О геометрии распределения косимплектического Би-метрического многообразия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

О геометрии распределения косимплектического Би-метрического многообразия

Почти контактные многообразия с Би-метрикой исследовались в работах [25-36]. В работе [25] предложена классификация таких многообразий в соответствии со свойствами специально определенного для этой цели тензора типа (0, 3). Многообразия, входящие во все 11 классов классификации называются косимплектическими Би-метрическими многообразиями. В настоящей работе на распределении D почти контактного Би-метрического многообразия M как на тотальном пространстве векторного расслоения  определяется почти контактная структура с Би-метрикой, называемая продолженной структурой. Находятся выражения для коэффициентов соответствующей связности Леви-Чивита, что позволяет выразить значения тензора F через значения геометрических инвариантов исходного многообразия M. Основным результатом работы является теорема, утверждающая, что продолженная структура определяет на многообразии D структуру косимплектического Би-метрического многообразия тогда и только тогда, когда распределение D многообразия M является распределением нулевой кривизны, а векторное поле  - киллинговым векторным полем.

Почти контактная структура с Би-метрикой

Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, , с заданной на нем почти контактной структурой , где  - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом,  и  - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой такие, что

. (1)

При этом , где . Почти контактная структура называется контактной, если . Многообразие, наделенное (почти) контактной структурой, будем называть (почти) контактным многообразием. Гладкое распределение  называется распределением почти контактной структуры. Эндоморфизм  в работе будет называться допустимой почти комплексной структурой.

Если почти контактная структура  согласована с псевдо-римановой метрикой g таким образом, что

, (2)

где ,  - модуль векторных полей на многообразии M, то структура  называется почти контактной структурой с Би-метрикой, а многообразие M - почти контактным многообразием с Би-метрикой. Из (1), (2) следует, что , , , .

Тензорное поле , где  - связность Леви-Чивита, введено и названо в работе [25] фундаментальным тензорным полем. В зависимости от строения поля F выделяются 11 классов почти контактных структур с Би-метрикой. Структуры, для которых выполняется условие , принадлежат каждому из одиннадцати классов и определяют класс косимплектических Би-метрических многообразий.

Карту  многообразия M будем называть адаптированной к распределению , если  [1-3]. Пусть  - проектор, определяемый разложением , и  - адаптированная карта. Векторные поля  линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: . Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов  и соответствующее ему поле кобазисов . Непосредственно проверяется, что . Адаптированным будем называть также базис , как базис, определяемый адаптированной картой. Имеет место равенство .

Пусть  и  - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

, .

Тензорное поле t типа (p, q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются  или . Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:

.

Продолженные почти контактные структуры с Би-метрикой

Пусть M - гладкое многообразие с заданной на нем почти контактной структурой  с Би-метрикой g. Распределение D является гладким многообразием размерности 4m+1 [14]. Пусть, далее, коэффициенты внутренней связности  [1-24].

Внутренней линейной связностью  на многообразии с почти контактной метрической структурой называется отображение

,

удовлетворяющее следующим условиям:

;

,

,

где  - модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Внутренняя связность определяет дифференцирования допустимых тензорных полей. Так, например, для допустимой почти комплексной структуры выполняется равенство

, .

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения . Из равенства , где , обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

.

Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле

, .

Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем:

, или, .

Векторные поля , (i, j, k=1,…, 4m+1) определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы  - соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,

,

,

где  - компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [13-24].

Тензор Схоутена является допустимым тензорным полем и определяется равенством

,

где Q=I-P. Тензор Схоутена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

.

Имеет место

Предложение 1

Пусть  - внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена . Тогда для всех  и  имеют место следующие равенства

, (3)

, (4)

, (5)

. (6)

Определим на многообразии D почти контактную структуру , полагая , . Определим, далее, на многообразии M метрику , подчиняющуюся равенствам:

, .

Имеют место следующие предложения.

Предложение 2

Структура  является почти контактной структурой с Би-метрикой.

