Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМАЛИЗМА ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ В МОДЕЛЯХ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫМИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ (С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ ГОРНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ)

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

ВАЛУЕВ Андрей Михайлович

Москва 2008

Работа выполнена в Московском государственном горном университете

Научный консультант:доктор технических наук, заслуженный деятель науки РФ, профессор Резниченко Семен Саулович.

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,

профессор Киреев Владимир Иванович

доктор физико-математических наук,

доктор физико-математических наук,

профессор Яковенко Геннадий Николаевич

Ведущая организация:Институт системного анализа РАН (г. Москва)

Защита состоится   декабря 2008 г. в __________ на заседании диссертационного совета 212.128.02 при Московском государственном горном университете Федерального агентства по образованию по адресу: 119991, Москва, Ленинский проспект, д. 6, телефон (495) 236-94-37.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета.

Автореферат разослан ноября 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета

к.т.н., доцент Адигамов А.Э.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Существуют несколько принципиально различных подходов к постановке и решению задач управления производственными системами, имеющих различные области применения. Наибольшее развитие получили методы планирования, преобладающий подход основан на использовании линейных статических или динамических моделей объемно-календарного планирования, что соответствует укрупненному планированию в обрабатывающих областях промышленности. Данный тип задач в наибольшей степени обеспечен эффективными методами их расчета. Задачи теории расписаний относятся к планированию многостадийных процессов изготовления многономенклатурной продукции, преимущественно в машиностроении. Комбинаторный характер задач делает точные методы их решения чрезвычайно ресурсоемкими. Наконец, методы сетевого планирования развиваются преимущественно применительно к задачам планирования в строительстве. В этой последней области, однако, многочисленные обобщения классической задачи не обладают высокой степенью общности, а методы распределения ресурсов -- мощностей между параллельно выполняемыми сходными работами являются обоснованными только при его дискретном характере.

Перечисленные типы моделей и методов не покрывают, однако, всю область управления производственными процессами, а попытки их приложения к другим типам задач в большинстве случаев бывают неадекватны. За пределами остаются ряд важнейших типов производств: горная промышленность, нефтехимия, сельское хозяйство,-- для которых также предлагаются индивидуальные модели, обладающие, однако, заметно меньшей степенью общности и адекватности решаемым задачам. Нужно отметить еще ряд аспектов проблемы экономического управления производственными системами, которые важны для большинства производств, но не нашли адекватного решения. Это управление закупками и запасами с учетом закономерностей изменения во времени предложения и потребления и управление финансами организации с учетом дискретно-непрерывного характера доходов, затрат, вложений и возврата вложенных средств и заимствований.

Видимым выражением недостаточного развития моделей и методов управления производственными системами, прежде всего со смешанным характером динамики, является тот факт, что, за исключением линейных моделей планирования и сетевых моделей, остальные типы моделей не имеют промышленно значимых реализаций. Программные средства планирования в разработанном APICS стандарте MRP-II, наиболее распространенные программные комплексы планирования выполнения комплексов работ и планирования горного производства в равной степени отличаются одним качеством: основные решения должны задаваться пользователем в интерактивном режиме, т.е. по сути дела выбираться почти наугад. Гарантировать эффективное распределение производственных ресурсов при таком подходе, разумеется, нельзя.

В теоретическом аспекте давно отмечается ряд недостатков господствующих подходов. Так, в монографии А.А. Первозванского большое внимание уделено расхождению между пооперационным описанием производственного процесса как «системы работ (job-shop)» и задачами объемного планирования по этапам фиксированной продолжительности как «системы потоков (flow-shop)»; однако вопрос о совмещении этих описании в одной модели до последнего времени не ставился. Ю.Н. Иванов, В.В. Токарев и А.П. Уздемир отмечают, что в основу линейных моделей положено представление о том, что «периоды колебаний параметров производственных процессов около их расчетных значений, как правило, много меньше характерных масштабов времени» для задач планирования. «Исключение могут составлять процессы, протекающие в сильно меняющейся среде, например строительство, добыча полезных ископаемых или сельскохозяйственное производство». Но если методы расчета нелинейных динамических моделей планирования традиционного типа, т.е. непрерывных по управлениям и состояниям и дискретным по времени, все же нашли развитие, то модели со смешанной динамикой только начинают развиваться. Таким образом, систематический учет особенностей переключаемых производственных процессов при их математическом моделировании является актуальной научной проблемой.

Концептуальной основой моделей переключаемых производственных процессов является новый тип моделей, получивших название гибридных систем. Отличительной особенностью таких систем является именно смешанный характер динамики. Вместе с тем понятие гибридных систем чрезвычайно широкое и допускает различные сочетания дискретной и непрерывной динамики. Конкретные исследования проводятся для отдельных классов гибридных систем, а их практическое применение еще не получило широкого распространения. В то же время в отечественной научной литературе давно получили развитие вариационные методы исследования и решения задач управления разрывными системами (конкретные модели которых по преимуществу происходят из области динамики космического полета), которые естественно было бы перенести на более широкий класс задач. Дальнейшее развитие таких методов для решения задач управления на адекватных классах моделей гибридных систем представляется весьма целесообразным.

Детерминированные модели производственных процессов принципиально ограниченно адекватны в силу многообразных возмущений и наличия некоторой степени дискретности производственного процесса. Последняя не может быть передана моделями в непрерывных переменных, но использование последних оправдывается существенно большей эффективностью методов оптимизации в непрерывных переменных по сравнению с комбинаторной оптимизацией. Вместе с тем существенные возмущения по преимуществу регистрируются почти с момента своего возникновения и их последствия при выборе того или иного скорректированного управления прогнозируются. Методы регулирования по отклонениям в условиях дискретного во времени характера производственного управления неизбежно приводят к запаздыванию компенсации возмущений. Более уместными представляются методы, основанные полностью или частично на регулировании по возмущениям, которые, однако, не получили заметного развития и для традиционного управления по этапам фиксированной продолжительности. В связи с этим развитие моделей и методов управления переключаемыми производственными процессами, учитывающих возмущения, является актуальной научной задачей, важнейшей составляющей рассматриваемой научной проблемы.

