Доказательство "последней" теоремы Ферма при помощи методов элементарной математики

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В данной работе доказывается методами элементарной математики «большая» или «последняя» теорема Ферма.

Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность изложения доказательства объясняется желанием автора увеличить уверенность читателя в справедливости промежуточных результатов.

Теорема доказывается методом «от противного». Сначала предполагается выполнение основного равенства теоремы, а затем показывается нарушение основного равенства, приводящее к выполнению утверждения теоремы.

В терминах современной математики формулировка теоремы следующая:

Для любого натурального числа

уравнение (1)

не имеет натуральных решений.

Обозначения

- множество натуральных (целых, положительных) чисел;

- число принадлежит множеству , т.е. - целое и > 0;

или - Наибольший Общий Делитель чисел , где - общие сомножители в разложении чисел на простые сомножители.

Примечание: Здесь и в дальнейшем символ ”*” означает операцию умножения.

Если , то числа - взаимно простые.

Свойство НОД:

Если , то , где .

Доказательство вспомогательных лемм.

Лемма 1

Условие: Если существуют числа , для которых выполняется равенство (1), то существуют числа , для которых справедливо равенство:

(2)

и выполняются условия:

(3)

Доказательство:

Пусть есть числа , которые удовлетворяют условию леммы. Для чисел существует число .

Тогда можно записать эти числа в виде:

, где .

Подставим числа в таком виде в равенство (1):

и, сократив на множитель , получаем равенство (2). Докажем выполнение условия (3). Предположим, что , тогда:

и из равенства (2) получаем:

,

Что означает существование делителя для числа Z: .

Следовательно, .

Но тогда , что противоречит предположению .

Поэтому - .

Аналогично доказывается выполнение условия и .

Таким образом, мы получили числа , для которых выполняется равенство (2) и условия (3).

Лемма 1 доказана.

Примечание: Числа , полученные в Лемме 1, называются «примитивными» [1], для их получения достаточно определить НОД исходных чисел и разделить на него исходные числа.

Свойства «примитивных» чисел.

(или ).(4)

Если допустить, что , то равенство (2) получает вид: и тогда . Поскольку при число не является целым, число не может содержать такого натурального сомножителя. Следовательно .

Без нарушения общности далее будем считать, что .

(5)

Если допустить, что , то . Учитывая, что из равенства (2) , получаем . Поскольку это противоречит условию 4.2.1 ( и ), следовательно .

Выполняется, поскольку и .

Лемма 2

Условие: Если для чисел выполняется равенство:

и известно, что , справедливы равенства:

и

Доказательство:

Условие означает, что числа не содержат одинаковых сомножителей в разложении на простые сомножители. Т.е. для чисел и для всех и справедливо неравенство . Для выполнения равенство необходимо, чтобы число содержало все сомножители, входящие в число , т.е. его разложение на простые сомножители имеет вид:

(6)

Для выполнения равенство необходимо также, чтобы число содержало все сомножители, входящие в число , т.е. его разложение на простые сомножители имеет вид:

Это означает, что справедливы равенства и .

Лемма 2 доказана.

Следствия: 1. Подставив число из равенства и число из равенства в равенство, получаем:

, откуда =

Следовательно: и или и

Равенство означает, что и тогда и .

Лемма 3.

Условие: Если для чисел выполняются условия (3) и равенство (2), то существуют числа , являющиеся сомножителями в разложении чисел соответственно и для которых при НЕЧЕТНОМ показателе степени выполняются условия:

(7)

где

Доказательство:

Пусть , где и , тогда можно разложить числа и на сомножители:



Для сомножителей справедливы соотношения:

- из условия ;

, т.к., если допустить, что , то получаем: и , т.е. , что противоречит свойствам чисел .

, т.к. ,если допустить, что , то .

Но при получаем , что противоречит условиям а при (т.е. равно 2,3,) получаем, что , и более, что противоречит условию (см. пункт 4.2) .

