 мая 2009 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2009. - С. 192-193.

Размещено на Allbest.ru