Средние значения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Средние значения



План

1. Статистические показатели вариационного ряда

2. Средние величины

3. Средние арифметические и способы их вычисления

4. Другие виды средних величин



1. Статистические показатели вариационного ряда и их классификация

Важным показателем статистического ряда является его размах. Это наиболее простой показатель, показывающий разность между наибольшими и наименьшими величинами (их еще называют лимитами) в исследуемом вариационном ряду, т.е. вариационный арифметический величина медиана

,

где L - размах ряда,

х_max, х_min - максимальная и минимальная величины (лимиты).

Простота вычисления размаха ряда распределения, его наглядность и очевидность способствовали широкому употреблению этого показателя во многих исследованиях в лесном хозяйстве. Так, в лесной таксации при изучении строения древостоя размах ряда распределения - это обязательный показатель.

В биометрии размах ряда и лимиты определяются при сведении данных наблюдений или измерений в статистические совокупности, т.е. в вариационные ряды. Каждый вариационный ряд и его графическое изображение это как бы «сгущение» исходного фактического материала, превращение его в наглядную формулу. Однако для полного анализа наблюдаемого явления или для хозяйственной оценки древостоя этого недостаточно. Дело в том, что размах ряда и лимиты подвержены значительным колебаниям от одной частичной совокупности к другой. Поэтому использование этого показателя ограничено. Следовательно, необходимо получить еще и характеристики для совокупности, которые были бы выражены более общими цифровыми показателями. С их помощью можно сравнивать разные ряды, что затруднительно сделать с помощью лимитов.

Например, если известно, что вариационный ряд распределенных деревьев в древостое по толщине у одного насаждения имеет размах от 8 до 44 см, а в другом от 12 до 52 см, то, казалось бы, можно сделать вывод о более высоком качестве деревьев второго насаждения, т.е. что во втором насаждении они толще. Однако лимиты не указывают на то, как распределяются по изученному признаку отдельные члены совокупности. Вот почему для характеристики совокупности нужны такие показатели, которые отражали бы свойства всех ее членов.

Вариационные ряды могут различаться по значению признака, вокруг которого концентрируется большинство вариант, т.е. по величине модального класса или ступени. Значение этого признака отражает центральную тенденцию, которая типична для данного ряда. Но частоты в ряду отличаются по степени вариации, т.е. по величине отклонения от центральной тенденции ряда.

Соответственно этому статистические показатели разделяются на две группы: показатели, которые характеризуют центральную тенденцию, или уровень ряда, и показатели, измеряющие степень вариации.

К первой группе относятся различные средние величины: мода, медиана, средняя арифметическая, средняя геометрическая. Ко второй - вариационный размах (коэффициент вариации), среднее абсолютное отклонение, среднее квадратическое отклонение, или варианса, дисперсия, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Существуют еще и другие показатели.

2. Средние величины и способы их вычисления

Измеренные значения различных биологических совокупностей, в т.ч. в лесном хозяйстве, представляют собой варьирующие математические величины. Чтобы получить точную и объективную характеристику варьирующей величины, прибегают наряду с построением статистических таблиц, графиков и диаграмм к так называемым статистическим показателям.

Среди них наибольшее распространение и применение находит величина среднего значения исследуемого признака. Она дает суммарную характеристику любого признака, указывая на то типичное и устойчивое в явлении, что наиболее полно выражает его содержание. Так, например, принято говорить о среднем диаметре и средней высоте насаждения, о среднем весе семян, среднем размере охотничьих животных и т.д. При этом не всегда требуется вникать в глубокий смысл, который содержит понятие средней величины.

Ряды распределения численностей, приведенные ранее, показывают, что варианты концентрируются около некоторого центрального их значения. Следовательно, можно найти такое значение варианты или абстрактное среднее число, которое будет наиболее представительной характеристикой данной статистической совокупности.