Проблема диссертационной работы в особенности актуальна в отношении задач управления горным производством и в частности открытой угледобычей, специально рассматриваемых в работе с учетом их специфических черт. По сравнению с большинством других переключаемых производственных процессов процессы добычи полезных ископаемых отличаются особенно сложным характером: пространственным распределением работ, неоднородностью запасов, которые необходимо преобразовать в стабильный в качественном и количественном отношении поток продукции горного предприятия, сложным характером производственных циклов, сочетанием в одном и том же процессе производства продукции и создания или поддержания производственной мощности в форме системы горных выработок. Поэтому важным элементом диссертации является создание адекватных моделей и методов решения задач управления горным производством на основе новых подходов, служащее в то же время демонстрацией работоспособности концепции и результатов диссертационной работы.

Цель работы состоит в разработке методов моделирования для динамических задач управления переключаемыми производственными процессами на основе формализма гибридных систем, создании универсальных численных методов и основных решений по их информационно-программной реализации для решения таких задач и применении разработанных моделей и методов к проблеме комплексного пространственно-временного распределения ресурсов для предприятий горной промышленности.

Для достижения цели исследования решаются следующие научные задачи:

1. Систематизировать основные типы взаимосвязей, характеризующих управляемые производственные процессы с переключениями.

2. Обосновать типы моделей, выражающих задачи управления переключаемыми производственными процессами.

3. Исследовать основные качественные свойства предлагаемых типов моделей, в т.ч. условия оптимальности.

4. Разработать численные методы оптимизации для рассматриваемых в работе классов моделей и способы их программной реализации.

5. Обосновать и развить модели и методы регулирования как способы достижения показателей плана в условиях возмущений внутренней и внешней среды, обосновать методы выбора их параметров.

6. Обосновать выбор моделей горных работ как элементов задач производственного планирования при открытой разработке месторождений.

7. Разработать универсальное представление моделей годового и внутригодового планирования открытой угледобычи во введенном классе моделей на основе классификации основных технологий разработки и формирования товарного продукта.

Идея работы состоит в моделировании комплекса управляемых производственных процессов с переключениями качественного состояния в формализме гибридных систем и рассмотрении динамического распределения ресурсов как комбинации оптимального планирования по детерминированным моделям и регулярного метода компенсации возмущений внутренней и внешней среды -- модифицированного метода инвариантного синтеза.

Для получения излагаемых результатов использованы методы математического моделирования, теории управления, линейного и нелинейного программирования, общей математической статистики и геостатистики, вычислительной математики и эксперименты на ЭВМ.

В диссертации защищаются следующие научные положения:

1. Адекватность математического моделирования переключаемых производственных процессов, позволяющего представлять разнообразие вариантов их осуществления и выполнять расчеты рационального использования ресурсов производственной системы, достигается реализацией следующих принципов:

? представлением производственных процессов детерминированными моделями для планирования и структурно подобными им моделями реализации плана для его коррекции, включающими регистрируемые и прогнозируемые отклонения и возмущения;

? динамической формой моделей с явным описанием временных границ всех производственных циклов, продолжительность которых сопоставима с продолжительностью календарных этапов моделируемого периода или превышает ее, и с неявным учетом более коротких циклов через коэффициенты использования оборудования.

2. Математически корректной и соответствующей сформулированным принципам адекватности формой описания переключаемого производственного процесса производства с позиций планирования является введенная в диссертации модель процесса с переключениями качественного состояния, образуемая для конкретных условий производства из набора базовых соотношений (балансовых соотношений, уравнений динамики показателей производственных циклов или работ, состояния накопителей; условий скачка на значения отдельных величин при переключениях определенного типа; условий для начала выполнения и завершения отдельных видов работ; условий опережения или взаимного расположения взаимосвязанных работ).

3. Установлены условия перестановки смежных переключений и необходимые условиями оптимальности, а для линейных задач оптимизации комплекса работ -- также достаточные условия оптимальности и кусочно-линейная форма функции Беллмана. Полученные результаты позволяют построить и обосновать численные методы оптимизации для моделей введенного в диссертации типа.

4. Решение сформулированных в диссертации задач оптимального планирования производства обеспечивается с помощью разработанного автором семейства комбинированных методов, объединяющего построения метода ветвей и границ для выбора последовательности переключений с гибридными прямыми методами линейного и нелинейного программирования для оптимизации процесса при фиксированной последовательности переключений, основанными на декомпозиции по множеству ограничений при построении направления спуска и включающими вычисления по типу методов возможных направлений, проектирования с восстановлением связей и двойственных направлений.

5. Достижение заданных интервалов для значений целевых показателей производственного процесса для планового периода и отдельных его этапов обеспечивается применением регулярного метода перераспределения ресурсов при возмущениях значений параметров производственной ситуации, в качестве которого в работе предложен модифицированный метод инвариантного регулирования, и наличием в плане резервов как по использованию производительности оборудования, так и по значениям целевых показателей. Обоснование резервов может быть осуществлено путем применения метода имитационного моделирования по предлагаемой в работе методике.

6. Информационно-вычислительная реализуемость сформулированных в работе моделей и методов решения задач планирования, регулирования и имитационного моделирования обеспечивается разработанными автором методами анализа и интерпретации моделей при их языковом описании.

