Размещено на http://www.allbest.ru/

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Теория специальных систем управления

Новосибирск 2017



Исходные данные

Таблица 1. Исходные данные

Номер варианта	Вариант структурной схемы	Вариант параметров объекта управления
33	9	3

Таблица 2.Таблица параметров объекта управления

Номер варианта	,о.е.	,о.е.	,о.е.	,c	,c	,c
3	2,5	1,4	0,7	1,3	2	1

Рисунок 1. Структурная схема

Задача 1

Описать математическую модель объекта управления, заданную структурной схемой, в векторно-матричной форме. Определить установившиеся значения координат состояния объекта при подаче единичных управляющего и возмущающего воздействий.

Представим математическое описание объекта управления, заданного структурной схемой (Рисунок 1) в виде операторных уравнений:



Преобразуем уравнения в системе

Переходя во временную область, получим математическую модель объекта управления в виде дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши.[1, стр.41]

Как видно из (1.3) переменные и полностью описывают поведение объекта в любой момент времени, и поэтому они принимаются в качестве координат состояния [1, стр.42]. Запишем векторно-матричную форму заданного объекта: векторный матричный управление координата

Где - двумерный вектор координат состояния; - скалярные управляющее и возмущающее воздействия соответственно; -собственная матрица объекта (состоит из коэффициентов перед координатами состояния); -матрица управления (состоит из коэффициентов перед управляющим воздействием); -матрица возмущений, характеризующая вхождение сигнального возмущающего воздействия в структуру объекта управления (состоит из коэффициентов перед возмущающим воздействием). Первая и вторая строки матриц относятся соответственно к первому и второму дифференциальным уравнениям системы (1.3), а столбцы матрицы - к соответствующей координате вектора [1, стр. 42].

Получим:

Матрицы управляющего и возмущающего воздействий будут иметь вид:

Определим установившиеся значения координат состояния объекта управления при подаче управляющего и возмущающего воздействий путём векторно-матричных преобразований [1, стр.42] . Модель объекта управления (1.4) с использованием оператора Лапласа примет следующий вид:



Разделив правую и левую части последнего выражения на , при ,получим матричную передаточную функцию ОУ по управлению [1, стр.43]:

Аналогично при получаем матричную передаточную функцию объекта управления по возмущающему воздействию [1, стр.43]:

Установившиеся значения координат состояния объекта при подаче единичного управляющего воздействия найдём на основании (1.13) при , полагая [1, стр.43]:

Аналогично определяются установившиеся значения объекта управления при подаче единичного возмущающего воздействия () [1, стр.43]:

Здесь - обратная матрица, определяемая выражением



Где - присоединённая матрица.

Характеристический полином ОУ зависит от собственной матрицы и равен определителю

Получим присоединенную матрицу из исходной путём замены всех элементов их алгебраическими дополнениями с последующим транспонированием [1, стр.44]:

Таким образом, с учётом (1.15) и последних соотношений установившиеся значения координат состояния при подаче единичного управления



Аналогично на основе (1.16) получим установившиеся значения координат состояния при подаче единичного возмущения:

Вывод:

В данной задаче была представлена математическая модель объекта управления в векторно-матричной форме, а также определены установившиеся значения координат состояния объекта при подаче единичных управляющего и возмущающего воздействий.

Задача 2

Синтезировать алгоритм модального управления заданным объектом при полных измерениях и настройке системы на желаемое распределение корней характеристического полинома, соответствующее стандартной линейной форме Бесселя. Среднегеометрический корень характеристического полинома принять равным

Перед началом синтеза модального регулятора необходимо произвести проверку условия управляемости[1, стр.45]. Для заданного объекта матрица управляемости Yимеет вид:

Условие управляемости будет выполняться тогда и только тогда, когда ранг Yбудет равен целому числу n. Это означает, что определитель матрицы Y не должен равняться нулю.

