Особенности оценки приближенного представления функции

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В теории чисел функция обозначает число простых чисел, меньших или равных . Указанная функциональная зависимость не может быть представлена в виде аналитического выражения. Для исследования свойств возникает необходимость аппроксимации функции .

В 19 веке А.М. Лежандром и К.Ф. Гауссом были выполнены эмпирические исследования, посвященные приближенному представлению функции . В качестве основы была использована таблица простых чисел. В работах Лежандра и Гаусса рассматривалась задача только о выборе приближающей функции в том или ином смысле близкой к функции .

«В 1808 г. Лежандр опубликовал найденную им эмпирически формулу:

дающую приближенные значения функции при больших значениях x». «Гаусс еще в юношеские годы вычислял среднюю плотность простых чисел в пределах имевшихся тогда таблиц, и эти вычисления показывали, что именно выражение:

является функцией, хорошо аппроксимирующей ».

Теоретические исследования аппроксимации функций берут начало от работ П.Л. Чебышева. Он ввел одно из основных понятий теории - понятие наилучшего приближения функции полиномами.

«В 1848 и 1850 гг. появились две замечательные работы П.Л. Чебышева, в которых исследовался вопрос о порядке роста функции . В работе 1850 г. Чебышев доказал, что функция при больших значениях x заключена между двумя величинами:

Работы Чебышева поставили перед математиками задачу установить асимптотическую оценку для функции при :

. (1)

Формула (1) означает, что:

или, что то же самое:

,

где при .

«Чебышев в 1848 г. доказал, что если предел (2) существует, то он может быть равен только 1. Основная трудность заключается в том, чтобы установить существование этого предела, и Чебышеву не удалось этого сделать».

В 1896 г. Адамаром и Валле Пуссеном было получено независимо друг от друга доказательство теоремы, в которой установлено асимптотическое равенство:

выражающее, что:

или, что то же самое:

,

где при .

Результаты указанных теоретических исследований дают основание применить для аппроксимации функции в качестве приближающей функции интегральный логарифм .

Следует отметить, что асимптотическое равенство функций и может быть установлено и тогда, когда модуль разности неограниченно растет при , однако рост медленней, чем рост и ([1], с. 26).

Таким образом, остается открытым вопрос о точности приближения функциик функции. Точность этого приближения можно оценивать по-разному. В основу, естественно, положить рассмотрение разности (отклонения одной из этих функций от другой)

.

В частности, если бы приближение рассматривалось в заданном промежутке, то за меру близости можно было бы принять: максимальное отклонение, либо среднее отклонение, либо среднее квадратичное отклонение.

В данном случае, когда приближение рассматривается при неограниченном росте аргумента, т. е. когда аргумент становится больше любого фиксированного натурального числа, то в качестве оценки принимают функцию , где для всех достаточно больших x, т. е. при . Тогда асимптотическая оценка модуля разности между и имеет вид:

. (3)

аппроксимация интегральный логарифм

Равенство (3) означает, что можно найти постоянную , такую, что:

для всех достаточно больших x, т. е. при ([1], с. 26).

Таким образом, возникает необходимость поставки задачи: найти точную оценку с помощью выбора функции .

Существенные результаты в этом направлении были получены Н.Г. Чудаковым. При этом были использованы оценки соответствующих тригонометрических сумм, полученные методом Н.М. Виноградова. Последние работы Н.М. Виноградова и Н.М. Коробова дали следующую оценку:

, (4)

где µлюбое положительное число, меньшее .

«Есть предположение, что модуль разности между и значительно меньше, чем это дано в формуле (4). Предполагают, что модуль этой разности представляет собой величину порядка”.

В настоящей статье ставится задача: эмпирически обосновать численными методами, что модуль разности между и представляет собой величину порядка :

. (5)

Равенство (5) означает, что можно найти постоянную , такую, что:

(6)

для всех достаточно больших x, т. е. при .

Приведем основные обозначения, используемые для формулировки результатов данной работы.

Обозначим через - упорядоченное множество простых чисел; - простое число; - порядковый номер простого числа; - множество натуральных чисел.

В дальнейшем функция рассматривается как числовая функция.

Согласно определению значение функции можно вычислить по формуле:

где суммирование выполняется по всем простым числам , таким, что .

Для рассматриваемой функции характерными точками, определяющими значение функции и в других точках, являются не натуральные значения аргумента , а простые числа.

Действительно, если задано упорядоченное множество простых чисел , то значение функции может быть вычислено по следующему алгоритму:

Алгоритмический способ задания функции задает правило соответствия, которое устанавливает зависимость функции от двух атрибутов простого числа: значения простого числа и его порядкового номера.

Отметим некоторые свойства функции :

функция имеет бесконечное множество разрывов первого рода в точках слева;

значения функции в точках равны (согласно определению);

значения функции в точках слева равны ;

скачки функции в точках слева равны ;

функция сохраняет постоянные значения в частичных промежутках :

согласно теорема Евклида при

при увеличении аргумента значения функции изменяются крайне нерегулярно.

В дальнейшем частные значения функции , которые отвечают частным значениям аргумента , рассматриваются как сложная функция от аргумента k ( интерпретируется как функция натурального аргумента k).

В рамках исследования точности аппроксимации функции , когда в качестве приближающей функции используется функция , выдвинуто предположение, что модуль разности между и представляет собой величину порядка :

. (2)

Равенство (12) означает, что можно найти постоянную , такую, что:

(3)

для всех достаточно больших x, т. е. при .

Для вычисления значения постоянной A были использованы табличные значения функции .

Расчеты выполнены по формуле:

Таким образом, для этого предположения оценка модуля разности между и может быть принята в виде:

при .

Для исследования зависимости параметра A, приведенного в формуле (3), от параметра были выполнены расчеты.

Результаты расчета значений параметра A для нескольких значений параметра приведены ниже:

(для справки: );

(для справки: );

(для справки: );

(для справки: );

(для справки: ).

Следует отметить, что из рассмотренных оценок модуля разности между :

,

,

(4)

оценка (4) принята как более точная.

Эта оценка справедлива на отрезке и можно предположить, что она допускает экстраполяцию на множество значений x, такое, что .

Заключение. Результаты эмпирических исследований дают основание поставить следующую задачу: доказать, что предельно точная оценка модуля разности между и имеет вид при .

Литература

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2008. С. 384.

2. Нечаев В.И. Числовые системы. - М.: Просвещение, 2005. С. 199.

Размещено на Allbest.ru