Обоснованность и достоверность научных положений определяется:

-- системным подходом при разработке математических моделей процессов производства и управления ими; подробным исследованием организационно-технологических условий для ряда производственных систем, в т.ч. угольных карьеров;

-- использованием строгих математических приемов исследования моделей и обоснования разработанных вычислительных методов;

-- значительным объемом вычислительных экспериментов с моделями управления производственными процессами, сопоставлением результатов расчетов ряда задач по методу автора и при помощи программной системы ДИСО, успешным решением сходных по структуре задач для других областей применения;

-- анализом геологической информации в объеме баз данных детальной разведки по отдельным месторождениям;

-- выполнением значительного объема расчетов для ряда угольных карьеров, результаты которых прошли апробацию специалистами.

Научная новизна. Введен принцип календарно-событийного планирования для построения моделей переключаемого производственного процесса и соответствующая ему общая форма модели, позволяющая объединить в единое целое задачи объемно-календарного и организационного планирования. На основе обобщения свойств конкретных моделей и исследования формы моделей в общем виде установлены свойства управляемости и условия оптимальности.

Для линейных моделей введенного класса, описывающих задачи распределения ресурсов-мощностей при выполнении комплекса работ, установлена кусочно-линейная форма функции Беллмана и достаточные условия оптимальности, обеспечивающие получение точного решения конечными методами.

Разработано семейство комбинированных вычислительных методов для решения задач оптимизации календарно-событийных управляемых процессов в различных постановках (поиск допустимого плана, стандартная оптимизация с терминальным и интегральным целевым функционалом, дискретный минимакс), объединяющих вариант метода ветвей и границ для решения задачи оптимизации процесса по дискретным управлениям и систему вычислительных методов для нескольких классов задач оптимизации динамических процессов в дискретном времени по непрерывным переменным, основанных на декомпозиции по множеству ограничений прямых методов оптимизации. Обоснована их сходимость и исследована скорость сходимости.

Для задачи регулирования функционирования производственного комплекса на прогнозирующих моделях разработан вариант метода синтеза интервально-инвариантной (по отношению к возмущениям значений параметров) динамической системы в дискретном времени, основанный на применении теории инвариантного синтеза и декомпозиционных схем.

Дано решение вопроса оценки адекватности и погрешности моделей горных работ на карьерах, получены конкретные оценки погрешности для основных типов моделей, обосновывающие выбор модели в задачах распределения ресурсов. Сформулированы соотношения контурной и секторной моделей для различных типов месторождений, обеспечивающих приемлемую погрешность. Разработаны согласованные с ними алгоритмы для типовых задач построения элементов карьерного поля, возникающих при календарном планировании и управлении.

Разработана общая методика построения моделей динамического пространственно-временного распределения ресурсов открытой угледобычи на основе систематизации элементов моделей процесса добычи и формирования товарного угля и классификации условий добычи и формирования товарной продукции.

Практическое значение работы состоит в том, что предложенные методы планирования, оперативной коррекции плана и обоснования резервов для системы управления являются конструктивными, реализуемыми с помощью программно-информационных средств, предложенных в работе, на основе стандартной технологической и геологической (для горного производства) информации.

Реализация полученных результатов. На основе разработанных моделей, методов и архитектуры программного обеспечения разработаны программные реализации задач планирования открытой разработки месторождений для нескольких типов ЭВМ, в т.ч. персональных компьютеров. С помощью данных программных разработок проводилось исследование задач планирования и управления технологическим комплексом добычных работ для ряда разрезов Восточной Сибири.

Для персональных ЭВМ разработана программная система моделирования задач планирования и оперативной коррекции плана и библиотека моделей, позволяющая также решать задачи исследования параметров системы управления и выбора некоторых технологических решений и оборудования путем имитационного моделирования процесса “планирование -- функционирование”. Разработана и практически использована для решения задач оптимизации режима горных работ на разрезе "Нерюнгринский" программа оптимизации рабочей зоны карьера. В составе учебно-исследовательской САПР открытых горных работ на основе разработанных методов создана подсистема исследования режима горных работ. Разработанные программы использовались также в дипломном проектировании и исследованиях аспирантов МГГУ.

