О последней теореме Ферма

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статья по теме:

О последней теореме Ферма

Бугрий Виталий Андреевич

Ведущие математики всего мира утверждали, что элементарное доказательство Последней теоремы Ферма во-первых не существует, во-вторых не будет иметь никакого значения для науки. С другой стороны, по мнению Д. Гильберта математическая теория должна быть понятна «любому встречному». Так что вопрос доказательства последней теоремы Ферма в указанном смысле остается открытым. В данной работе изложена еще одна попытка элементарного решения задачи.

П. Ферма утверждал, что в целых числах невозможно разложить степень zn на две степени xn + yn при натуральном n > 2. Доказательство не было представлено.

Это утверждение не удавалось доказать в течение более 360 лет. Так, например, для доказательства использовали теорию делимости, основанную на единственности разложения натурального числа на простые множители (основная теорема арифметики), были попытки (Э. Куммер) использовать представление

xn = zn - yn = (z - лky), k = 1, 2, .., n,

где л1, л2,…- корни n-й степени из единицы. Поиски рациональных точек на кривой Ферма:

un + vn =1,

натуральный число делимость теорема

где u v =  также не имели успеха. Применение матриц, теории групп также не дали желаемого результата. Практически в каждой попытке решения задачи в том или ином виде постулировался контр пример, т. е. уравнение zn = xn + yn, n > 2, или zр = xр + yр, где р - нечетное простое число. Цель заключалась в получении заведомо ложного утверждения. Но не были найдены противоречия ни с какими - либо утверждениями методов, используемых для решения задачи (Л.1,2,3,4,7,8,…).

Безуспешность вариантов доказательства теоремы даже приводила некоторых ученых мужей к мнению о некорректности постановки задачи.

Не трудно показать (Л.2), что теорему Ферма достаточно доказать в случаях, когда n = 4 и n = p. Случай n = 4 был решен Эйлером (и самим Ферма) методом бесконечного спуска. Э.Уайлс доказал (1993г.) (Л.3) гипотезу Шимуры - Таниямы («каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма»), откуда следует теорема Ферма для случая n = p.

Итак, принято считать, что проблема Ферма решена. Но изощренное доказательство Уайлса не прозрачно, сложно даже для профессионалов. Наконец, оно объемно (150 страниц печатного текста) (Л.4). К тому же случаи n = 4 и n = p - это принципиально разные теории. Кроме того, лаконично сформулированная задача должна иметь и решение подобного рода.

Постановка задачи

Начнем с тривиальных фактов. Во-первых, если (вопреки утверждению Ферма) разложение zn = xn + yn для некоторого показателя n > 2 возможно, то не вызывает сомнений тот факт, что числа x, y, z связаны треугольником z < x + y. Во-вторых, любая степень числа с показателем n > 2 без степеней с показателями n = 1 и n = 2 не бывает (например, x3 = x2 x). Так что оставлять эти степени без внимания не разумно.

Поскольку в задаче числа подчиняются неравенствам z > x, z > y, интуиция подсказывает, что с ростом показателя, начиная с n = 1, при одной и той же тройке чисел x, y, z степень zn растет быстрее степеней xn и yn в отдельности и при некотором показателе n > 2, очевидно, станет больше суммы xn + yn. Возможно, на этом пути найдется решение.

Решение

Используем обычный подход. Пусть утверждение Ферма не верно. Тогда существуют целые числа x, y, z такие, что при натуральном n

zn = xn + yn, n > 2 (1)

Не изучая уравнение (1), будем считать его частным случаем неопределенного соотношения

zn  xn + yn, n  (2)

где символом  обозначены знаки < , = , >.

Геометрически соотношение (2) при n =  представляет собой треугольник z < x + y, при n = 2 имеем теорему Пифагора (z2  x2 + y2), а при n можно трактовать как зависимость между объемами параллелепипедов с высотами zn-2,xn-2, yn-2 и площадями оснований z2, x2, y2, построенных на сторонах треугольника z < x + y.

Этот треугольник должен удовлетворять условию

z > x > y > 0 (или z > y > x > 0). (3)

Условие (3) диктует границы угла в таком треугольнике:

> x ^ y = б >  . (4)

Здесь следует заметить, что при б   условие (3) нарушается: треугольник (3) вырождается в равносторонний (x = y = z) или получаем треугольник, где z < x, либо z < y. Все множество треугольников (3) разделим на три подмножества, в которых б >  ,  =  ,  < б <  , соответственно. Используя теорему косинусов, рассмотрим изменения соотношения (2) с ростом показателя n для любой неизменной тройки чисел x, y, z на каждом из этих подмножеств.

1) б > z < x + y,  z2 = x2 + y2 - 2xy z2 > x2 + y2,  …, > zn > xn + yn, n > 1. (5)

2) б =  (пифагоровы треугольники ). z z2 = x2 + y2, z3 = z x2 + z y2,  z3 > x3 + y3,  …, >zn > xn + yn, n > 2. (6)

3) < б <  z < x + y, z2 = x2 + y2 - 2xyz2 < x2 + y2. (7)

В треугольнике (7) угол x2 ^ y2 = в > . Действительно, представим исходный треугольник z < x + y в векторной форме на комплексной плоскости в полярных координатах: z = x - y, где

x = xy = yz = z.

z2 = (x - y)2 = x2 y2 2xy,

где, в частности, X2 = x2 y2 = y2 откуда x2 ^ y2 = 2б = в > . Следовательно, из треугольника (7) получаем

z4 = x4 + y4 - 2 x2 y2 z4 > x4 + y4, …, >zn > xn + yn, n > 3. (8)

Итак, неравенства (5), (6), (8) дают результат:

Zn > xn + yn, n > 3. (9)

Случай n = 3 решен Эйлером (был известен П. Ферма). Так что в натуральных числах

z3  x3 + y3. (10)

Примечание

Пусть в целых числах выполняется z3 x3 + y3. Можно записать

(z2 = (x )2 + (y2.

Все множество примитивных решений последнего уравнения определяется формулами (Л.7):

z = m2 + n2, y = m2 - n2, x = 2mn,

где m и n < m - любые натуральные взаимно простые числа разной четности. Тогда из последней формулы следует x3 = q2, что в целых числах невозможно.

Таким образом, неравенства (9) и (10) противоречит уравнению (1), что доказывает последнюю теорему Ферма.

Литература

1. П. Ферма. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. - М.: Наука, 1992.

2. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

3. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. - М.: Мир, 1980.

4. Соровский образовательный журнал, №2, 1998. Ю. П. Соловьев. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма.

5. Констанс Рид. Гильберт. М.: «Наука», 1977.

6. Неопубликованные материалы Л. Эйлера. Рос. АН, С.- П. «Наука», 1997.

7. К. Айерленд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1987.

8. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. - М.: МИР, 2003.

Размещено на Allbest.ru