Вывод классической формулы выпадения сторон монеты из формул для пропорций составных событий потоковой последовательности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вывод классической формулы выпадения сторон монеты из формул для пропорций составных событий потоковой последовательности

Филатов Олег Владимирович,

инженер-программист НТЦ Модуль, г. Москва.

По классической формуле, описывающей выпадение сторон монеты, нельзя рассчитать численность составных событий в потоковой последовательности (п-ти). Но из формул для расчёта составных событий потоковой п-ти выводится классическая формула монеты. Следовательно, формулы потоковой п-ти являются первичными формулами. В статье показан вывод формулы выпадения сторон монеты из формул потоковой п-ти для составных событий.

Ключевые слова: потоковая последовательность, составное событие, элементарное событие, цуга, мода, выпадение сторон монеты.

Используемые сокращения и термины: ПП - потоковая последовательность; ф.; ф-ла - формула; Эл - элементарное бинарное случайное событие (0; 1).

В работе [4] было показано на основе экспериментальных данных, как по уже выпавшим составным событиям (о составных событиях написано в работах [1, 2]), образованных бинарными случайными элементарными событиями можно выбирать один из двух вероятностных потоков. Первый вероятностный поток соответствует тому, что указанное составное событие повторится в 18% случаев. А второй вероятностный поток соответствует тому, что указанное составное событие повторится в 37% случаев (пропорции этого потока близки к пропорциям Золотого сечения).

Так как в работе [4] не были приведены формулы для количественного расчёта, то эти формулы приводятся в данной работе.

В работе [4] рассматривался первичный случайный процесс эквивалентный подбрасыванию монеты. Случайные события этого процесса последовательно записывались по мере выпадения, друг за другом, образуя потоковую последовательность (ПП): F0,5(N). Где: F - обозначает поток бинарных событий; 0,5 - показывает вероятность выпадения элементарного события (эла); N - указывает на порядковый номер последнего выпавшего элементарного события (эла).

Таким образом, была создана и записана на диск случайная, максимально сложная ПП, длиной в 5*10⁸ бинарных событий. В записанную на диск ПП осуществлялось внедрение зонда толщиной в 1 эл. (z=1), с шагом 25 эл. (подробнее о зондовых внедрениях в работе [3]). После внедрения зонда определялась длина составного события ⁿS_N, в которое попадал зонд. Определялись длины составных событий слева и справа от зондового события. По результатам определения длины зондового события и событий слева и справа от него была построена таблица, «Последовательности ⁿS событий», которая повторена в этой работе как таблица 1.

Описание вероятностных цепочек

- это вероятностные цепочки составных событий.

- если длины событий слева и справа от зондового события (событие в которое попал зонд) не равны длине зондового события, то эта цепочка учитывалась в столбце 2, который имеет символьное обозначение «?_ⁿS X _?».

Две последующие цепочки описываются одной и той же формулой, поэтому им присвоено одно на двоих символьное обозначение - .

- если длина события слева не равна длине зондового события, а длина события справа равна длине зондового события, то эта цепочка учитывалась в столбце 3, который имеет символьное обозначение «?_ⁿSX_ⁿS».

- если длина события справа не равна длине зондового события, а длина события слева равна длине зондового события, то эта цепочка учитывалась в столбце 4, который имеет символьное обозначение «ⁿS_ⁿSX_?».

- длины событий слева и справа равны длине зондового события, эта цепочка учитывалась в столбце 5, «ⁿS_ⁿS X _ ⁿS».

Столбец 6 - «?2,3,4,5» является суммой столбцов: 2, 3, 4, 5.

Таблица 1

В столбце 1 приведены номера мод, которые соответствуют длинам составных событий.

Строки таблицы: 1,.., 17 - соответствуют модам и содержат численности описанных выше случаев («?_ⁿSX _?», «?_ⁿSX _ ⁿS», «ⁿS_ⁿSX_?», «ⁿS_ⁿSX_ⁿS», «?2,3,4,5») для каждой из мод.

Число составных событий ⁿS для каждой из мод в столбце 6 рассчитывается по (1) (смотри работу [3], (9)):

(1)

Численность событий в строках столбца 6 есть сумма по столбцам 2, 3, 4, 5. Поэтому можно написать равенство, которое связывает между собой все столбцы 2, 3, 4, 5 и столбец 6:

(2)

Нормирование по числу зондовых исследований показано в (2.1):

(2.1)

Формулы для связи - полного числа событий с каждой из вероятностных цепочек. Модовая вероятность выпадения цепочки.

Применяемые ниже сокращения раскрыты в вышеприведённом подразделе «Описание вероятностных цепочек».

Модовая вероятность обозначатся буквой p и буквой n - в левом верхнем углу: - буква n подчёркивает, что это модовая вероятность. Модовая вероятность может быть применена в расчётах только после внедрения зонда в составное событие и определение длины этого составного события. До внедрения зонда в составное событие неясно, какую конкретно модовую вероятность, из полного множества модовых вероятностей, надо выбирать.