Апробация работы. Разработанные модели и результаты их исследования и расчетов докладывались на 3_м и 5_м Международных симпозиумах по проблеме планирования и выбора оборудования в горной промышленности (MPES'94, Стамбул, 1994 г.; MPES'96, Сан-Пауло, 1996 г.), Международной конференции по теории и приложениям математики и информатики (ICTAMI-2005, 2005 г., Албак, Румыния), 11-й, 12-й и 13-й Международной конференциях «Математическое моделирование и анализ» (MMA-2006, Юрмала, Латвия, 2006 г.; MMA-2007, Тракай, Литва, 2007 г., MMA2008 & AMOE2008, Тарту-Кяярику, Эстония, 2008 г.), Международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ-2007" (Санкт-Петербург, 2007 г.), XXII Югославском симпозиуме по исследованию операций (YUHOR, Доньи Милановац, 1995 г.), 1-ом Международном симпозиуме по моделированию в горном деле по Интернету (MINESIM'96, 1996 г.), 1-м и 2_м Региональных симпозиумах по применению ЭВМ и математических методов в горных отраслях промышленности (Regional APCOM'94, Блед, Словения; Regional APCOM'97, Москва, 1997 г.), на II-ой и VI-ой Международных конференциях “Интеллектуальные системы и компьютерные науки” (Красновидово, 1992 г.; Москва, 1996 г.), Второй международной конференции "Устойчивость и управление для нелинейных трансформирующихся систем (Москва, 2000 г.), Первой и Второй международных конференциях "Математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED-2004, Москва, 2004 г., MMSED-2007, Москва, 2007 г.)", Четвертой и Пятой Московской международной конференции по исследованию операций (2004 г.; 2007 г.), были доложены на пяти Всесоюзных научно-технических конференциях, симпозиумах и совещаниях ("Актуальные проблемы организации и управления в горном производстве", Москва, 1986 г.; "Повышение надежности и качества технологических процессов добычи угля. Всесоюзная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов угольной промышленности с участием стран-членов СЭВ", Люберцы, 1987 г.; "Разработка и применение систем автоматизированного проектирования и АСУ горного производства", Алма-Ата, 1987 г.; "Технология и техника открытых горных разработок при извлечении полезных ископаемых", Москва, 1988 г.; "Логическое управление с использованием ЭВМ. XII Всесоюзный симпозиум". Симферополь, 1989 г.), на Пятом, Шестом и Девятом Всероссийском симпозиумах по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия 2004 г., Кисловодск; осенняя сессия 2004 г., Сочи; весенняя сессия 2005 г., Санкт-Петербург; осенняя сессия 2004 г., Сочи-Дагомыс; весенняя сессия 2008 г., Кисловодск), на семинарах в рамках Недели горняка (1996 г., 1997 г., 2004-2008 гг.), на Московской конференции "Методы декомпозиции в математическом моделировании" (Москва, 2004 г.), на научных семинарах в институтах РАН (Институте системного анализа, Вычислительном центре им. А.А.Дородницына, Институте машиноведения, Институте математики и механики Уральского отделения) и на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения, содержит 11 рисунков, 18 таблиц и список литературы из 353 наименований.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в 54 публикациях, в т.ч. в 38 статьях в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Основное содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы: обосновывается актуальность темы, формулируются цель и задачи диссертационного исследования, его основные результаты, теоретическое и практическое значение работы, положения, выносимые на защиту.

В первой главе анализируются основные подходы к моделированию производственных процессов в задачах управления, модели и методы их расчета, и на этой основе обосновывается область исследования и нерешенные задачи. Систематизация моделей проведена в работах А.А. Первозванского и представителей научной школы ИПУ -- ИСА РАН (А.Н. Дюкалова, Ю.Н. Иванова, В.В. Токарева, А.И. Пропоя, Н.А. Магницкого и др.), в которой активно развивались и методы расчета линейных задач их оптимизации (также в работах А.Е. Илютовича, В.Е. Кривоножко и др.), основанные, в частности, на разных вариантах декомпозиционного подхода. Родственные задачи моделирования динамики экономических систем решены школой А.А. Петрова (И.Г. Поспелов, А.А. Шананин, А.В. Лотов и др.). Отмечается, что в зависимости от типа производственных процессов и временных горизонтов управления выделяются три основных типа моделей. Модели объемно-календарного планирования, берущие начало от работ Л.В. Канторовича, формулируются, как правило, как модели оптимального управления в непрерывном или дискретном времени. Для задач планирования комплекса работ развиваются модели на основе обобщения задачи сетевого планирования (в частности, Б.С. Разумихин, Ю.П. Иванилов, Э.Г. Давыдов, С.А. Баркалов, Д. Филлипс), но точные методы их расчета известны только для модели дискретного распределения мощностей (В.С. Михалевич, А.И. Кукса, А.П. Уздемир). Наконец, развиваются модели и методы теории расписаний, основанные на дискретном представлении производственных процессов.

Применительно к области горного производства и ряда других природно-технологических комплексов актуальны модели, основными свойствами которых являются нелинейность, динамический характер (зависимость последующего поведения системы от предыдущего), наличие факторов неопределенности. Детерминированные модели такого рода были впервые введены на примере химической промышленности Л.Т. Фаном и Ч.С. Ванем и теоретически исследованы В.Г. Болтянским, А.И. Пропоем, Л.Т. Ащепковым. Помимо специализированных методов расчета таких моделей школой Ю.Г. Евтушенко выработан общий подход к модификации методов решения задач нелинейного программирования в динамических задачах.

В работе выделены типы производственных систем, для которых не адекватны ни модели управления по этапам фиксированной продолжительности, ни модели теории расписаний. Характерными чертами таких производств являются: ограниченность номенклатуры продукции; наличие небольшого количества агрегатов большой единичной мощности, производительность которых составляет значительную долю от выпуска продукции соответствующего типа всей производственной системой; продолжительность производственных циклов (выпуск партии продукции определенного типа, выполнение вспомогательных работ) находятся в пределах между продолжительностью календарного этапа и планового периода и не являются фиксированными величинами. На границах таких производственных циклов изменяется качественное состояние производственной системы, в частности система материальных потоков. Такие производства характерны для нефтепереработки и горной промышленности, причем последнюю отличает также тесная связь между сроками производственных циклов для агрегатов, работающих на пространственно смежных участках.

Другой тип переключаемого производственного процесса, характерный для строительства, представляется в виде совокупности работ экстенсивного типа (т.е. разбивающихся на однотипные порции), для которой между сходными работами возможно непостоянное во времени распределение ресурсов-мощностей. Переключаемый характер динамики производственного процесса может быть также связан с переключаемым характером обеспечивающих процессов управления финансами, закупками и запасами материалов, которые тесно связаны с производственными процессами. Динамика таких процессов является смешанной, т.е. характеризуется сочетанием непрерывных и скачкообразных изменений основных показателей, если имеют место: вложение свободных средств в срочные депозиты или облигации, взятие или возврат кредита; приобретение материалов или продажа продукции партиями с одномоментными платежами за партии приобретаемых материалов или выплатами потребителей за поставленные партии продукции, в особенности в сочетании с закономерными изменениями цен, предложения и спроса в течение планового периода (характерно для сельскохозяйственной продукции и стройматериалов); ограниченность сроков хранения отдельных видов материалов и продукции.

