Решение уравнений и определение сходимости рядов
Решение дифференциальных уравнений и линейных Бернулли. Исследование на сходимость знакоположительных рядов и рядов с положительными членами при помощи интегрального признака Коши. Вычисление признака Даламбера. Сравнение эталонных гармонических рядов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.03.2018 |
| Размер файла | 71,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
контрольная работа
по дисциплине: «Математический анализ»
Тольятти, 2018
Задача 1
1. Решить дифференциальные уравнения.
а)
Решение
б)
Задача 2
2. Решить дифференциальные уравнения.
Задача 3
3. Решить дифференциальные уравнения.
Решим однородное уравнение
Теперь будем искать решение неоднородного уравнения в виде:
Подставим и в сходное уравнение:
где - произвольная постоянная. Следовательно, постоянное решение неоднократного уравнения:
К линейному можно принести и уравнение вида:
называемое уравнением Бернулли. Для этого вводится новая функция для которой
Разделим обе части уравнения на
или
линейное уравнение для.
Задача 4
Решить дифференциальные уравнения.
Решение
Задача 5
Исследование на сходимость знакоположительных рядов
Исследовать на сходимость ряды с положительными членами
а)
Решение дифференциальный линейный бернулли даламбер
Признак Даламбера.
при q<1 - ряд сходится, q>1 - ряд расходится, q=1 - получаем неопределенность Поскольку q<1, то ряд сходится.
б)
Решение
Признак Даламбера.
при q<1 - ряд сходится, q>1 - ряд расходится, q=1 - получаем неопределенность Поскольку q>1, то ряд расходится.
в)
Решение
Исследование на сходимость знакоположительных рядов: Исследование на сходимость знакоположительных рядов: Следовательно, эти два ряда ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, так как расходится взятый для сравнения эталонный гармонический ряд.
г)
Решение
Признак Даламбера.
при q<1 - ряд сходится, q>1 - ряд расходится, q=1 - получаем неопределенность Поскольку q=1, то получаем неопределенность. Исследуем сходимость ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд.
Задача 6
Решить дифференциальные уравнения.
а)
Решение
а)
Решить дифференциальные уравнения.
б)
Решение
Решить дифференциальные уравнения.
в)
Решение
Характеристическое уравнение соответствующее данному дифференциальному, имеет корни и поэтому общее решение исходного уравнения записывается в виде
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, продифференцируем общее решение. Получим Затем в выражения для общего решения и его производной вместо подставим их значения 0, 0, 2 соответственно. Имеем откуда Искомое частное решение имеет вид
Задача 7
3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
Решение
Подставляя выражения для и в уравнение вида (*), получим
Выберем функцию так, чтобы выполнялось равенство:
После разделения переменных это уравнение принимает вид:
Почленное интегрирование даёт:
Подставив найденное значение функции в равенство (* *), получим:
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции Разделяем переменные и, интегрируя, находим :
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
в)
Решение
1) члены ряда, взятые по модулю, убывают:
2) предел общего члена приравен нулю:
Исходный ряд сходится. Выясним, сходится этот ряд абсолютно или условно. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
или
Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как Следовательно, данный ряд сходится условно.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010Решение неравенств и определение области сходимости рядов по признаку Даламбера и теореме Лейбница для знакопеременных рядов. Условия и пределы сходимости ряда. Исследование границ интервала. Проверка условия Лейбница при знакочередующемся ряде.
контрольная работа [127,2 K], добавлен 07.09.2010Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Рассмотрение особенностей сравнения рядов. Характеристика признаков сходимости Даламбера. Критерий Коши как ряд утверждений в математическом анализе. Анализ геометрической интерпретации интегрального признака. Способы определения сумы числового ряда.
контрольная работа [214,6 K], добавлен 01.03.2013Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.
курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями. Необходимый признак сходимости. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Уравнение Эйри и Бесселя. Примеры интегрирования в Maple. Приближенные вычисления с помощью рядов.
курсовая работа [263,9 K], добавлен 11.12.2013Исследование числовых рядов на сходимость. Область сходимости для разных степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора. Нормы сеточной функции. Исследование устойчивости разностной схемы для однородного уравнения. Совокупность разностных уравнений.
курсовая работа [586,9 K], добавлен 19.04.2011Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Основное свойство рядов с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости. Предельный признак сравнения. Расходящийся гармонический ряд. Ряды с положительными членами; определение конечного предела отношения их общих членов.
презентация [215,8 K], добавлен 18.09.2013
