Дифференциальные уравнения
Основные этапы и закономерности решения дифференциальных уравнений. Порядок построения гармонического ряда и его анализ. Почленное интегрирование заданных значений по признаку сходимости Коши. Отличительные черты собственного и несобственного интеграла.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.03.2018 |
| Размер файла | 70,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача 1
1. Решить дифференциальные уравнения.
а)
Решение
б)
Задача 2
3. Решить дифференциальные уравнения.
Решим однородное уравнение
Теперь будем искать решение неоднородного уравнения в виде:
Подставим и в сходное уравнение: где - произвольная постоянная. Следовательно, постоянное решение неоднократного уравнения:
К линейному можно принести и уравнение вида: называемое уравнением Бернулли. Для этого вводится новая функция для которой Разделим обе части уравнения на или
линейное уравнение для.
Задача 3
Решить дифференциальные уравнения.
Решение
Задача 4
Исследование на сходимость знакоположительных рядов
Исследовать на сходимость ряды с положительными членами
а)
Решение
Признак Даламбера.
при q<1 - ряд сходится, q>1 - ряд расходится, q=1 - получаем неопределенность
Поскольку q<1, то ряд сходится.
б)
Решение
Признак Даламбера.
при q<1 - ряд сходится, q>1 - ряд расходится, q=1 - получаем неопределенность
Поскольку q>1, то ряд расходится.
в)
Решение
Исследование на сходимость знакоположительных рядов: Исследование на сходимость знакоположительных рядов: Следовательно, эти два ряда ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, так как расходится взятый для сравнения эталонный гармонический ряд.
г)
Решение
Признак Даламбера.
при q<1 - ряд сходится, q>1 - ряд расходится, q=1 - получаем неопределенность
Поскольку q=1, то получаем неопределенность.
Исследуем сходимость ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд.
Задача 5
Решить дифференциальные уравнения.
а)
дифференциальный коши интеграл
Решение
а)
Решить дифференциальные уравнения.
б)
Решение
Решить дифференциальные уравнения.
в)
Решение
Характеристическое уравнение соответствующее данному дифференциальному, имеет корни и поэтому общее решение исходного уравнения записывается в виде
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, продифференцируем общее решение. Получим Затем в выражения для общего решения и его производной вместо подставим их значения 0, 0, 2 соответственно. Имеем откуда Искомое частное решение имеет вид
Задача 6
3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
Решение
Подставляя выражения для и в уравнение вида (*), получим
Выберем функцию так, чтобы выполнялось равенство:
После разделения переменных это уравнение принимает вид:
Почленное интегрирование даёт:
Подставив найденное значение функции в равенство (* *), получим:
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции Разделяем переменные и, интегрируя, находим :
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
в)
Решение
1) члены ряда, взятые по модулю, убывают:
2) предел общего члена приравен нулю:
Исходный ряд сходится. Выясним, сходится этот ряд абсолютно или условно. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
или
Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как Следовательно, данный ряд сходится условно.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010Понятие и характеристика неопределенного интеграла, его свойства. Методы интегрирования функций: разложение, замена переменной, по частям. Задача Коши, ее содержание. Дисперсия случайной величины. Решения для дифференциальных уравнений n-порядка.
лекция [187,9 K], добавлен 17.12.2010Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013