Для описания таких процессов наиболее адекватными представляются нам модели со смешанной дискретно-непрерывной динамикой, ныне объединяемые общим названием -- «гибридные системы». Общие формализации принадлежат зарубежным ученым J. Aubin, G. Habbard, S. Sastry, J. Lygeros, C. Tomlin, P. Antsaklis, J. Yong, A. Van der Schaft, H. Schumacher, M.S. Branicky, V.S. Borkar, Mitter S.K. и др. Следует отметить, что модели гибридных систем, в свою очередь, являются частным случаем моделей «интеллектного управления» (С.Н. Васильев, Е.А. Федосов, Б.Е. Федунов). Новые классы моделей с позиций оптимального управления исследовались А.Б. Куржанским, В.А. Дыхтой, Б.М. Миллером, Е.Я. Рубиновичем, Р. Габасовым, Ф.М. Кирилловой. В данной области оказываются актуальными и модели управления трансформирующимися системами, развитые ранее В.В. Величенко, А.Т. Ащепковым и А.С. Филатьевым.

Гораздо менее разработанной является задача реализации плана в условиях реально действующих возмущений, вызываемых в т.ч. принципиальной неточностью моделей, в которых динамика осредняется по коротким производственным циклам. Концепция совместного выбора плана и метода регулирования (В.В.Токарев) трудно реализуема. Поэтому, рассматривая задачу управления производственным процессом для определенного временного периода, целесообразно разделить ее на задачу планирования и задачу регулирования, т.е. задачу коррекции плана при регистрации возмущений и отклонений. Однако построенные по аналогии с непрерывными процессами методы автоматического регулирования в дискретном времени (Я.З. Цыпкин), как правило, малоэффективны из-за дискретного характера управления, вызывающего длительные задержки между возмущением и его компенсацией. Поэтому регулирование должно быть по преимуществу регулированием по возмущениям, для чего представляется целесообразным перенести на вводимый класс моделей построения метода инвариантного синтеза (по версии Л.И. Розоноэра -- В.В. Величенко).

Что касается ресурсов регулирования, для их обоснования целесообразным представляется использование метода имитационного моделирования, эффективность которого применительно к социально-экономическим и техническим процессам значительной временной протяженности подтверждена работами А.А. Петрова, И.Г. Поспелова, А.А. Шананина, Ю.Н. Павловского, Г.И. Савина. Такой комбинированный оптимизационно-имитационный подход рассмотрен в работах А.Д. Цвиркуна, Е.Н. Хоботова и др. Способ моделирования комбинированного воздействия различных независимых случайных факторов обоснован В.Е. Лихтенштейном.

Использование метода имитационного моделирования требует привлечения моделей отдельных случайных факторов. В целом предлагается использовать следующую систему моделей:

1. Детерминированная динамическая модель для планирования, использующая в качестве значений неопределенных параметров:

? средние или наиболее вероятные значения для параметров уравнений динамики;

? эффективные значения (с учетом коэффициента использования оборудования) для производительности машин;

? верхние (нижние) границы вероятного диапазона для величин, ограниченных в модели сверху (снизу).

? Прогнозная модель для регулирования, используемая при регистрации конкретного возмущения или отклонения. Отличается от модели для планирования учетом зарегистрированных возмущений/отклонений и включает соотношения, приближенно описывающие взаимосвязи, вытекающие из уже случившихся случайных событий (например, восстановление работоспособности агрегата после ремонта).

? Частные модели статистически определенных независимых случайных факторов с описанием случайных факторов переменными, не зависящими от управления.

? Модель фактического функционирования для исследования параметров системы управления, связывающая фактические значения переменных состояния и управления, наблюдаемые и ненаблюдаемые возмущения (в т.ч. ошибки измерения и прогнозирования).

Построению моделей производственных процессов в формализме гибридных систем посвящена вторая глава диссертации. Производственная система рассматривается как совокупность работ, используемых при их выполнении единиц производственной мощности (агрегатов), накопителей и материальных потоков. Переменные состояния делятся на два типа -- качественные di(k) (состояние выполнения отдельной работы или стадия производственного цикла для агрегата) и количественные xi(t,k) (текущий объем выполняемой работы или время с начала ее выполнения, запас в накопителе); последние могут скачкообразно изменять состояние в результате переключений. Значения переменных управления определяются для отдельных этапов; ими являются: ui(k) -- интенсивности выполнения работы (или текущей операции отдельным агрегатом); интенсивности отдельных грузопотоков uFf(k).

Проведена систематизация типовых соотношений моделей, которыми являются:

1) уравнения количественной динамики -- для объемов работ, суммарных затрат материалов, запасов в накопителях (с учетом потерь) и суммарных затрат на хранение соответственно

месторождение горный управление производственный

dxi(t,k)/dt=ui(k),(1)

dxip(t,k)/dt=aipui(k), (2)

(3)

(4)

2) балансовые соотношения (по материалам, выходным и промежуточным продуктам и компонентам и денежным средствам), в частности, для p-го продукта, образующегося в результате i-й работы, если он поступает непосредственно в выходной поток,

(5)

3) ограничения на производительность (использование и разделение производственных мощностей между однотипными работами)

j=1,…, m,(6)

если di(k)=1, иначе ui(k)=0;(7)

4) ограничения по провозной способности участков транспортных коммуникаций

l=1,…NTR;(8)

5) ограничения на объем транспортной работы по совокупностям грузопотоков, обслуживаемых однотипным транспортом,

(9)

где NTMr -- общее количество единиц r-го вида транспорта, Mmax r -- грузоподъемность;

