Застосування лінійних рівнянь з двома змінними і систем лінійних рівнянь при розв'язуванні задач з економіки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки Хмельницької облдержадміністрації

Хмельницьке територіальне відділення МАН України

Наукове товариство учнів Кам'янець-Подільського

Застосування лінійних рівнянь з двома змінними і систем лінійних рівнянь при розв'язуванні задач з економіки

Відділення: Математика

Секція: прикладна математика

Роботу виконав:

Ліщук Д.В.

Педагогічний керівник:

Проценко Наталія Анатоліївна

Кам'янець-Подільський - 2017



ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1.1 Математичне моделюванняу задачах економічного змісту

1.2 Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

1.3 Системи лінійних рівнянь з двома змінними

1.4 РОЗДІЛ 2. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ, ЩО ОПИСУЮТЬ ЕКОНОМІЧНІ МОДЕЛІ

2.1 Рівняння функції попиту і пропозиції

2.2 Рівняння рівноваги

2.3 Рівняння бюджетної лінії. Другий закон Госсена

РОЗДІЛ 3. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

3.1 Розв'язування задач на знаходження ринкової рівноваги

3.2 Задачі на раціональне використання часу і наявних ресурсів

3.3 Задачі на визначення наборів товару раціональним споживачем

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ДОДАТКИ



ВСТУП

Відома праця великого англійського економіста і філософа Адама Сміта (1723-1790) «Дослідження про природу і багатство народів», яка була видана у 1776 році, була добре відома як тогочасному суспільству, так і в більш пізні періоди. Але зовсім не багато сучасних випускників можуть пояснити, як держава багатіє і чому погано віддавати землі в заставу. Фактично випускник сьогоднішньої загальноосвітньої школи має досить мізерні уяви про економіку як сукупність методів, які визначають умови виживання людства і його прогресу.

Економічні знання і економічне мислення формуються не тільки при вивчені всього курсу економіки, а і при вивчені всього комплексу предметів, що вивчаються у школі. Це, по-перше, математика і інформатика, історія і географія та інше. В загальні задачі насичення шкільних дисциплін економічним змістом математиці відводиться особлива роль. Це пояснюється тим, що більшість економічних проблем піддаються аналізу за допомогою математичного апарату який вивчається в курсі алгебри VII-XIкласів. Взаємодія математики і економіки приносить подвійну користь: математика одержує широке поле для різноманітних застосувань, а економіка - сильний інструмент для одержання нових знань.

Математичні методи розв'язуванні економічних задач розглядають сучасні математики Наконечний С.І., Терещенко Т. О., Романюк Т. П., Савіна С. С.

Барковський В. В., Барковська Н.В. розглядають застосування систем рівнянь і нерівностей при розв'язуванні економічних задач.

Задачі з економіки легко розв'язати, застосовуючи математичні методи, оскільки основні економічні категорії можна задати як функціонально, так і формально чи таблично. Кожну економічну задачу можна перевести на мову математики, знаючи економічні і математичні закони.

При розв'язуванні економічних задач широко використовується складання лінійного рівняння і систем лінійних рівнянь.

Об'єктом дослідження є задачі економічного змісту, застосування математичних методів їх розв'язання, зокрема складання рівнянь і систем рівнянь з двома змінними.

Завданням наукової роботи є :

- систематизувати теоретичні відомості про лінійні рівняння, системи лінійних рівнянь з двома змінними;

- визначитилінійні рівняння, що описують економічні моделі;

- навчитися розв'язувати економічні задачі за допомогою лінійних рівнянь і систем лінійних рівнянь з двома змінними.

Практичне значення моєї роботи полягає в тому, що її можна використати на уроках математики і економіки.

Актуальність даного дослідження вбачаю в тому , що робота значно розширює економічні знання, допомагає формувати економічне мислення, підготовлює і адаптує учнів до умовах розвитку ринкової економіки.



РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1.1 Математичне моделювання у задачах економічного змісту

Сьогодні у різних галузях науки виникають різноманітні задачі. Звісно ж, вони далекі від постановок задач у математиці. Отож, треба перекласти ці задачі на мову математиків. Результат такого перекладу називають математичною моделлю, а саму задачу - прикладною задачею

Математичні моделі задач є важливим засобом розвитку прикладної спрямованості навчання математики.