Показатели центральной тенденции характеризуются различными средними величинами: средней арифметической, средней квадратической, средней геометрической, средней гармонической, модой и медианой. Назначение средних величин состоит в том, чтобы отразить какое-нибудь одно свойство совокупности, например, среднюю высоту, средний диаметр, средний запас древесины на 1 га изучаемого участка леса.

Тот признак или то свойство совокупности, которое остается неизменным при замене индивидуальных значений их средним значением, называется определяющим свойством. Средняя должна отразить определяющее свойство так, чтобы образуемая с ее помощью выборочная абстрактная числовая совокупность при равенстве чисел по величине определенных свойств не отличалась от общей совокупности. Из этого требования средней вытекает следующее ее общее определение. Средняя есть величина признака, характеризующая индивидуумы в абстрактной уравненной совокупности, замещающей реальную совокупность, но при этом сохраняющей неизменным ее определяющее свойство: общую длину, массу, объем и т.д.

К этому определению мы будем обращаться каждый раз, когда будем обсуждать реальное содержание различных средних.

Поясним сказанное примером. Допустим, мы желаем узнать средний объем дерева в еловом древостое II класса бонитета в возрасте 50 лет. Для этого выбираем некоторую выборочную частичную совокупность (закладываем одну или несколько пробных площадей), где определяем средние значения этих выборочных совокупностей. При этом методически все необходимо сделать так, чтобы средние величины выборочной совокупности соответствовали средним величинам исследуемых ельников в генеральной совокупности. Методы корректного определения этих средних величин рассмотрены ниже.

3. Средняя арифметическая и способы ее вычисления

Средняя арифметическая наиболее часто употребляемый статистический показатель. Она является центром тяжести распределения. Средняя арифметическая была бы значением величины в точке равновесия кривой численностей, если бы модель кривой была сделана в виде массивной формы.

Среднюю арифметическую генеральной совокупности обычно обозначают М, а ее выборочную оценку, т.е. среднюю арифметическую выборочных наблюдений - (или ). Она имеет то же наименование, что и варианты.

Средняя арифметическая получается от деления суммы численностей всех вариант (n₁, n₂, …, n_n) на их число (N), т.е.

= (n₁ + n₂ + … + n_n)/ N = (Уn)/N, (4.1)



где N - сумма численностей вариант; У - знак суммирования.

Здесь (и в последующем его применении) без указания пределов суммирования означает, что должно быть произведено суммирование всех измеренных (наблюденных) вариант ряда от 1 до N. Для вариант (предположим, что это длина всходов сосны, см) 3, 4, 4, 4, 5

= (3 + 4 + 4 + 4 + 5)/5 = 20/5 = 4 см

Реальный смысл средней арифметической и ее главное назначение лучше уяснить, если данное выше определение всем средним применить к рассматриваемому примеру ее расчета.

Благодаря полученной средней возможно реальную совокупность высоты саженцев сосны из n₁, n₂, n₃, n₄, n₅ (N = 5), заменить абстрактной выровненной совокупностью из , , , , (N = 5), не изменяя при этом определяющего свойства, выражаемого УX и также N , откуда получено = (Уn)/N.

Для ряда, разделенного на классы, т.е. для вариационного ряда, среднюю арифметическую вычисляют как взвешенную величину:

= (n₁ х₁ + n₂ х₂ + …+ n_nх_n)/(n₁ + n₂ +…n_n) = (Уnх_i)/N, (4.2)

где х₁, х₂, …, х_n - классовые варианты (срединные значения классов); n₁, n₂, …, n_n - частоты соответствующих классов; N - общее число вариант (объем ряда) или общее число наблюдений.