6) условия окончания работы и начала последующих работ (определяющие момент окончания k_го этапа T(k+1)) и соответствующие изменения их качественного состояния (di(k){0;1;2}: 0 -- "не начата", 1 -- "выполняется", 2 -- "завершена")

xi(T(k+1), k)=xTi,(10)

di(k+1)=2,(11)

di(k+1)=1, если Pi2(d(k))Pi и Pi2(d(k+1))=Pi, (12)

где Pi -- множество предшествующих работ для i-ой работы, Pi2(d)={i | di=2};

аналогично для разгружаемого накопителя

xDd(T(k+1), k)=0,(13)

следствием чего является его одномоментное пополнение

xDd(T(k+1), k+1)=Xd(14)

или изменение состояния с «разгрузка» (di(k)=4) на «загрузка» (di(k)=3); аналогично для формируемой партии продукции, рассматриваемой как накопитель

xDd(T(k+1), k)=XSd; (15)

7) ограничения на взаимное положение взаимосвязанных работ i и j, которые достаточно рассматривать в моменты окончания этапов,

xi(T(k+1), k)xj(T(k+1), k)-xij; (16)

8) ограничения на моменты времени начала и(или) окончания отдельных работ или их продолжительности, связываемые, следовательно, с моментами переключений.

Для горного производства, наряду с перечисленными, имеют место соотношения аналогичных типов (дифференциальные и функциональные уравнения), отличающиеся наличием нелинейных зависимостей, характеризующих пространственное распределение запасов и работ. В разделе 2.2 рассматривается пространственный аспект распределения ресурсов при планировании на карьерах, выполнено исследование адекватности и точности моделей геометрической формы борта и выработанного пространства (ВП) карьера, которые служат составной частью моделей производственного процесса. Ввиду того, что горные работы непрерывно изменяют форму карьера, а отдельные его элементы имеют существенно различный срок существования, адекватность этих моделей может пониматься только как соответствие порождаемых ими геометрических конфигураций усредненным конфигурациям карьера, называемых проектными положениями горных работ (ППГР). Сформулировано принципиальное математическое описание ППГР системой линий ограниченной кривизны -- бровок уступов, предложены две формы аппроксимирующих полилинейных моделей (контурная и контурно-секторная) и установлены оценки погрешности аппроксимации в метрике Хаусдорфа, позволяющие выбирать размерность и параметры модели в зависимости от требуемой точности. Показано преимущество этих моделей в точности представления геометрической формы карьера перед известными. Предложены согласованные с ограничениями введенных моделей определения геометрических объектов -- элементов карьерного поля, которые требуется определять при переходе от задач годового планирования к задачам внутригодового планирования, и алгоритмы их построения. Выведены формулы для значений геологических характеристик элементов карьерного поля в зависимости от организационно-технологических схем.

Для объединения вышеперечисленных элементов моделей задач планирования в работе введен новый класс гибридных систем, называемый далее классом событийно-переключаемых процессов. Событийно-переключаемый процесс есть N_этапный процесс, в котором моменты окончания этапов определяются наступлением одного или нескольких событий окончания работ или частных процессов (для произвольного k множество событий S(k){1,…, L}, где L -- количество типов событий). Для произвольного (k-го) этапа процесса, занимающего нефиксированный промежуток времени [T(k), T(k+1)), постоянны значения вектора качественного состояния d(k) (принимающего значение из конечного множества AD) и управления u(k)Rm, а связь между конечным x1(k)Rn и начальным x0(k)Rn состояниями и продолжительностью этапа t(k) имеет вид разностных уравнений

x1(k)=Y(d(k), x0(k), u(k), t(k)),(17)

где Y(d(k), x0(k), u(k), t) -- решение задачи Коши для системы

dx(t, k)/dt=f(d(k), x(t, k), u(k))(18)

с начальными условиями t=0, x(0, k)=x0(k). Существует i(s)-я компонента вектора состояния x(t, k) (i(s)i(s) при s s), для которой

fi(s)(d(k), x(t, k), u(k))fmin s>0.(19)

Условия окончания этапа выражаются в виде

, sS(k),(20)

, sS(k), (21)

первое из которых (20) есть условие наступления событий из множества S(k), а из второго вытекает, что внутри этапа событий не происходит, т.к. в силу (21) с учетом (19) наступление остальных событий происходит позже. Условие окончания определенного календарного этапа также имеет вид (20), если текущее время рассматривать в качестве переменной состояния xn.

Кроме того, предполагается, что при любом s{1,…, L}

(22)

Предположение (22) означает, что модель описывает производственный процесс и вне пределов интервала моделирования [0, T1]. В результате совокупности одновременных переключений S(k) значения некоторых компонент дискретных и непрерывных векторов состояния (набор которых зависит от S(k), d(k)) изменяются:

d(k+1)=D(S(k), d(k)),x0(k+1)=X(S(k), d(k), x1(k)), (23)

причем существует такая положительная константа KX0, что при любых S{1,…, L}, sS, dAD, xRn

(24)

Количество шагов процесса N определяется условием наступления момента достижения финального качественного состояния

di(N+1)=diT, iIT,(25)

которое при фиксированной продолжительности процесса T1 выводится из условия T(N+1)=T1, имеющего форму (20) относительно текущего времени, выступающего в качестве фазовой переменной. Система ограничений, которой должен подчиняться процесс, состоит из нескольких типов ограничений: ограничений, относящихся к любому этапу и имеющих вид

, jJ1(d(k)),, jJ2(d(k)),(26)

и ограничений, связанных с моментами событий определенного типа (включая ограничения на конечное состояние)

, jK1(s), sS(k).(27)

Предполагается, что при любом d(k)AD множество U0(d(k)) значений векторов u(k), при котором условия (26) совместны, не пусто и ограничено.