Науку, яка займається побудовою і вивченням моделей, називають математичним моделюванням.

Розв'язання прикладної задачі зводиться до 3-х етапів:

· побудова математичної моделі;

· розв'язання математичної задачі ;

· результат, отриманий на 2-му етапі, аналізується, виходячи зі змісту прикладної задачі.

Без знання галузі, до якої належить задача, навряд чи можна розв'язати перший етап. Розглядаючи задачі економічного змісту, доцільно ознайомитися з основними формулами, одиницями вимірювання, законами економіки. Другий етап залежить повністю від знань математики, адже там треба вміти розв'язувати рівняння, нерівності та їх системи, тощо. На третьому етапі отриманий результат перекладається на мову прикладної задачі.

Реальна економіка досить складна, вона унеможливлює одночасне сприйняття всіх взаємозв'язків. Для розв'язування економічної задачі необхідно встановити взаємозв'язки між такими величинами, як ціна, кількість і витрати, або такими поняттями, як кількість попиту і кількість пропозиції. Серед встановлених зв'язків слід виявити головні, суттєві зв'язки. Результатом таких міркувань і дій є економічна модель.

За Наконечним С. І. економічна модель - це абстрактна, спрощена картина, яка описує зв'язки між релевантними (істотними, суттєвими) в економіці величинами, що спостерігаються.

Економічна модель може бути описана за допомогою математичних символів і рівнянь.

В математичній економіці виходять з того, що поняття, взяті з економіки, є вже визначенимиі як величини обумовлені. Такі величини записуються, як константи або змінні. У додатку А подано основні позначення економічних величин, категорій і констант

Використання математичного моделювання в економіці дає змогу розширити область економічної інформації, опанувати методики з побудови економічних моделей, навчитися використовувати відповідний математичний апарат у вирішенні економічних задач.

1.2 Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Рівняння виду ах + bу = с, де а, b і с - деякі числа, називається лінійним рівнянням з двома змінними х і у.

Для побудови графіка лінійної функції рівняння задають таким чином: у = kx+b.

Графіком кожного лінійного рівняння з двома змінними є пряма.

· Якщо а, b і с не дорівнюють нулю, то пряма проходить під кутом до координатних осей і перетинає їх у двох точках.

· Якщо права частина лінійного рівняння з двома змінними дорівнює нулю, то пряма проходить через початок координат під кутом до координатних осей.

· Якщо коефіцієнт при змінній х = 0, а інші не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі х.

· Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі у.

· Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю абсцис.

· Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при х, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю ординат.

· Якщо всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то графіком будуть усі точки координатної прямої.

· Якщо всі коефіцієнти, окрім вільного члена, дорівнюють нулю, то не одержимо жодної точки.

У додатку Б подано графіки і основні властивості лінійної функції.

1.3 Системи лінійних рівнянь з двома змінними

Якщо треба знайти спільні розв'язки кількох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему рівнянь.

За Істером О. С. розв'язок системи рівнянь з двома невідомими -- пара значень невідомих, яка є розв'язком кожного з рівнянь системи.

Розв'язати систему рівнянь означає знайти всі її розв'язки або довести, що їх немає.

Існують три способи розв'язування систем лінійних рівнянь з двома невідомими.

Ш Графічний спосіб розв'язування систем лінійних рівнянь

Щоб розв'язати систему рівнянь графічно, треба побудувати в одній системі координат графіки рівнянь системи й знайти їхні спільні точки.

Виходячи з того, що графіком лінійного рівняння є пряма, робимо висновок, що система двох лінійних рівнянь з двома невідомими може мати один розв'язок, не мати розв'язків, мати безліч розв'язків.

Ш Спосіб підстановки

При розв'язуванні систем лінійних рівнянь способом підстановки треба:

1) виразити з якого-небудь рівняння системи одне невідоме через інше;
2) підставити одержаний вираз в інше рівняння системи замість цього невідомого;

3) розв'язати одержане рівняння з одним невідомим;
4) знайти відповідне значення іншого невідомого.