Группируя варианты рассмотренного примера по их величине, получим следующий ряд:

х_i : 3 4 5

n_i: 1 3 1

= (1 · 3 + 3 · 4 + 1 · 5)/5 = 4 см

Если случайная величина выражена не в виде простого набора чисел или в виде таблицы, а задана аналитически, то применяются следующие формулы вычисления средней арифметической:

Для непрерывной средней величины (4.3)

Для дискретной (4.4)

В дальнейшем рассмотрим другие формулы вычисления арифметической средней, основанные на использовании ее основного свойства. Это свойство состоит в том, что сумма отклонений всех вариант от арифметической средней равна нулю. Оно вытекает из содержания средней арифметической как центра тяжести ряда. Сумма вариант, которые больше средней , равна сумме вариант, которые меньше ее.

Значение средней арифметической и ее сущность. Средняя арифметическая, как и некоторые другие средние, известна давно. Она широко используется при исследовании совокупностей в науке, технике, биологии и лесном хозяйстве.

Средняя арифметическая является обобщающей величиной, которая впитывает в себя все особенности исследуемой совокупности или ряда распределения. Она отражает уровень всей совокупности в целом, дает свободную, обобщенную характеристику изучаемого признака.

Цифровое значение средней арифметической как таковое может не встретиться ни в одном конкретном случае в совокупности. Может оказаться, что ни одна варианта не будет ей равной. Например, мы измеряем толщину деревьев с округлением до 1 см: 8, 15, 16, 17…30 см. Средняя арифметическая измеренной совокупности может составить дробное число, например, 25,6. В измеренной совокупности ни одного такого замера нет. Еще более разительный пример можно привести, если проанализировать приплод (количество) щенков в помете волков. В среднем может оказаться, что там 4,2 щенка. Ясно, что число волчат дробным быть не может. В этом смысле средняя арифметическая является абстрактнойвеличиной. Но в то же время она и конкретна.

Средняя арифметическая выражается в тех же единицах измерения, что и варианты ряда. При ее определении отклонения со знаком (+) и (-) взаимопогашаются, отметаются случайные колебания, отклонения от центральной тенденции, от уровня вариационного ряда и выступает общий закон явления. Вскрывается то типичное, что характерно для всей совокупности в целом.

В то же время нужно предостеречь от возможных ошибок в понимании средней арифметической. Средняя арифметическая характеризует всю совокупность в целом, а не отдельные члены совокупности. Среднее число щенков в помете волков 4,2 относится только ко всей группе изученных животных. Каждая же отдельная волчица приносит целое число волчат в помете. Обычно их бывает от 2 до 6-8.

Следует помнить, что средняя арифметическая имеет смысл только по отношению к качественно однородной совокупности. Так, нельзя вычислять средний вес животных разного возраста или средний объем деревьев разных древесных видов.

При изучении лесной таксации будет показано, как отдельные ученые ошибались в определении закономерностей измерения формы стволов. Они считали, что форма стволов зависит от возраста дерева. Этот вывод был получен из-за объединения в одну группу молодняков и старых насаждений. На самом деле оказалось, что форма ствола зависит от возраста лишь до 40-50 лет, а дальше при неизменной высоте остается относительно стабильной. Ошибка была доказана выдающимся белорусским ученым-таксатором Ф.П. Моисеенко (1894-1979). Он показал, что надо изучить каждую возрастную группу отдельно и для них вычислить .

Поскольку средняя арифметическая относится к конкретной совокупности, переносить ее на явления, выходящие за рамки этой совокупности, нельзя. В отдельных случаях, если такое все же требуется, то должен быть сделан специальный анализ изучаемого явления, и лишь по его результатам следует принять решение о правомерности такого перенесения.

В дальнейшем мы увидим, что особое место в вариационной статистике занимает вопрос о том, каким образом на основе данных о той или иной частной совокупности можно делать выводы о других совокупностях подобного же рода.

Наконец, средняя арифметическая относится лишь к отдельным изучаемым признакам и не может быть автоматически перенесена на их сумму.

4. Другие виды средних величин

Средняя геометрическая

При изучении среднего темпа роста изучаемого признака средняя арифметическая не пригодна. Вместо нее вычисляют среднюю геометрическую M_g (или . Ее определяем по формуле:

(4.5)

где Х₁, Х_{2, …,} Х_n - темпы роста (величины, показывающие, во сколько раз увеличивался признак от периода к периоду); n - число периодов.