Задача планирования рассматривается как задача минимизации значения целевого функционала, который может быть задан в одной из форм:

F0(x1(N)),(28)

(29)

max{Yj(d(k), x0(k), u(k), t(k)) | jJ0(d(k)), k=1,…, N}.(30)

Далее предполагается, что при любых dAD, xRn, S1, S2{1,…, L}, S1S2=, справедливы следующие соотношения:

D(S1S2, d)=D(S1, D(S2, d)),(31)

X(S1S2, d, x)=X(S1, D(S2, d), X(S2, d, x)).(32)

Справедливость данных соотношений согласуется с рассмотренными выше типовыми соотношениями моделей переключаемых производственных процессов.

Важнейшей характеристикой событийно-переключаемого процесса является последовательность S(1),…, S(N) (называемая, следуя В.В.Величенко, сценарием процесса S). Согласно соотношениям (23), при заданном начальном качественном состоянии d(1) сценарий определяет дискретную траекторию d=(d(1),…, d(N+1)). При фиксированном сценарии совокупность соотношений (17), (20), (21), (23), (25)_(27) определяет модель M0 дискретного процесса со смешанными ограничениями, имеющую то отличие от традиционных моделей дискретных процессов, что неравенства (20) являются строгими; в этой модели в качестве управления для этапа и процесса удобно принять соответственно v (k)= (u(k), t(k)), v=(v(1),…, v(N)). Но это отличие неудобно для применения итерационных методов оптимизации, поскольку множество V0(S) всевозможных управлений, удовлетворяющих вместе с порождаемыми ими траекториями условиям модели, незамкнуто. Поэтому вместо модели M0, как правило, удобнее использовать модель M1, отличающуюся от M0 заменой (21) на

, sS(k).(33)

Для совокупности соответствующих модели M1 управлений используется обозначение V1(S). Условие (33) слабее, чем (21), поэтому всегда V1(S)V0(S). Связь между моделями M0 и M1 определяется следующей теоремой:

Теорема 2.3. Если сценарий S некоторого N-этапного процесса таков, что для k-го этапа dim(S(k))>1, то для любого разбиения S(k) на непересекающиеся множества S1(k),…, Sm(k) для произвольного управления vV1(S) можно определить (N+m-1)_этапный измененный процесс со сценарием SA и управлением , в котором после k-го этапа идут "вставные" этапы нулевой длительности, для которых

dA(k)=d(k); SA(k)=S1(k); SA(k+j)=Sj+1(k),  dA(k+j)=D(Sj(k), dA(k+j-1)),

uA(k+j)U0(dA(k+j)), (k+j)=X(Sj(k), dA(k+j-1),(k+j-1)), (34)

(k+j)=(k+j),   j=1,…, m-1.

На остальных этапах (с точностью до нумерации) векторы управления и состояния на измененном процессе те же, что и на исходном. Тогда V1(SA).

Качественное исследование введенного класса моделей выполнено в третьей главе. Анализ свойств конкретных соотношений моделей переключаемых процессов показывает, что выполняется следующее условие:

Условие 3.1. При любом dAD, xRn, u, где -- _окрестность U0(d), -- положительная константа, функции fi(d, x, u), , определены, непрерывно дифференцируемы по x, u и для их производных справедливо обобщенное условие Липшица вида |g(y)_g(y)|K||y_y||, где y=(x, u), а K>0, (0, 1] -- константы, не зависящие от функции.

Справедливы также следующие условия, которым должна подчиняться модель, чтобы в ней имели место свойства реальных производственных процессов -- конечность количества переключений и ограниченность множества траекторий.

Условие 3.2. Существует T1max>T1 и функция , такая, что при любых dAD, xRn, uU0(d) справедливо и решение задачи Коши для уравнения

с начальными данными t=0, y(0)=y0[0, ], существует и единственно на интервале [0, T1max].

Условие 3.3. Существуют такие положительные константы KX1, KX2, что при любых S{1,…, L}, dAD, xRn , для которых

при любом sS.справедливо

KX2xs0(Dis(d(k))-Xi(s) s(d(k), x1(k)),|Xis(d(k), x1(k))|KX1, iIXs.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия 3.1-3.3 и соотношения (24) и для начального состояния справедливо ||x0(1)||KX0. Тогда существуют константы KX и Nmax, такие, что для любого такого процесса количество этапов не превышает Nmax и при любом k=1,…, N справедливо ||x(t, k)||KX при t[T(k), T(k+1)].

Невязки в ограничениях (21), (33), (26)-(27) можно обозначить Fj(v, S), а множества ограничений -- неравенств и равенств -- I1(v, S), I2(S). При 0 для vV1(S) вводятся множества -активных ограничений I1(v, S)={jI1(S) | Fj(v, S)}, I(v, S)= I1(v, S)I2(S).

Условие 3.5 (условие регулярности). Для любого возможного сценария S для любого vV1(S) градиенты Fj(v, S), jI0(v, S), линейно независимы. При любых dAD, uU0(d) векторы линейно независимы, где .

Возможность изменения порядка переключений утверждается теоремой 3.3.

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия 3.1-3.3, 3.5. Пусть S=(S(1),…, S(N)) -- сценарий, для которого при некотором k dim(S(k))>1. Пусть S(k) разбивается на непересекающиеся множества S1(k),…, Sm(k), при k=k+1,…, k+m-1 векторы dA(k), uA(k) удовлетворяют соотношениям (34). Определим сценарий SA=(S(1),…, S(k-1), S1(k),…, Sm(k), S(k+1), …, S(N)). Существуют положительные константы 0 и a, так что:

если vV1(S), то для любого , 0<0 и для произвольно определенных при k=k+1,…, k+m_1 векторов vA(k)=(uA(k), tA(k)), где uA(k)U0(dA(k)), а tA(k) удовлетворяет неравенству 0<tA(k), существует vAV1(SA), для которого

||vA(k)_v(k)||a, k=1, …, k, ||vA(k)_v(k+1-m)||a, k=k_1+m, …, N_1+m; (35)

если vAV1(SA), для которого при некотором , 0<0 при k=k+1,…, k+m_1 справедливо 0<tA(k), существует vV1(S), для которого справедливы соотношения (35).