Ш Спосіб додавання

При розв'язуванні системи рівнянь способом додавання треба:

1) помножити обидві частини рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти при одному з невідомих стали протилежними (або рівними) числами;

2) почленно додати (або відняти) відповідно ліві й праві частини рівнянь;

3) розв'язати одержане рівняння з одним невідомим;

4) знайти відповідне значення іншого невідомого.

Використовуючи лінійні рівняння і їх системи можна розв'язувати різноманітні задачі економічного змісту, зокрема задачі, в яких змінними можуть бути ціна і кількість попиту чи пропозиції.



РОЗДІЛ 2. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ, ЩО ОПИСУЮТЬ ЕКОНОМІЧНІ МОДЕЛІ

2.1 Рівняння попиту і пропозиції

Основним чинником, що впливає на попит на товар чи його пропозицію є ціна. Отже, зв'язки між кількістю товару чи послуги та ціною на них описуються такими рівняннями:

(2.1)

(2.2)

де - додатні числа. Легко помітити, що зі збільшенням ціни кількість попиту зменшується, а кількість пропозиції зростає.

Прикладами рівнянь для однотоварного ринку можуть бути такі:

.

Якщо розглядати двотоварний ринок (продаються або купуються два товари одного призначення, тобто товари-субститути, взаємозамінники), то прикладами рівнянь для такого ринку будуть рівняння:

Очевидно, що кількість попиту залежить від ціни на обидва товари, а кількість пропозиції лише від ціни на товар власного виробництва.

2.2. Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги розглядає Бугір М. К., яка стверджує, що не дивлячись на те, що виробник бажає продати товар дорожче, а покупець придбати товар дешевше, вони все ж знаходять ту ціну, яка влаштовує обох. Ця ситуація показує, що кількість проданого товару дорівнює кількості купленого товару, тобто

(2.3)

Цим рівнянням описується рівновага на ринку. Також рівняннями рівноваги описують рівновагу на ринку праці. Тобто пропозиція на працю дорівнює попиту на працю

(2.4)

В ідеалі можна розглядати рівновагу національного доходу, яка полягає в тому, що загальний економічний попит дорівнює національному доходу A = Y, а заощадження дорівнюють інвестиціям: S = I.

Задачі на знаходження економічної рівноваги можна розв'язувати як за допомогою побудови графіків, так і за допомогою рівнянь рівноваги. Тобто геометричним або алгебраїчним способами.

Приклад 1. Знайти точку рівноваги, для функцій , .

Розв'язання:

.

,

Відповідь: (6; 10). Тобто за ціни 6 гр. од. буде продано або куплено 10 од. товару.



2.3. Рівняння бюджетної лінії. Другий закон Госсена

Бюджетне обмеження для споживача це сукупність наборів споживчих благ, які споживач може придбати при певних цінах і доходах.

І= Р₁Q₁ +P₂Q₂+…+P_nQ_n(2.5)

Рівняння (1) - рівняння бюджетного обмеження, де І - дохід споживача, Р - ціна товару, Q - кількість товару

Рис. 2.1

Джерело: складено автором за даними [ 4 ].

Графічно бюджетне обмеження має вигляд бюджетної лінії , що є кривою, всі точки якої показують можливі кількості комбінацій 2-х благ, що є доступними для споживача за його рівня доходу та цін на товари.

Зміна доходу споживача та ринкових цін товарів змінюють купівельні можливості споживача. Зміна доходу І змінює місце точок перетину бюджетної лінії з осями координат, але незмінним залишається нахил бюджетної лінії.
За Базилевич В., Базилевич К. зміни у цінах впливають на бюджетну лінію по-різному, в залежності від того, на який товар і в якій пропорції вони змінюються (додаток В).

За . Воробйовим Є.М. кардиналістський підхід до аналізу рівноваги споживача полягає у порівнянні співвідношень між граничними корисностями MU і цінами товарів Р. Споживач прагне досягти максимуму корисності за наявних бюджетних обмежень.

Порівнюючи граничні корисності кожної одиниці товару з розрахунку на грошову одиницю, споживач послідовно переключає свій вибір з одного товару на інший, доки в межах свого бюджету вже не зможе збільшити сумарної корисності.

Рівновагу споживача описує правило максимізації корисності (2-й закон Госсена):

(2.6)

де - граничні корисності останніх спожитих одиниць відповідних благ,- ринкові ціни відповідних благ.