При n>2 формулу удобнее применять в логарифмическом виде:

(4.6)

Если данные, для которых вычисляют среднюю геометрическую, представлены разными численностями (n_i) в пределах выделенных классов (x_i), то применяется формула:

(4.7)



Исходя из содержания формул (4.5) и (4.6), среднюю геометрическую называют также средней логарифмической, так как ее логарифм есть арифметическая средняя логарифмов составляющих величин.

Применение средней геометрической поясним следующим примером. Пусть на лесокультурную площадь в сосняке мшистом высажен 1-летний саженец сосны. Измерим его объем в см³ в момент посадки (1 год), а также в 5, 10, 15 и 20 лет. Пусть эти объемы составят соответственно 8, 560, 2800 и 11200 и 22400см³. Тогда отношения объемов сеянцев через соседние равные промежутки времени (5 лет) будут следующие

х₁ = = 70; х₂ = = 5; х₃ = = 4; х₄ = = 2.

Число рассмотренных периодов у нас равно 4, т.е. N = 4.

По формуле (3.1) вычислим среднюю геометрическую:

= = ? 7,274.

Это означает, что объем нашего сеянца сосны от 1 до 20 лет увеличивается в среднем за каждый период в 7,274 раза. Действительно, используя среднюю геометрическую, получаем в 20 лет объем стволика Х₅ = 8 • 2800 = 22400 см³.

Если бы мы вычислили здесь среднюю арифметическую из наших 5 сосенок, то она составила бы 7594 см ³ и характеризовала бы объем стволика в возрасте примерно 15 лет, что не отвечает сути изучаемого процесса, т.к. дает объем ствола к концу 4 периода, равный 7594 см³ • 5 = 30376 см³, что на 36% больше фактических данных.

Для средней геометрической характерно равенство произведений из первоначальных данных измерений (Х_1, Х₂, …, Х_n) и из геометрических средних представленных n раз.

Средняя квадратическая

Основная цель измерения диаметров деревьев в древостое - это определение запаса древесины. Для вычисления запаса надо знать сумму площадей поперечных сечений измеренных деревьев (g_i), а затем воспользоваться соответствующей формулой, куда ?g_i входит как сомножитель. Эта формула описана в курсе лесной таксации, изучаемой на 3 курсе. Сумму площадей сечений деревьев в древостое можно определить, умножив число деревьев на площадь сечения среднего дерева. Известно, что площадь сечения дерева на высоте 1,3 м приравнивается к площади круга, и ее находят по формуле g_i=рd_i²/4, где р=3,14159, d_i - диаметр на высоте 1,3 метра. Нам необходимо выяснить, какую величину должен представлять средний диаметр, чтобы он был репрезентативным показателем для достижения указанной цели.

Анализ, сделанный путем использования здесь , показывает, что применение средней арифметической величины в этом случае неприемлемо, а необходимо вычислить среднюю квадратическую. Ее находят по формуле:

_кв = . (4.8)

В качестве иллюстрации сказанного рассмотрим определение объема среднего дерева в древостое сосны возрастом 100 лет (II класса бонитета), который измерен нами ранее и приведен в таблицах 3.1, 3.3. Результаты расчетов показаны в таблице 4.1. В этой же таблице представим исходные данные и для нахождение средней арифметической: .

