Моделирование и оптимизация энергетических процессов и устройств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение высшего образования

«Международный государственный экологический институт имени А. Д. Сахарова БГУ»

Факультет мониторинга окружающей среды

Кафедра «Энергоэффективных технологий»

Контрольная работа

по дисциплине «Моделирование и оптимизация энергетических процессов и устройств»

Выполнил студент группы 23041

Вильтовский М.С.

Проверил: Кресова Е.В.

Минск 2017

1. Аппроксимация функции

уравнение математический аппроксимация

Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике и других областях составляют уравнения различного вида: нелинейные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и т.д. Для решения подобных уравнений необходимо иметь возможность вычислять значения функций, входящих в описание математической модели рассматриваемого процесса или явления, при произвольном значении аргумента. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании компьютера.

Используемые в математических моделях функции могут быть заданы как аналитическим способом (в виде формулы), так и табличным, при котором функция известна только при определенных дискретных значениях аргумента. В частности, если функциональная зависимость получена в результате расчетов, проведенных на ЭВМ, или в процессе измерений, осуществленных в рамках какого-либо эксперимента, то она оказывается заданной именно табличным способом. На практике нам могут понадобиться значения функции и в других точках, отличных от тех, что заданы в таблице. Однако получить эти значения можно только путем сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов.

Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к задаче вычисления приближенных значений функции при любом значении аргумента на основе имеющихся табличных данных.

Эта задача решается путем приближенной замены функции более простой функцией , которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента x в заданном интервале его изменения. Введенную функцию можно использовать не только для приближенного определения численных значений , но и для проведения аналитических расчетов при теоретическом исследовании модели.

Приближение функции более простой функцией называется аппроксимацией (от латинского approximo - приближаюсь). Аппроксимирующую функцию строят таким образом, чтобы отклонения (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Понятие “малого отклонения” зависит от того, каким способом оценивается близость двух функций , поэтому оно будет уточняться в дальнейшем при рассмотрении конкретных методов аппроксимации.

При обработке экспериментальных данных часто возникает необходимость аппроксимировать их линейной функцией.

Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции) g(x), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций могут быть различные.

В случае если приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

В случае если аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.

Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция - нахождение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Пусть задан дискретный набор точек, называемых узлами интерполяции, а также значения функции в этих точках. Требуется построить функцию g(x), проходящую наиболее близко ко всем заданным узлам. Таким образом, критерием близости функции является g(xi)=yi.

В качестве функции g(x) обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом.

В случае если полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.

В случае если между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальнойинтерполяции.

Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами, а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).

2. Аппроксимация функцией Y=bexp(aX)

Аппроксимация заключается в отыскании коэффициентов a и b уравнения таких, чтобы все экспериментальные точки лежали наиболее близко к аппроксимирующей прямой.

x=[0.609 1.114 1.723 2.436 3.045 3.757 4.470 5.182 5.687 6.193];

y=[0.377 0.433 0.546 0.777 1.221 2.382 5.221 13.42 26.81 62.72];

u=log(y); z=x;

cd=polyfit(z,u,1);

a=cd(1); b=exp(cd(2));

yt=b.*exp(a.*x);

e=y-yt;

disp('x y yt e');

disp('-------------------------');

disp([x' y' yt' e']);

disp('-------------------------');

B=[z;u]'; D=corrcoef(B); R=D(1,2);

disp([a b R]);

xz=3.40; yz=b*exp(a*xz);

disp('xz yz'); disp([xz yz]);

plot(x,y,'ko',x,yt,'b',xz,yz,'R*'); grid on;

axis([0.5 7 0 5.5]);

x y yt e

-------------------------

0.6090 0.3770 0.2096 0.1674

1.1140 0.4330 0.3325 0.1005

1.7230 0.5460 0.5801 -0.0341

2.4360 0.7770 1.1128 -0.3358

3.0450 1.2210 1.9413 -0.7203

3.7570 2.3820 3.7207 -1.3387

4.4700 5.2210 7.1375 -1.9165

5.1820 13.4200 13.6796 -0.2596

5.6870 26.8100 21.7001 5.1099

6.1930 62.7200 34.4546 28.2654

-------------------------

0.9137 0.1202 0.9754

xz yz

3.4000 2.6851

Рисунок 1 - Аппроксимация функцией Y=bexp(aX)

Размещено на Allbest.ru