. Для НЕЧЕТНЫХ можно разложить левую часть равенства (2) на сомножители (см. например [2]):

(8)

Обозначим полином в равенстве (8) через и подставим для их выражения из равенств (7.1), тогда получаем: , и, сократив на , получаем:

(9)

Если допустить, что, то из равенства (9) получаем . Но, так как , это равенство невыполнимо, и, следовательно, .

Поскольку в равенстве (9) , то согласно лемме 2 получаем:

и ,

где .

И тогда справедливо равенство:

.

Пусть , где и , тогда можно разложить числа и на сомножители:

.

Для сомножителей справедливы соотношения:

- из условия ;

, так как: ;

, так как, если допустить, что , то .

Но из свойств чисел (см. пункт 4.2), поэтому . Отсюда также следует, что . . Из равенства (2) переносом слагаемого в правую часть получаем равенство . Разложим правую часть на сомножители (см. например [2]), обозначив полином , и получим . Подставим для их выражения из равенств, тогда получаем: , и, сократив на , получаем:

 ..(10)

Если допустить, что, то из равенства (10) получаем . Но, так как , это равенство невыполнимо, и, следовательно, .

Поскольку в равенстве (10) , то согласно лемме 2 получаем:

и , где .

И тогда справедливо равенство:

Пусть , где и , тогда можно разложить числа и на сомножители:

полином делитель биномиальный

Длят сомножителей справедливы соотношения:

- из условия ;

, так как: ;

, так как, если допустить, что , то .

Но из свойств чисел (см. пункт 4.2), поэтому . Отсюда также следует, что .

. Из равенства (2) переносом слагаемого в правую часть получаем равенство . Разложим правую часть на сомножители (см. например [2]), обозначив полином , и получим .

Подставим для их выражения из равенств (7.3), тогда получаем: , и, сократив на , получаем:

(11)

Если допустить, что , то из равенства (11) получаем . Но, так как , это равенство невыполнимо, и, следовательно, .

Поскольку в равенстве (11) , то согласно лемме 2получаем:

и ,

где .

И тогда справедливо равенство:

Лемма 3 доказана.

Следствие: 1. Для чисел выполняются условия , что вытекает из свойства (3) для чисел .

Лемма 4.

Условие: Если для чисел выполняются условия (3) и равенство (2), то в равенстве (2) показатель степени может быть представлен простым нечетным числом или четным числом вида , где .

Доказательство:

Допустим, что - составное число вида: , где - простые сомножители, и . Тогда равенство (2) может быть записано в виде:

.

Если среди сомножителей есть простое число, например, , то можно представить показатель степени в виде: .

Тогда существует тройка чисел вида

.

для них справедливо равенство:

.

и условия .

Т.е. числа являются «примитивными» числами, для которых выполняются условия теоремы.

Возможны следующие варианты разложения показателя степени на сомножители:

1. Есть хотя бы один нечетный простой сомножитель , который в дальнейшем будет считаться показателем степени в равенстве (2);

2. Все простые сомножители равны 2. Поскольку в условии теоремы , таких сомножителей должно быть не менее 2, т.е. и .

Лемма доказана.

Следствие: В случае четного показателя степени , достаточно доказать теорему для , поскольку все остальные значения могут быть представлены в виде и заменой переменных, аналогичной (4.5.2), где , равенство приводится к виду равенства (2).

Лемма 5

Условие: Для чисел полином разложения степени бинома при НЕЧЕТНЫХ значениях показателя степени может быть представлен в виде: .

Здесь и далее - биномиальный коэффициент (см. [2]).

Доказательство:

Рассмотрим полином разложения бинома. Из каждого слагаемого этого полинома можно выделить общий множитель и получить , где . Затем выделим число последовательно из каждой пары членов полинома :

и так далее.

В результате получаем выражение вида:

или

Здесь коэффициенты полинома выражаются через биномиальные коэффициенты следующим образом:

}

}

Используя свойство биномиальных коэффициентов (суммы четных и нечетных биномиальных коэффициентов равны) т.е. и учитывая, что для случая, когда , коэффициенты =1 и =1 не используются при определении значений , можно получить, что и тогда .