Средний арифметический диаметр будет равен:

D_a = = = 28,7 (см)



Таблица 4.1 - Определение среднего диаметра для совокупности 120 деревьев сосны

Ступени толщины (классы), Xi, см	Численности (число деревьев), ni, шт.	Площадь сечения ступеней толщины, gi = , см2	gini, см2	xini, см
8	1	58,27	58,3	8
12	3	113,10	339,3	36
16	8	201,86	1614,9	128
20	14	314,16	4398,2	280
24	20	452,39	9047,8	480
28	27	615,75	16625,2	756
32	17	804,25	13672,3	544
36	12	1017,88	12214,6	432
40	9	1256,64	11309,8	360
44	5	1520,53	7602,6	220
48	3	1809,56	5428,7	144
52	1	2704,78	2704,8	52
Итого (?)	120	-	85016,3	3440

Средний квадратический диаметр, который определим через среднюю площадь сечения, по правилам, принятым в лесной таксации. Формула для его нахождения соответствует средней квадратической (формула (4.8)):

g_ср = ; D_ср = (4.9)

Средняя площадь сечения равна:

g_ср = = = 708,5 см²

Тогда

D_ср = = см

Как видим, средний диаметр, который пригоден для нахождения запаса через среднюю площадь сечения и определенный через среднюю геометрическую, больше, чем среднеарифметический. Допустим, что среднее дерево в этом древостое имеет высоту (h) 26 м, а коэффициент формы (f), т.е. отношение объема ствола к объему цилиндра, имеющего с данным стволом одинаковые высоту и диаметр на высоте 1,3 м - 0,46.

Объем дерева (V) в этом случае определяется по формуле V = ghf. При этом все величины следует представить в одной размерности. Так как объем дерева обычно находят в м³, то и все составляющие приведенной формулы выразим в м. Тогда объем дерева, имеющего среднеквадратический диаметр (V₁) будет равен

V₁ = = 0,84 м³.

При использовании среднеарифметического диаметра объем дерева (V₂) составит

V₂ = м³.

Как видим, в последнем случае данный показатель занижен почти на 9%. Истинный запас исследованного древостоя (M) равен произведению числа стволов () на объем среднего дерева, т.е. M=V_ср•N. Для нашего примера M = 0,84 м³ • 120 = 101 м³. Если же для расчетов брать среднеарифметический диаметр, то получим М = 0,77 м³ • 120 = 92 м³, т.е. недобор составил 9м³. При средней биржевой цене древесины сосны в докризисные времена на мировом рынке 200 тыс. руб. / м³, недобор составит 1800 тыс. рублей. Это для сравнительно небольшого участка леса, т.е. для пробной площади в 0,3-0,4 га. На 1 га недобор будет уже от 4,5 до 6 млн. рублей.

Таким образом, для получения истинного значения площади сечения или объемов всех деревьев посредством среднего дерева и числа деревьев диаметр среднего модельного дерева следует находить как среднюю квадратическую величину. В лесной таксации именно так и поступают. Поэтому средняя квадратическая величина нашла широкое распространение в лесном хозяйстве.

Средняя гармоническая

Эта величина применяется для вычисления средней характеристики признаков, которые представляют собой отношение двух других варьирующих величин. Среднюю гармоническую определяют по формуле:

(4.10)

или (4.11)

где n - веса отдельных значений.

В практике лесного хозяйства эта величина применяется очень редко.

Мода и медиана

Модой (М_о) называют наиболее часто встречающуюся варианту. В нормально распределенных совокупностях мода численно равна средней арифметической.

В положительно асимметричных рядах мода больше средней арифметической (), а в отрицательно ассиметричных рядах она меньше средней арифметической ().

Найдем моду в нашем примере, приведенном в таблице 4.1.

Х	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	Итого
ni	1	3	8	14	20	27	17	12	9	5	3	1	120

Мода в приведенном ряду составляет наиболее представленный класс 28см. Средняя арифметическая здесь см, т.е. . Следовательно, ряд имеет небольшую положительную асимметрию.

Общая формула для вычисления моды (M_o) следующая:



M_o = x_Mo + , (4.12)

где x_Mo - середина модального (наиболее представленного) класса;

С - величина класса;

n_Mo, n_Mo-1, n_Mo+1 - частоты соответственно модального класса; предшествующего модальному классу; класса, следующего за модальным.

