Функция кратности непрерывного спектра дифференциального оператора второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru

Функция кратности непрерывного спектра дифференциального оператора второго порядка

Филиппенко Виктор Игнатьевич,

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры математики

Института сервисного обслуживания

и предпринимательства (филиала ДГТУ).

Пусть - гильбертово пространство векторов с евклидовым скалярным произведением и нормой . Если векторы и рассматривать как матрицы-столбцы, то .

Обозначим через гильбертово пространство всех - мерных вектор-функций, значения которых принадлежат , а квадрат нормы суммируем, т. е. . Скалярное произведение в пространстве определяется следующим образом: .

Пусть , где - вещественная матричная функция порядка , которая измерима и локально суммируемая в сильном смысле. При каждом . Предположим, что имеет смысл для каждой функции , которая на любом отрезке абсолютно непрерывна вместе со своей первой производной, а . Предполагается, что уравнение имеет ровно решений, принадлежащих . Такая ситуация имеет место, например, если удовлетворяет условиям при любом векторе из пространства , а функция непрерывная, монотонная и .

В этой статье определяется поведение функции кратности непрерывного спектра самосопряженного дифференциального оператора, порожденного формально самосопряженным дифференциальным выражением в гильбертовом пространстве .

Пусть - замкнутый симметрический оператор с минимальной областью определения, порожденный в пространстве операцией . Индекс дефекта оператора предполагается равным . Стандартным образом можно построить формулу обобщенных резольвент оператора , а затем описывается множество всех спектральных функций оператора [1]. кратность непрерывный спектр дифференциальный

1. Пусть и решения матричного уравнения , удовлетворяющие начальным условиям , где и - единичная и нулевая матрицы порядка . Матричные функции и составляют фундаментальную систему решений и являются целыми функциями параметра . Известно, что если уравнение имеет ровно линейно независимых решений, принадлежащих , то в этом и только в этом случае существует единственная симметрическая матрица такая, что все столбцы матрицы принадлежат и , где .

Каждой вектор-функции , для которой имеет смысл, поставим в соответствие вектор-функцию , которую будем рассматривать как матрицу-столбец. Введем в рассмотрение ортогональную кососимметрическую порядка матрицу

.

Для любых вектор-функций и , к которым применима операция , тождество Лагранжа может быть записано в виде

,

где звездочкой отмечен переход к сопряженной матрице, в данном случае - однострочной.

Имеет место Лемма. В верхней полуплоскости комплексной плоскости матричная функция является регулярной, причем .

Доказательство строим по схеме, изложенной в [1]. Рассмотрим самосопряженное расширение оператора , заданное краевым условием . Ортогональная резольвента оператора определяется формулой . Следовательно, является решением уравнения

, (1)

которое принадлежит области определения оператора . Применяя метод вариации произвольных постоянных, получим для любой финитной вектор-функции из пространства решение уравнения (1)

.

Из условия следует, что , а так как , то

.

Следовательно

,

или короче:

,

где

Для функции имеет место соотношение .

Пусть где произвольный вектор из пространства . Согласно последним равенствам при любом и любом является регулярной в верхней полуплоскости функцией параметра с неотрицательной мнимой частью. В силу нормальности семейства таких функций и произвольности вектора регулярной в верхней полуплоскости является и .

Последнее утверждение леммы следует из равенства .

2. Пусть - самосопряженное расширение оператора в пространстве , определяемое разделяющимися краевыми условиями. Эти условия в точке можно представить в виде , где - некоторая прямоугольная матрица, состоящая из линейно независимых строк и столбцов, удовлетворяющих условию . Далее, применяя лемму, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема

Пусть для любого уравнение имеет линейно независимых решений таких, что:

1) ;

2) , какова бы ни была функция ;

3) линейная комбинация удовлетворяет системе краевых условий в точке только в том случае, когда ;

4) вектор-функции удовлетворяют условию Липшица на сегменте . Тогда ранг спектральной матрицы-функции оператора на сегменте не превосходит .

Воспользуемся стандартным определением функции кратности спектра.

Следствие

Если выполняются условия теоремы и , где - постоянная эрмитова матрица с простыми собственными значениями, а - некоторая эрмитова матрица с суммируемыми на промежутке элементами, то функция кратности непрерывного спектра оператора - кусочно-постоянная, ее значение в точке определяется числом собственных значений матрицы , удовлетворяющих условию

Литература

1. Филиппенко В.И. Резольвенты линейного оператора, порожденного обобщенным квазидифференциальным выражением // В сб.: Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию. - Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2004. - С. 304 - 322.

Размещено на Allbest.ru