Для случая, когда , сумма коэффициентов =1 и =-1 равна 0 и они не используются при определении значений , можно получить, что и тогда .

Примечание: Поскольку для коэффициент , то из и свойства биномиальных коэффициентов , можно определить, что и так далее до , который не имеет парного ему коэффициента.

В полиноме можно выделить число способом, аналогичным выделению этого числа из полинома . В случае НЕЧЕТНОГО получаем:

,

где коэффициенты полинома выражаются следующим образом:

Здесь для НЕЧЕТНЫХ коэффициент , что доказывается методом математической индукции (см. [3]).

Для частного случая :

и

Пусть для показателя степени выполняются равенства и . Возьмем очередное НЕЧЕТНОЕ значение показателя . Для него, где . Для выполнения равенства достаточно выполнения равенства .

Все коэффициенты являются линейной комбинацией коэффициентов, которые в свою очередь являются линейной комбинацией биномиальный коэффициентов. Поскольку для ПРОСТЫХ НЕЧЕТНЫХ биномиальные коэффициенты кратны , то все кратны .

Таким образом, вынося за скобки число , из формулы можно получить: или после выделения общего множителя из всех коэффициентов и выноса его за скобки получаем:

Лемма доказана.

Следствие: Аналогичные преобразования можно провести и для полинома , получаемого из бинома вида , и для полинома , получаемого из бинома вида .

Примечание: При полином и принимает вид: , что не влияет на доказательство теоремы.

Лемма 6

Условие: Если для чисел выполняется условие (3) и равенство (2), то при НЕЧЕТНОМ показателе выполняются условия в формулах:

.

Доказательство:

Рассмотрим выражение:



Перенесем в левую часть и подставим для чисел их выражения из равенств:

Согласно лемме 5 полином можно представить в виде разложения на сомножители (см. (4.6.1)), тогда получаем:

Для выполнения этого равенства необходимо выполнения условия , так как и .

Поскольку , то и для выполнения равенства необходимо выполнение условия .

Возможны следующие варианты: а) , отсюда ;

б) , поскольку простое число и имеет делители (1,n).

Если , то

.

Если , то поскольку делится на простое число , следовательно, , и в этом случае

.

Аналогичным образом, рассмотрим выражение

Перенесем в левую часть и подставим для чисел их выражения из равенств:

Согласно лемме 5 полином можно представить в виде разложения на сомножители, тогда получаем:

.

Из анализа выполнимости этого равенства получаем: если , то

если , то и в этом случае

Аналогичным образом рассмотрим выражение

и получаем: если , то



если , то и в этом случае

Поскольку числа взаимно простые, условие вида может быть выполнено только для одного из чисел . Без нарушения общности можно считать, что возможны два варианта:

а)

б)

Лемма доказана.

Доказательство теоремы.

Доказательство теоремы проводится отдельно для следующих сочетаний значений степени (четных и нечетных) и значений числа А:

а) (четное число) и А > 1;

б) (нечетное число) и А = 1;

в) (четное число) и А = 1;

г) (нечетное число) и А > 1.

Пусть для чисел выполняется условие (3) и равенство (2) и значения чисел (четное число) и А > 1.

Если в равенстве (2) показатель степени , то:

; и (или и )

Если допустить, что ; и , то подставив эти значения в равенство (2), разложив биномы на составляющие и сложив члены с равными коэффициентами, получаем:

+

Сократим в левой и правой части на 2 и учтём, что , тогда:

В левой части получаем НЕЧЁТНОЕ число, а в правой - ЧЁТНОЕ число, следовательно: X и Y не могут быть одновременно нечётными числами при . Рассмотрим разложение бинома , заменив суммуна и подставив согласно лемме 5 для четного значение полинома , получаем:

Подставим для чисел их выражения из равенств (7.1), тогда получаем:

В равенстве выполняются следующие условия:

,

так как и ;

, так как первый член полинома имеет, а второй член полинома имеет , поскольку и (так как для данного случая и А - нечетное число, поскольку ).

