О бесконечности числа регулярных простых чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

О бесконечности числа регулярных простых чисел

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук,

профессор кафедры Белорусского национального

технического университета, академик МИА

Теорема. Если - иррегулярное простое число, равное (p>37), то между p и содержится, по меньшей мере, одно регулярное число V, равное .

Доказательство. Из литературы [1-5] известно, что число иррегулярных простых чисел бесконечно. Докажем, что число регулярных простых чисел также бесконечно.

Так как , то целое (где , - числители чисел Бернулли, - целые числа после деления на ), очевидно >1.

Предложение. Если делится на , то независимо от того дробное или целое число ?1, деление на это число дает целое число.

Итак имеем II случая: может быть целым или дробным числом: - целым, дробным большим 1.

Частный случай I: - целое число. Итак имеем . Если делится на , то получается целое число, допустим . Тогда , где .

Частный случай II. Здесь , - дробное число >1. Представим дробное число следующим образом . Тогда , . В обоих случаях имеем сравнение по ненулевому рациональному модулю.

В связи с тем, что (независимо от того - дробное или целое число >1, как частные случаи деления на ), оно имеет делитель, который <, а следовательно, и <. Если допустить, что , то будет одним из сомножителей произведения: (где может быть целым, или дробным числом >1, как частный случай ) и значит будет делителем произведения . Но будучи делителем также числа , будет делителем разности этих чисел, или числа , что невозможно, так как и . Следовательно, , а так как уже выяснено, что , то имеем .

Так как , , …, (где , ,…, - также делители чисел ) и последовательность иррегулярны простых чисел бесконечна, то получим последовательность простых регулярных чисел: количество которых также бесконечно. Это означает, что теорема доказана.

Таким образом, для каждого иррегулярного числа существует регулярное большее его. Отсюда следует, что простых регулярных чисел бесконечное множество. Обобщая вышеизложенное и литературные источники [1-5] предлагается следующее.

1. Доказать, что уравнение: не имеет решения в целых числах при .

2. Доказать, что уравнение: не делится на (;).

3. Доказать, может ли данное простое делить число вида: , где - данное целое, а и - взаимно простые целые числа ().

4. Доказать, что в любых арифметических прогрессиях (1) и (2):

(1)

(2)

для которых и взаимно простые числа, содержится бесконечно много простых чисел.

5. Доказать, может ли уравнение: иметь решения в целых числах ( - простые числа, ,).

6. Доказать, может ли уравнение имеет решения в целых числах (, ).

7. Доказать, что существует бесконечное множество значений n, при которых число 2 + n простое, где n простое нечетное число.

8. Доказать, что существует ли бесконечное множество значений x и n при которых число хⁿ + 2 простое, где n и х - простые числа при n=х и при n?x.

9. Доказать, имеют ли решения в целых числах уравнения:

хⁿ +x^n-1 .y=Zⁿ ; xⁿ +x^n-1.y +x^n-2 .y² =zⁿ ;…; xⁿ +x^n-1.y +x^n-2 .y² +….+y^n-2x²+y^n-1x +yⁿ=zⁿ ,

где n?3, n-простое нечетное число, (уравнение xⁿ +x^n-1.y +x^n-2 .y² +….+y^n-2x²+y^n-1x +yⁿ=zⁿ имеет решение в целых числах при n =2 и х=5, у=3).

10. Доказать, имеют ли решения в целых числах уравнения: хⁿ +nx^n-1 .y=zⁿ; n(n-1)

бесконечность регулярный простой делимость

xⁿ +nx^n-1.y + - x^n-2 .y² =zⁿ ;….; хⁿ +nx^n-1 .y+ …+ ny^n-1x=zⁿ ,

где n -простое число, n?3, .

11. Доказать, существует ли бесконечное значений n, при которых числа 2ⁿ +1 и 2ⁿ-1 одновременно составные (например, 2ⁿ +1 делится на3, 2ⁿ-1 делится на 23 при n=11).

12. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение

xⁿ +x^n-1.y +x^n-2 .y² +….+y^n-2x²+y^n-1x +yⁿ=z^m ,

где m?n , m,n?3, , .

13. Доказать, имеет или не имеют решений в целых числах уравнения

mⁿ + mn + nⁿ =p^k ; m^m +mn + nⁿ =p^k ; mⁿ +mn + nⁿ =pⁿ ,

где k,m,n,p ?3 -простые числа.

14. Доказать, имеет ли решения в целых числах уравнение

x^m +yⁿ +z^p =t^k, где m?n?p?k, x?y?z?0,

m,n,p,k?5- простые нечетные числа.

Литература

1. Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.-1985.368 с.

2. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука - 1980. -- 239 с.

3. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир.-1980.- 480 с.

4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир - 1987 - С. 295.

5. Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу о делимости чисел / Сучаснi проблеми науки та освiти. 8-а Мiжнародна мiждисциплiнарна науково-практична школа-конференцiя. Харькiв - 2007. - С. 80.

Размещено на Allbest.ru