Эта формула, учитывающая величину классового промежутка, более точна, т.к. наибольшее количество деревьев может быть сдвинуто вправо или влево от середины класса.

Тогда мода для нашего ряда равна:

M_o = см.

Медианой (М_е) называют значение признака, занимающее срединное положение в ряду и делящее все распределение на две равные по численности части.

Среди значений: 5 6 7 8 9 М_е = 7.

Для вариационного ряда

М_е = Х_о+k [S₁-S₂)/n], (4.13)

где Х_о - значение нижней границы класса, в котором содержится половина накопленных частот;

k - интервал;

S₁=N/2;

S₂ - накопленная частота, предшествующая группе, в которой находится медиана.

Для нашего ряда диаметров сосны (таблица 4.1) медиану вычислим следующим образом



Хi	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52
ni	1	3	8	14	20	27	17	12	9	5	3	1
n	1	4	12	26	46	73	90	102	111	116	119	120

М_е = 26 + 4[(73 - 46)/27] = 26 + 4•1 = 30 см

В данном примере мода и медиана совпали. Это обычное явление для симметричных распределений. В сильной степени асимметричные ряды имеют несовпадающие значения моды и медианы.

Мода и медиана являются характеристиками центральной тенденции выборки. Они не имеют своего аналога в генеральной совокупности и поэтому рассматриваются как показатели относительного характера.

Верхняя и нижняя средние

В практике иногда встречаются другие виды средних. Применительно к лесохозяйственным объектам, иногда возникает необходимость применения «верхней» или «нижней» средней. Их применяют тогда, когда требуется оценить часть явления. В лесной таксации «верхнюю» среднюю вычисляют при определении верхней высоты, т.е. когда надо найти среднюю высоту самых толстых деревьев. Их может быть 50, 100, 200 или 5, 10, 20 % от всей совокупности и т.д. «Нижнюю» среднюю обычно вычисляют для определения запаса, вырубаемого при проведении уходов низовым способом.

Обобщение описанных средних величин сделано в таблице 4.2, где приведены формулы для их вычислений при малом и большом числе наблюдений. Пояснение символов было дано выше.

Как видно из таблицы 4.2, средняя геометрическая (средняя логарифмическая) равна корню п-й степени из произведения значений случайной величины, средняя гармоническая есть обратная величина среднего арифметического величин, обратных Х_і; средняя квадратическая получается как корень квадратный из среднего значения квадрата Х_і . Как показали советские ученые-таксаторы К.Е. Никитин (1908-1986) и А.З.Швиденко, все названные виды средних могут быть получены из формулы

(4.14)

Здесь при а=1 имеем - среднее арифметическое, а=2 квадратическое а=1 - гармоническое (Н), при а=0 геометрическое (G), причем по своей величине НG.

Таблица 4.2 - Основные виды средних, применяемых в лесном деле (по К.Е. Никитину и А.З. Швиденко)

Средняя	Формулы для вычисления средних
	Малая выборка (невзвешенные средние)	Большая выборка (взвешенные средние)
Арифметическая
Геометрическая
Гармоническая
Квадратическая
“Верхняя”, xi+1xi		*
“Нижняя”, xi+1xi		**

* А =

** B =



Наконец, «верхние» и «нижние» средние представляют собой средние арифметические из с наибольших (x_n-с, x_n-с+1, …, x_n) или f наименьших (х₁, х₂, …, х_f) значений случайной величины. в частном случае, при с и f, равным 1, получаем просто наибольшее и наименьшее значения выборки. В формулах для определения и предполагается, что исходные данные записаны в порядке возрастания значений х_і. Для ряда распределения, где условие x_i+1> х_і соблюдается автоматически, индексы [с] и [f] обозначают номера классов ряда распределения, в которые попадают соответственно n с-е и f-е наблюдения.