Доказательство. В соответствии с определением тензоров J,  получаем:

;

,

где .

Предложение 3

Пусть  - связность Леви-Чивита, тогда выполняются равенства:

,

.

Доказательство предложения 3 основано на использовании равенств (3) - (6), а также выражения для коэффициентов связности :

,

где , , , .

Координатное представление коэффициентов  для разных значений индексов имеет следующий вид:

,

,

,

,

,

,

.

Теорема

Распределение D косимплектического Би-метрического многообразия M со структурой  является косимплектическим Би-метрическим многообразием тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. Распределение D многообразия M имеет нулевую кривизну;

2.  - киллингово векторное поле на многообразии M.

Доказательство. Второе условие означает обращение в нуль тензора Схоутена. Найдем условия, при которых выполняется равенство , где . Имеем:

;

,

где .

Что и доказывает теорему.

Список литературы

косимплектический кривизна би метрический

1. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С. 10-14.

2. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.

3. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с ц-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17 (214). Вып. 40. 2015. С. 20-24.

4. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.

5. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С. 15-18.

6. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С. 247-251.

7. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22

8. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования», Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.

9. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.

10. Букушева А.В. Связности с кручением и неголономная геометрия // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2016. Материалы научной конференции, 11-15 апреля 2016 г. - СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. С. 146-150.

11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград: Изд-во БФУ им. И. Канта, 2015. Вып. 46. С. 58-62.

12. Букушева А.В. Изометрические преобразования продолженных почти контактных метрических структур с метрикой полного лифта // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград: Изд-во БФУ им. И. Канта, 2016. Вып. 47. С. 39-47.

13. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.

14. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. №3 (337). С. 632-640.

15. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.

16. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.

17. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3 (59). С. 53-63.

18. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.

19. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.

20. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. Вып. 2. С. 138-147.

21. Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. №6 (255). Выпуск 46. C. 36-43.

22. Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. №2 (39). С. 6-17.

23. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.

24. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.

25. Ganchev G., Mihova V., Gribachev K. Almost contact manifolds with B-metric. Math. Balkanica (N.S.) 7 (3-4) (1993) 261-276.

26. Gribachev K., Mekerov D., Djelepov G., On the geometry of almost B-manifolds. C.R. Acad. Bulgare Sci. 38 (1985) 563-566.

27. Manev H. Almost contact B-metric structures and the Bianchi classification of the three-dimensional Lie algebras, Annuaire Univ. Sofia Fac. Math. Inform. 102 (2015) 133-144.

28. Manev H. Matrix Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds, Facta Univ. Ser. Math. Inform. 30 (3) (2015) 341-351.

29. Manev H., Mekerov D. Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds. J. Geom. 106 (2015) 229-242.

30. Manev M. Contactly conformal transformations of general type of almost contact manifolds with B-metric. Applications. Math. Balkanica (N.S.) 11 (3-4) (1997) 347-357.

31. Manev M. Curvature properties on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C.R. Acad. Bulgare Sci. 65 (5) (2012) 283-290.

32. Manev M. Pair of associated Schouten-van Kampen connections adapted to an almost contact B-metric structure. Filomat 29 (10) (2015) 2437-2446.

33. Manev M., Ivanova M. A natural connection on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C.R. Acad. Bulg. Sci. 65 (4) (2012) 429-436.

34. Manev M., Ivanova M. Canonical-type connection on almost contact manifolds with B-metric. Ann. Global Anal. Geom. 43 (4) (2013) 397-408.

35. Manev M., Ivanova M. A classification of the torsion tensors on almost contact manifolds with B-metric. Cent. Eur. J. Math. 12 (10) (2014) 1416-1432.

36. Manev M., Ivanova M. Natural connections with torsion expressed by the metric tensors on almost contact manifolds with Bmetric. Plovdiv Univ. Sci. Works - Math. 38 (3) (2011) 47-58.

Размещено на Allbest.ru