По (4) рассчитывается число вероятностных цепочек типа (мат. ожидание):

(4)

По (4.1) рассчитывается вероятность для цепочки :

(4.1)

По (5) рассчитывается число вероятностных цепочек типа (мат. ожидание):

(5)

По (5.1) рассчитывается вероятность для цепочки :

(5.1)

По (6) рассчитывается число вероятностных цепочек типа (мат. ожидание):

 (6)

По (6.1) рассчитывается вероятность для цепочки :

(6.1)

Для перехода от математического ожидания числа цепочек к вероятности их выпадения делим каждый член (2) на - полное число событий во всех вероятностных цепочках для каждой моды.

Получаем полную (единичную) сумму вероятностей. Сумма вероятностей всех четырёх возможных цепочек равна единице:

(7)

Подставляя вместо символьных обозначений вероятностных цепочек их формулы ((4) - (6)) получаем (7.1):

(7.1)

С помощью (7) и (7.1) в таблице 2 производится описание разнообразных возможных комбинаций вероятностных цепочек.

Таблица 2

В строке 1 таблицы 2 выведена формула для расчёта выпадения ситуации ?_ⁿSX _?, в которой длина зондового события не равна длинам окружающих его событий. Она имеет классический вид (1-р)*(1-р).

Такое же совпадение с классическим видом получено для ситуаций в строках 2 и 3: (1-р)*р; р*(1-р).

В строке 4 так же получено совпадение формулы с классическим видом для ситуации: р*р.

В строке 5 выведена классическая формула выпадения в потоковой последовательности составного события длины n. Вероятность того, что справа выпадет событие такой же длины: . Вероятность того, что справа событие такой же не повторится: .

Если слева событие не повторилось, то вероятность того, что справа событие повторится:

Если слева событие не повторилось, то вероятность того, что справа событие не повторится:

Рассмотренные выше цепочки составных событий обладали вполне определённой длиной n. При переходе от составных событий определённой длины к множеству составных событий разных длин, так же возникают вероятностные отношения.

Возможность выбора пропорций будущих потоков, на основе анализа длин выпавших событий

В работе [4] на основе экспериментальных данных показано, что если реализовалась ситуация ?_ⁿSX, то есть длина зондового составного события НЕ равна длине предшествующего ему составного события, то с вероятностью 0,8192 у составного события, следующего за зондовым событием, будет другая длина, не равная длине зондового события. А, с вероятностью 0,1808 длина последующего составного события совпадёт с длиной зондового события.

Если реализовалась ситуация ⁿS _ ⁿS X, то есть длина зондового события равна длине предшествующего составного события, то с вероятностью 0,6326 последующее составное событие будет иметь длину не равную длине зондового события. А с вероятностью 0,3674 длина составного события следующего за зондовым событием совпадёт с его длиной.

Анализируя длины зондового и предшествующего ему составных событий можно выбирать из двух потоков результаты угадываний имеющих разную вероятность: (0,8192; 0,1808) и (0,6326; 0,3674). Интересно отметить зеркальность двух цифр после запятой для каждого из потоков.

Надо отметить, что при последовательном, пошаговом, прохождении ПП (без пропусков элементарных событий и без зондового исследования, работа [1]) число повторяющихся событий в ПП будет: . Повторов, друг за другом, составных событий с одинаковыми длинами: . Выпадение последующего события другой длины произойдёт в 66,7% случаях смен составных событий.

Расчёт числа одинарных цуг потоковой последовательности по результатам внедрения зонда

Замечаем, что событие является одинарной цугой ⁿC₁: .

Число попаданий зонда в одинарные составные события ПП F0,5(N) можно связать с числом её цуг . Для этого надо умножить на k и разделить на n. Действительно, так как:

Коэффициент связи между цепочкой и числом составных событий в ПП

Выражение числа составных событий ПП через :

математика вероятность бинарный

Несколько отношений между величинами таблицы 1, которые близки к пропорциям Золотого и Серебряного сечений.

1) Сумма всех составных событий в столбце 2 равна 12 746 464. Отношение этой суммы к общему числу зондовых замеров (20000000) приближается к золотому сечению: 12 746 464/20000000=0,6373232.

2) В зондовых событиях находится 60007685 эл. В среднем на одно зондовое событие приходится 3,00 эла. Отношение среднего числа элементарных событий (1,89) в столбцах 3, 4 - к среднему числу эл. приходящихся на одно зондовое событие (3,00) приближаются к золотому сечению: 1,89/3,00=0,63.

3) Отношение суммы эл. из второго столбца к сумме эл. всех зондовых событий (и наоборот) хорошо совпадает с серебряным сечением: 47 292 171/60007685=0,78810; 60007685 / 47 292 171 = 1,2689.

4) Сумма всех составных событий столбцов 3 и 4 между собой, делённая на сумму составных событий столбца 2, хорошо соответствует величине серебряного сечения: (2 809 849+2 811 672) / 12 746 464 = 0,44103.

5) Та же самая сумма всех составных событий столбцов 3 и 4 между собой хорошо соответствует величине второго плеча серебряного сечения: (2 809 849+2 811 672+1 632 014)/12 746 464=0,56906.

Литература

1. Филатов О. В., Филатов И.О., Макеева Л.Л. и др. «Потоковая теория: из сайта в книгу». М.: Век информации, 2014. С.200.

2. Филатов О. В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», № 5, 2014.

3. Филатов О. В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение 1)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», № 6, 2014.

4. Филатов О. В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение 2)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», № 7, 2014.

Размещено на Allbest.ru