Определитель матрицы Yравен:

Из последнего неравенства видно, что ранг матрицы управляемости Yравен порядку объекта управления:

т.е. объект является полностью управляемым.

В задачу синтеза закона модального управления входит нахождение коэффициентов передачи каналов отрицательных обратных связей по координатам состояния , преднамеренное введение в систему которых обеспечивает желаемое распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы [1, стр.46]. Скалярное управляющее воздействие uформируется на основании следующего закона управления:



где - скалярное задающее воздействие.

Подстановка алгоритма (2.4) в математическую модель (1.4) изменяет её вид:

Или в операторной форме:

В результате собственные динамические свойства замкнутой системы модального управления теперь описываются определителем , который является её характеристическим полиномом[1, стр.46]:



Приравнивая полученный характеристический полином к стандартному виду[1,стр.47]:

Где: [1, Таблица П1.6], а

Получаем систему алгебраических уравнений:

Решим её относительно и :

Таким образом, дополняется структура объекта модальным регулятором (Рисунок 2), включающая обратные связи по координатам состояния с коэффициентами передачи и в синтезированной системе наблюдается нормированный переходный процесс[1, стр.48].



Рисунок 2. Структура объекта с модальным регулятором

В данной задаче было решено следующее: синтезирован алгоритм модального управления заданным объектом при полных измерениях и настройка системы на желаемое распределение корней характеристического полинома, соответствующее стандартной линейной форменаибольшего быстродействия; были найдены коэффициенты матрицы б; определены установившиеся значения координат состояния при подаче единичных задающего и возмущающего воздействий.

Задача 3

Синтезировать наблюдатель Люенбергера полного порядка с распределением корней характеристического полинома, соответствующим стандартной линейной форме Бесселя, и среднегеометрическим корнем, равным

В качестве измеряемой координаты вектора состояния принять возмущающее воздействие считать неконтролируемым.

Динамическая подсистема для оценивания вектора координат состояния строится на основе математической модели объекта управления путём её дополнения «стабилизирующей добавкой» Так как в системе производится прямое измерение , матрица выхода Сравна:

а сам вектор выходных переменных:

Полагая возмущающее воздействие неконтролируемым, на основании последних соотношений математическую модель наблюдателя Люенбергера полного порядка в пространстве состояний представим в следующем виде:

Синтез наблюдателя Люенбергера начинается с проверки условия наблюдаемости, выражаемого требованием равенства ранга матрицы наблюдаемости Нпорядку объекта управления. Матрица наблюдаемости для принятого объекта равна:

Определитель матрицы Нравен:

что удовлетворяет условию полной наблюдаемости[1]:



Включение в подсистему оценивания координат «стабилизирующей добавки» влияет на собственные динамические свойства наблюдателя, которые должны обеспечивать требуемую форму и качество свободных составляющих переходного процесса в нём. По этой причине элементы матрицы Lопределяются путём приравнивания характеристического полинома наблюдателя полного порядка (НПП)[1,стр 48]:

к нормированному полиному

коэффициент формы которого согласно условию задачи соответствует стандартной линейной форме Бесселя и выбирается из таблицы. [1, Таблица П1.4] Увеличение среднегеометрического корня по отношению к позволяет разнести темпы процессов в синтезированной САУ с модальным регулятором и в подсистеме оценивания координат состояния, в результате чего наличие наблюдателя Люенбергера практически не оказывает влияния на динамику системы управления. Характеристический полином наблюдателя:



Приравнивая соответствующие коэффициенты из последнего уравнения и уравнения (3.6), получаем систему уравнений для вычисления компонентов матрицы L:

Выражаем и :

Отсюда рассчитываем и :

Структурная схема синтезированной замкнутой системы с наблюдателем Люенбергера полного порядка и модальным регулятором представлена на рисунке 3.

В данной задаче был синтезирован наблюдатель Люенбергера полного порядка с распределением корней характеристического полинома, соответствующим стандартной линейной форме Бесселя; были найдены компоненты матрицы L; был увеличен среднегеометрический корень по отношению к в 5 раз, что позволило разнести темпы процессов в синтезированной САУ с модальным регулятором и в подсистеме оценивания координат состояния.