Выбор того или иного вида среднего определяется целью работы и характером изучаемого явления. Например, если признак х_і представляет численную характеристику некоторого элемента совокупности (объем или объемный прирост дерева, выработка бригады и др.), а х_і - численную характеристику совокупности в целом, то наиболее предпочтительна средняя арифметическая величина . С другой стороны, в определенном смысле аннулирует положительные и отрицательные отклонения отдельных значений х_і от . Поэтому, если средняя величина вычислена для наблюдений, несущих в себе случайные ошибки, и эти ошибки подчиняются нормальному закону распределения (т.е. можно предполагать, что положительные и отрицательные отклонения уравновешиваются), то опять-таки наилучшая средняя . Если влияние ошибок несимметрично, то часто более пригодна средняя геометрическая. Этот же тип среднего применяют в тех случаях, когда нужно определить скорость изменения (например, темпы роста) изучаемого показателя и пр.

Для примера возьмем данные, приведенные А.З. Швиденко, по анализу прироста по запасу в некотором древостое. Пусть М_О, М₁, ..., М_n - запасы древостоев в возрасте А_О, А₁, ..., А_n. Требуется определить относительное среднее изменение запаса древостоя в периоде от А_О до А_n лет.

Образуем величины х₁ = М₁/М_О, х₂ = М₂/М₁, …, х_n = М_n/М_n-1, представляющие относительное изменение запаса в каждом из отдельных интервалов времени [A₁, A_O], …, [A_n, A_n-1]. Произведение х₁, х₂, …, х_n дает нам общее изменение запаса в периоде [A_О, A_n]. Если в этом периоде относительное изменение запаса по отдельным периодам постоянно, то должно выполняться равенство Gⁿ=x₁x₂…x_n, откуда следует необходимость использования средней геометрической величины, т.е.

Иногда целесообразно среднюю геометрическую вычислять для «загрязненных» выборок, т.е. для ситуаций, когда одно или несколько выборочных значений сильно отличаются от основной массы.

Среднюю квадратическую (как и другие виды степенных средних) можно применять в тех случаях, когда в некоторой многомерной совокупности средний элемент устанавливают по одному (обычно наиболее важному) признаку, причем для этого элемента нужно указать средние по другим признакам. Например, в однородных древостоях дереву среднего (арифметического) объема соответствует средний квадратический диаметр. Это явление объясняется просто: изменение объема пропорционального изменению не диаметра, а его квадрата.

«Верхние» («нижние») средние применяют в тех случаях, когда нужно оценить интенсивность части явления или процесса. В лесоучетных задачах обычное применение «верхней» высоты - это определение высоты п самых толстых деревьев на 1 га; могут представлять практический интерес размеры определенной части наиболее мелких сеянцев в питомнике (в связи с достижением стандартных размеров) и т.д.

Как статистику положения, медиану обычно применяют в тех случаях, когда требуется обеспечить минимум абсолютной величины отклонений между исходными данными и используемым показателем. Например, логично потребовать соблюдение такого условия для показателя, отражающего среднюю продолжительность жизни деревьев в разновозрастном лесу. Мода представляет интерес, когда устанавливают некоторое типическое свойство явления или объекта: цвет желудей, урожайность семян на плюсовых деревьях и т.д.

Квантили являются обобщением понятия медианы. Если разделить частоты распределения на k равных частей, то k 1 значение случайной величины, соответствующее точкам деления, называется квантилями распределения. При k=2 единственный квантиль будет медианой, при k=4 средняя из точек деления будет медианой, а первая и третья - нижним и верхним квартилями. Аналогично девять значений случайной величины, делящих частоты распределения на 10 частей, называют децилями. Знание трех-четырех квантилей дает хорошее представление о распределении случайной величины. Квантилем х_р или х_1-, соответствующим заданной вероятности р, р=1, называют такое значение случайной величины, для которого р(хх_р)= р=1.

Обобщая изложенное, отметим, что в лесном деле наибольшее применение находят средняя арифметическая и средняя квадратическая. Остальные средние применяют редко.

Размещено на Allbest.ru