Поскольку и , равенства не могут быть выполнены. Противоречивый результат получен из исходного равенства (2) с помощью преобразований, не влияющих на достоверность получаемых промежуточных равенств.

Следовательно, не существует чисел , удовлетворяющих условию теоремы, для которых при значении А > 1 и выполняется равенство (2).

Пусть для чисел выполняется условие (3) и равенство (2) и значения чисел (нечетное число) и А = 1.

Как доказано в п.4.4.4. леммы 3, для нечетных показателей степени значение числа А должно быть больше 1.

Следовательно, не существует чисел , удовлетворяющих условию теоремы, для которых при значении А = 1 и выполняется равенство (2).

Пусть для чисел выполняется условие (3) и равенство (2) и значения чисел (четное число) и А = 1.

Согласно лемме 4 для случая четного показателя степени достаточно рассмотреть значение . Доказательство этого случая было сделано в XVII веке Пьером Ферма.

Следовательно, не существует чисел , удовлетворяющих условию теоремы, для которых при значении А = 1 и выполняется равенство (2).

Пусть для чисел выполняется условие (3) и равенство (2) и значения чисел (нечетное число) и А > 1.

Из следствия леммы 6 следует, что (в первом случае):

.

Поскольку и , получаем , т.е. .

Следовательно, можно представить , где . Левая часть равенства может быть представлена в виде сомножителей: , причем остаток от деления на бином равен нулю.

Разделим на бином правую часть равенства. Согласно теореме Безу (см. [3]) остаток от деления многочлена на бином равен значению многочлена, получаемому при подстановке , т.е.

,

где:

.

Если подставить в равенство и вынести за скобки , получаем:

.

Тогда значение остатка можно представить в виде:

.

где - сумма геометрической прогрессии (см. [5]) c показателем и первым членом, равным 1. Значение (при любых значениях ), а поскольку , то значение остатка .

Поскольку при делении левой и правой части равенства на бином получаем неравные остатки, следовательно, равенство не может быть выполнено.

Из следствия леммы 6 следует, что (во втором случае)

.

Действиями, аналогичными предыдущим, получим нарушение этого равенства.

Противоречивый результат получен из исходного равенства (2) с помощью преобразований, не влияющих на достоверность получаемых промежуточных равенств.

Следовательно, не существует чисел , удовлетворяющих условию теоремы, для которых при значении А > 1 и выполняется равенство (2).

Если не существует чисел , удовлетворяющих условию теоремы, следовательно, не могут существовать и числа , удовлетворяющие условию теоремы, для которых выполняется равенство (1).

Теорема доказана.

Следствия теоремы

Не существует ЦЕЛЫХ чисел, для которых выполняется равенство (1).

При четных значениях показателя степени уравнение вида (1) идентично как для положительных, так и для отрицательных чисел.

При нечетных значениях показателя степени уравнение переносом членов (или умножением обеих частей на -1) приводится к уравнению вида (1), для которого теорема доказана.

Не существует РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел (), удовлетворяющих уравнению (1) при натуральном. .

Рациональные числа имеют вид:

где .

Тогда уравнение (1) для рациональных чисел принимает вид:

или (после приведения к общему знаменателю) , что с точностью до обозначения совпадает с уравнением (1) для натуральных чисел, для которого теорема доказана.

Случай, когда показатель степени отрицательный, является частным случаем уравнения (1) для рациональных чисел, поскольку, если

, то: .

Литература

1. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. «Наука», М., 1978.

2. Цыпкин А.Г. Цыпкин Г.Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ. Справочник. М. Наука, 1985.

3. Бачурин В.А. Задачи по элементарной математике и началам математического анализа. М. ФИЗМАТЛИТ, 2005.

4. П. Рибенбойм Последняя теорема Ферма для любителей. Пер. с англ. Москва, Мир, 2003.

5. П.С. Моденов Сборник задач по специальному курсу элементарной математики Высшая школа, Москва, 1960.

Размещено на Allbest.ru