Получены условия оптимальности событийно-переключаемого процесса.

Теорема 3.8. Если выполнены условия 3.1-3.3, 3.5 и управление vV1(S) оптимально при фиксированном сценарии S, то для любой совокупности вариаций управления u(k), удовлетворяющих соотношениям

, jJ1(d(k))I10(v, S),, jJ2(d(k)),

и вариаций продолжительностей этапов t(k), неотрицательных для этапов нулевой продолжительности, порождающих решение уравнения в вариациях для фазового вектора

x1(k)=Yx(d(k), x0(k), u(k), t(k))x0(k)+Yv(d(k), x0(k), v(k))v(k),

x0(k+1)=Xx(S(k), d(k),  x1(k))x1(k),

для которых выполнены условия для вариаций невязок фазовых ограничений

, sS(k), , sS(k),

, jK1(s)I10(v, S), sS(k),k=1,…, N; T(N+1)=0,

справедливо неравенство

(F0x(x1(N)), x1(N))0.(36)

При совпадении хотя бы двух событий такое условие является недостаточно сильным, т.к. оно исключает сопоставление с управлениями, соответствующими другим сценариям. Пусть dim(S(k))>1 и S1S(k), S1. Тогда после k_ого этапа, завершающегося набором событий S1, согласно теореме 3.3 может следовать "вставной" этап, завершающийся набором событий S(k)\S1.

Для этого случая формулируется второе необходимое условие оптимальности.

Теорема 3.9. Если выполнены условия 3.1-3.3, 3.5 и управление vV1(S) оптимально, то для каждого k, для которого dim(S(k))>1, для любого непустого S1S(k) существует вектор z0(k; u, S, S1), такой, что для любого uINS(k)U0(dINS(k)), где dINS(k)=D(S1, d(k)), )=X(S(k), d(k),  x1(k)), справедливо

(z0(k; v, S, S1), Yt(dINS(k), uINS(k), 0))0.(37)

Практически важным частным случаем модели (17)-(29) является модель распределения ресурсов-мощностей при выполнении комплекса взаимосвязанных работ. В этой модели сценарий определяется условиями предшествования работ:

di=0, если dj<2, jPi.(38)

Множества d, возможных по условию (38), определяются как D0={d{0,1,2}n | di>0, если dj=2, jPi, иначе di=0}, а множества x, соответствующих d, -- как X(d)={x(R+)n | xi=0, если di=0, xi=xTi, если di=2, иначе 0<xi<xTi}. Функция Беллмана W(x,d) определяется для состояний dD0, xX(d) в начале этапов и в конце процесса. Установлено, что функция Беллмана -- непрерывная кусочно-линейная функция x, выражаемая соотношениями: при l=1,…, nL(d)

W(x, d)=CX0l(d)x+C0l, если CXlr(d)x+Clr0, r=1,…, nl(d).

В диссертации описан принципиальный алгоритм вычисления W(x, d).

Управление, оптимальное для заданного сценария, является решением задачи динамического линейного программирования (ДЛП), получаемой из исходной заменой переменных ui(k) на xi(k)=ui(k)t(k), --

T(N)min; T(0)=0; T(k)=T(k_1)+t(k), k=1,…, N;

x(0)=0;xi(k)=xi(k_1)+xi(k), iI1(k), где Is(k)={i | di(k)=s};

umini t(k)xi(k)umaxi t(k),  iI1(k); xi(k)=0, iI1(k);

  j=1,…, m;t(k)0; xi(k)=xTiiI2(k+1)

Условия оптимальности теорем 3.8 и 3.9 являются для данного класса моделей достаточными.

Опыт решения линейных и нелинейных задач оптимизации дискретных процессов с фиксированным сценарием показывает плодотворность декомпозиционного подхода при реализации прямых методов оптимизации, обеспечивающего не только резкое уменьшение объема вычислений, но и повышение устойчивости и уменьшение вычислительной погрешности. В силу структуры ограничений моделей положений горных работ он может быть применен и к рассматриваемым в работе статическим задачам оптимального годового планирования для карьеров, являющимися задачей нелинейного программирования обобщенной динамической структуры

u=(u1,…, um), F0(u)min, Fi(u1,…, uk)0, iI1k,  Fi(u1,…, uk)=0, iI2k, k=1,…,N. (39)

Преобразование формы условий оптимальности теоремы 3.8, конструктивное вычисление векторов z0(k; v, S, S1) и решения систем уравнений (35), обеспечивающих смену сценария, также успешно выполняется с развитием этого подхода в форме концепции декомпозиции по множеству ограничений в задаче вида (39). Рассматриваемые декомпозиционные схемы основаны на разбиении набора _активных ограничений I?(u)={i?I1 | Fi(u)?_?}?I2 для допустимого управления u на подмножества J1, …, JL и представлении произвольного возможного направления в виде

w=H1y1+…+HLyL,

где матрицы H1,…,HL определены из условия: для любого вектора w

(Fiu(u), w)=(Fiu(u), Hlyl), iJl.

Определение 3.1. Пусть управление u является допустимым в задаче (39) , а набор ограничений JI0(u). Совокупность матриц H1,…,HL задает декомпозиционную схему на u, если:

1) множество J разбивается на L непересекающихся подмножеств J1,…, JL, так что

FiuT(u) Hl=0, iJl;

2) при l=1,…, L матрицы H1,…,HL имеют полный ранг, а количество Ml столбцов Hl не меньше числа элементов Jl;