Це співвідношення має назву принципу рівної корисності або еквімаржинального принципу.

Загальне правило оптимізації вибору споживачаможна сформулювати так: вибір є оптимальним, якщо в рамках бюджетного обмеження відношення граничних корисностей будь-якого виду благ дорівнює відношенню їхніх цін:

(2.7)

Прийнявши оптимальне рішення, споживач знаходиться у стані рівноваги.

Якщо умова рівноваги не виконується, наприклад, , споживач має стимул до зміни структури споживання. Він почне перерозподіляти бюджет на користь товару , при збільшенні споживання якого гранична корисність буде спадати, а гранична корисність товару , кількість якого зменшиться, буде зростати до відновлення рівноваги. При цьому сукупна корисність нового набору товарів в межах того ж самого бюджету зросте. Отже, рівновага у споживанні максимізує добробут споживача.

Очевидно, вибір товару споживачем залежить і від його бюджету, і від бажання збільшити корисність. Тому задачі економічного змісту дуже часто поєднують у собі ці дві категорії.



РОЗДІЛ 3. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

3.1 Розв'язування задач на знаходження ринкової рівноваги

лінійний рівняння рівновага споживач

Задача 1. Визначити ціну рівноваги та рівноважну кількість товару, якщо попит на нього представлено рівнянням Qd = 20 - 3P, а пропозицію рівнянням Qs = 15 + 2P;

Що відбудеться у випадку, якщо держава встановить ціну на цей товар:

а) 0,8 гр.од.; б) 2 гр.од.

Розв'язання:

Щоб знайти ціну рівноваги прирівняємо Qd і Qs.

20 - 3P = 15 + 2P;

20 - 15 - 3P - 2P = 0;

5P = 5;

P_Е = 1 гр.од.; Q_E = 17од.товару.

a) Тепер підставляючи значення ціни 0.8 гр.од. знайдемо Qd та Qs:

Qd = 20 - 3·0,8 = 20 - 2,4 = 17,6 од.

Qs = 15 + 2·0,8 = 16,6 од.

Qd - Qs = 1 од. товару.

Отже за ціни 0.8 гр.од. буде спостерігатись дефіцит товару в 1 одиницю.

б) Підставляючи значення ціни 2 гр.од. знайдемо Qd та Qs:

Qd = 20 - 3·2 = 14 од.;

Qs = 15 + 2·2 = 19 од.;

Qs - Qd = 5 од. товару.

Отже за ціни 2 гр.од. буде спостерігатись надлишок товару в 5 одиниць.

Задача 2. На мальовничому березі річки Хорол розташовані поруч дві турбази - «Вітерець» та «Лісова фея». Тижневий попит на проживання на двох турбазах описується рівняннями:

Q₁ = 150 - 0,2P₁ +0,1P₂

Q₂ = 250 - 0,15P₂ +0,05P₁,

де P₁ та P₂ - ціни проживання за тиждень на першій та другій турбазах.

Визначити рівноважні ціни, якщо на турбазі «Вітерець» розміщується 90 осіб, а на турбазі «Лісова фея» - 140. Що відбудеться з рівноважними цінами, якщо турбаза «Лісова фея» побудує додатковий котедж на 20 осіб? Чи вигідно це базі?

Розв'язання:

1. Прирівняємо попит та пропозицію для кожної з турбаз і розв'яжемо отриману систему рівнянь:

150 - 0,2P₁ +0,1P₂ =90

250 - 0,15P₂ +0,05P₁ =140

225 - 0,3P₁ +0,15P₂ =135

250 - 0,15P₂ +0,05P₁ =140

475 - 0,25 P₁ = 275

0,25 P₁ = 200

P₁ = 800 грн

P₂ = (90-150+0,2·800)/0,1= 1000 грн

2. Якщо «Лісова фея» побудує додатковий котедж на 20 осіб, то пропозиція цієї турбази становитиме вже 140+20=160 місць. Розв'яжемо нову систему рівнянь:

150 - 0,2P₁ +0,1P₂ =90

250 - 0,15P₂ +0,05P₁ =160

225 - 0,3P₁ +0,15P₂ =135

250 - 0,15P₂ +0,05P₁ =160

475 - 0,25 P₁ = 295

0,25 P₁ = 180

P₁ = 720 грн

P₂ = (90-150+0,2·720)/0,1= 840 грн

3. Щотижнева виручка «Лісової феї» при повному завантаженні у початковій ситуації становила 140·1000=140 тис.грн, а у новій ситуації, відповідно, 160·840=134,4 тис.грн. Таким чином, загальна виручка зменшується при зростанні витрат (оскільки новий котедж ще потрібно побудувати). Отже, турбазі «Лісова фея» невигідно будувати новий котедж.