Задача 4

Синтезировать наблюдатель Люенбергера пониженного порядка со среднегеометрическим корнем, заданным в задаче 3. В качестве измеряемой координаты вектора состояния принять , возмущающее воздействие считать неконтролируемым.

Решение:

Во многих технических приложениях перед разработчиком стоит задача восстановления лишь части информации о координатах вектора состояния из-за невозможности их прямого измерения. В этом случае из вектора xможно в явном виде выделить измеряемые и неизмеряемые координаты, причём размерность вектора неизмеряемых переменных определяется каки в соответствии с условиями задачи [1]:

Разделение координат вектора xпроисходит в результате перехода к «новому» пространству состояний

где некоторая невырожденная матрица, состоящая из двух блоков и ^[1]

Из второго уравнения системы (4.1) видно, что матрица выбирается в виде т.е.

Помимо этого также должна удовлетворять требованию невырожденности , которое выражается неравенством :

Представим математическую модель объекта управления (1.2) в «новом» пространстве состояний с учётом (4.1) (т.к. в данной задаче возмущающее воздействие считается неконтролируемым, то ):



Таким образом, наблюдатель Люенбергера пониженного порядка можно описать дифференциальным уравнением, вытекающим из второго уравнения данной системы:

где - «стабилизирующая добавка», которая задаётся в виде:

Так как матрица размерностью является скалярной величиной математическую модель наблюдателя пониженного порядка (НПнП)представим в виде:

Полученное дифференциальное уравнение не может быть реализовано, так как содержит неизмеряемую первую производную выхода . Для её исключения вводится вспомогательная переменная , которая образуется в результате переноса в последнем уравнении произведения в левую часть[1].Окончательно математическая модель наблюдателя Люенбергера пониженного порядка принимает следующий вид:



Для определения неизвестного коэффициента , входящего в «стабилизирующую добавку» и формирующего желаемые показатели качества процессов в наблюдателе, необходимо записать однородное дифференциальное уравнение относительно , которое получается путём принятия в нём всех членов, содержащих и , равными нулю, что эквивалентно записи однородного дифференциального уравнения относительно ошибки наблюдения [1].Однородное уравнение имеет первый порядок:

откуда характеристический полином наблюдателя пониженного порядка равен:

Приравнивая его к нормированному полиному

определяем коэффициент :



где по условиям задачи

Структурная схема системы модального управления, в которой обратная связь по второй координате состояния заведена с наблюдателя пониженного порядка, изображена на рисунке 4.

В данной задаче был синтезирован наблюдатель Люенбергера пониженного порядка; определён коэффициент.Синтез наблюдателя Люенберга пониженного порядка позволяет не синтезировать наблюдатель полного порядка в случае, когда большая часть координат состояния САУ подлежит прямому измерению.

Задача 5

Определить ошибки наблюдения координат состояния объекта управления вида (1.3), обусловленные действием неконтролируемого возмущающего воздействия в наблюдателях Люенбергера полного и пониженного порядков.

Решение:

Наличие неконтролируемых возмущений, действующих на ОУ, приводит к возникновению отклонения оценок неизмеряемых координат на выходе наблюдателя от истинных значений переменных ОУ.^[1]

Рассчитаем статистическую ошибку наблюдения координат состояния объекта (1.3) в наблюдателе полного порядка:

для чего из первого уравнения системы (5.1) вычтем модель ОУ (1.3) с учётом, второго уравнения системы (5.1) и свойства линейности рассматриваемых систем. Уравнение ошибки примет вид:

откуда при



Определим обратную матрицу

Ошибки наблюдения координат состояния в установившемся режиме при подаче неконтролируемого единичного возмущающего воздействия:

Анализируя результирующие соотношения, а также зависимости, полученные для коэффициентов матрицы в задаче 3, можно сделать вывод о том, что уменьшить ошибки наблюдения можно путём увеличения среднегеометрического корня наблюдателя .^[1]

Аналогичные преобразования выполним для наблюдателя пониженного порядка в целях определения статической ошибки наблюдения , для чего представим модель ОУ (4.4) в следующем виде:

Сложим первое и второе уравнения полученной системы, предварительно умножив правую и левую части первого уравнения на коэффициент стабилизирующей добавки :

Вычитая последнее уравнение из (4.8) с учётом свойства линейности рассматриваемых систем, получим уравнение ошибки наблюдения:



откуда при и :

В данной задаче были определены ошибки наблюдения координат состояния заданного объекта управления вида, обусловленные действием неконтролируемого возмущающего воздействия в наблюдателях Люенбергера полного и пониженного порядков.

Задача 6

Синтезировать астатический алгоритм управления объектом вида (1.2) на основе модифицированного модального метода при полных измерениях и настройке замкнутой системы на желаемое распределение корней характеристического полинома и быстродействие, принятые в задаче 2.

Решение:

Классический модальный метод синтеза обеспечивает желаемую форму и показатели качества переходных процессов лишь в линейных системах, не имеющих форсирующих свойств, требуемая статическая точность регулирования при этом не гарантируется. Модифицированный модальный метод устраняет указанные недостатки, позволяя скомпенсировать влияние «левых» нулей объекта с одновременным обеспечением астатизма системы по управляющему и возмущающему воздействиям как минимум первого порядка.^[1] Структурная схема системы, синтезированная модифицированным модальным методом, приведена на рисунке 5.

На рис. 5 используются следующие обозначения: - передаточная функция регулятора «статики»; - передаточная функция регулятора «динамики»; - «правильная» передаточная функция ОУ, т.е. ; - полином, порядок которого для .^[1]

Рис. 5. Структурная схема замкнутой системы с модифицированным модальным управлением

Определим передаточную функцию ОУ по управляющему воздействию при , основываясь на правилах преобразования структурных схем линейной системы с различными способами соединения динамических звеньев. Oхват апериодического звена единичной отрицательной обратной связью:

В результате структурных преобразований передаточная функция ОУ примет вид:



Приведём характеристический полином ОУ к нормальному виду, поделив числитель и знаменатель передаточной функции на коэффициент при старшей степени :

Аналогично определим передаточную функцию замкнутой системы по возмущающему воздействию , используя принятые обозначения:

Приравнивая характеристический полином замкнутой модифицированной системы модального управления к нормированному полиному порядка :



получим систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов регуляторов:

где коэффициенты , среднегеометрический корень равен .

Запишем передаточную функцию регулятора динамики, подставляя значения полинома

Передаточная функция не является строго реализуемой и обладает форсирующими свойствами. Для исключения указанной особенности запишем выражение для выходного сигнала регулятора «динамики»^[1]:



или во временной области с учётом второго уравнения системы (1.3) при пренебрежении возмущающим воздействием:

Структурная схема системы модифицированного модального управления с полными измерениями с учётом последних преобразований примет следующий вид (рис. 6):

Синтезированная модифицированным модальным методом система будет одновременно обеспечивать как желаемые показатели качества, так и отсутствие статической ошибки регулирования. Последнее означает, что в случае приложения скачкообразного возмущающего воздействия на объект в системе будет наблюдаться кратковременное динамическое отклонение выходной координаты от заданного установившегося значения, но по окончании некоторого промежутка времени, определяемого величиной среднегеометрического корня , астатическая САУ вернётся к исходному состоянию в соответствии с требованием^[1]:



В данной задаче был синтезирован астатический алгоритм управления заданным ОУ на основе модифицированного модального метода при полных измерениях и настройке замкнутой системы на желаемое распределение корней характеристического полинома и быстродействие; найдены значения коэффициентов полинома и характеристического полинома

Размещено на Allbest.ru