Задача 3. Попит і пропозиція на ринку праці певного регіону описується функціями: D_L= 800 - 40w , S_L= 200 + 20w. (де D_L - обсяг попиту, тис. осіб;S_L - обсяг пропозиції, тис. осіб; w - ставка зарплати, гривень за одну відпрацьовану людино-годину). Внаслідок закриття декількох старих підприємств попит на працю зменшився на 25%.

1. Визначте рівноважну ставку зарплати та кількість найманихпрацівників до закриття старих підприємств.

2. Визначте, на скільки відсотків змінилася рівноважна ставка зарплати та скільки працівників було звільнено?

Розв'язання:

1) D_L= S_L ; 800 - 40w = 200 + 20w; w^*= 10 грн./год.; L^*=400 тис. осіб.

2) Внаслідок збільшення попиту на працю, функція попиту зміниться т.ч.:

D_L1= 0,75 D_L = 0,75(800 - 40w) = 600-30w.

Рівновага відбудеться за умови: D_L1= S_L; 600-30w = 200 + 20w;

w₁^*= 8грн./год.; L₁^*=360 тис. осіб.

Відсоткова зміна зарплати становитиме: (w₁^* - w^*)/ w^* х 100% =20%.

Буде звільнено: L₁^* - L^* = 520-400 = 40 тис. осіб.

Відповіді:1) w^*=10 грн. / год; L^* = 400 тис. осіб; 2) ?w = -20%; ?L = -40 тис. осіб.

3.2 Задачі на раціональне використання часу і наявних ресурсів

Задача 4. У цеху підприємства виготовляють дві моделі іночого одягу. На виготовлення першої моделі витрачають 2 м тканини, на виготовлення другої - 3 м. При цьому витрати робочого часу на виробництво цих моделей становлять відповідно 4 год. та 5 год. Відомо, що тижневий запас тканини 100 м, а робочий час обмежено 190 год. Скласти план тижневого виготовлення цих моделей одягу, при якому повністю використовуються ресурси (тканина і робочий час)

Розв'язання. Позначимо через х та у кількість одиниць тижневого випуску першої та другої моделей відповідно. За умовою задачі складемо систему лінійних рівнянь:

Домножимо перше рівняння на 2 і віднімимо від першого рівняння друге:

у=10

2х +30 =100

2х=70

х=35

Відповідь: щотижня потрібно виготовляти 35 одиниць першої і 10 одиниць другої моделі одягу.

3.3 Задачі на визначення наборів товару раціональним споживачем

Задача 5.Споживач витрачає 15 грн на тиждень на придбання картоплі та моркви. Гранична корисність картоплі для нього визначається рівнянням: MUx = 30-2x, де х - кількість картоплі (кг). Гранична корисність моркви становить MUy = 33-3y, де у - кількість моркви (кг). Ціни товарів - 1 грн і 2 грн відповідно. Яку кількість картоплі моркви придбає раціональний споживач?

Розв'язання: За другим законом Госсена: .

Складемо рівняння бюджетної лінії 1·х + 2·у =15. Отримаємо систему:

Відповідь: споживач придбав 9 кг картоплі і 3 кг моркви.

Таким чином, рівняння і системи рівнянь з двомазмінними досить часто застосовуються при розв'язуванні задач економічного змісту.



ВИСНОВКИ

Задачі економічного змісту відображають реальні економічні ситуації, а їх розв'язання сприяє ознайомленню з економічними поняттями і причинно-наслідковими зв'язками між ними, виробленню вмінь будувати та досліджувати математичні моделі економічних ситуацій, застосовувати економічні методи та закономірності в економіці сучасного виробництва, в конокретних економічних та виробничих процесах.

Отже, щоб розв'язати економічну задачу, потрібно оперувати економічним апаратом, знати основні закони і категорії економіки і вміти первести економічні дані на мову математики. На цьому етапі в дію вступає математики. Математичні методи широко використовуються при розв'язуванні задач з економіки. Зокрема, при розв'язуванні економічних задач з застосовуються рівняння і системи рівнянь з двома змінними.

У роботі ми розглянули лінійні рівняння, що описують економічні моделі. Систематизували знання по темах «Лінійне рівняння з двома змінними», «Системи лінійних рівнянь з двома змінними». Навчилися розв'язувати економічні задачі задопомогою складання математичної моделі економічної задачі.

Рівняння кривої виробничих можливостей, рівнянн бюджетної лінії, рівняння попиту чи пропозиції - це основні рівняння мікроекономіки, які розв'язуються математичним шляхом.

За допомогою рівнянь і систем рівнянь з двома змінними можна розв'язати безліч економічних задач. Це є задачі на встановлення ринкової рівноваги, знаходження оптимальних наборів товарів при заданому бюджеті, на раціональне використання часу і наявних ресурсів.

Отже, лінійні рівняння з двома змінними і системи рівнянь з двома змінними є широко використовуваними при розв'язуванні задач з економіки.



СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Базилевич В., Базилевич К., Баластрик Л.Макроекономіка: Підручник. - К.: Знання, 2007. - 703 с.

2. Базілінська О.Я. Макроекономіка : Навчальний посібник. - К. : Центр навчальної літератури, 2005

3. Барковський В. В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. навчальний посібник. - К.: Центр учбової літератури, 2016. - 448с.

4. Білецька Л.В., Білецький О.В., Савич В.І. Економічна теорія (Політекономія. Мікроекономіка. Макроекономіка): Навч. посібник. - К.: ЦУЛ, 2009. - 688 с.

5. Бугір М. К. Математика для економістів. Посібник. - К.: «Академія», 2003. - 520 с.

6. Валєєв К. Г., Джалладова І. А., Дегтяр С.В. Вища математика для економістів. навчальний посібник. - К.: Знання, 2011. - 287 с.

7. Вошкіна І.А., Ткач Ю.М., Лобода О.М. Збірник завдань ІІ та ІІІ етапів Всеукраїнської олімпіади з основ економіки Чернігівської області. - Чернігів: ЧОІППО, 2011. - 12 с.

8. Воробйов Є.М. Економічна теорія. Модульний курс. Основи мікроекономіки. Основи макроекономіки: Навч. посібник. - Х.: Торсінг плюс, 2009. - 320 с.

9. Горленко Г.О. Збірник задач з економіки: Навчальний посібник для учнів 10-11 класів суспільно-гуманітарного профілю. Кам'янець-Подільський: Абетка-НОВА, 2007. - 168 с

10. Істер О. С. Алгебра 7 клас. Підручник. - К.: Генеза, 2015. - 256 с.

11. Кошкалда І.В., Щербань В.П. 334 задачі з економіки з розв'язками. Посібник для учнів загальноосвітніх навчальних закладів. - Х.: Гімназія, 2008. - 352 с

12. Лисенко В.І., Пономаренко Ю.І. Економічні задачі у загальноосвітній школі: Математика. - 2003. - № 21.

13. МежейніковаЛ. С, Швець В. О. Математичні задачі з фінансовим змістом в основній школі. -Харків.: Видавнича група "Основа", 2005. -94с.

14. Наконечний С. І., Савіна С. С. Математичне програмування: Навч. посібн. - К.: КНЕУ, 2003. - 452 с.

15. Наконечний С.І., Терещенко Т. О., Романюк Т. П. Економетрія: Підручник. - К.:КНЕУ, 1997. - 352с.

16. Олійник О. В., Тимченко І. Є. Олімпіадні завдання з економіки: Збірник. - Х.: Веста: «Ранок», 2008. - 400с.



ДОДАТОК А

Змінні величини

· Р - ціна;

· - кількість попиту;

· - кількість пропозиції;

· - прибуток;

· - витрати;

· -дохід, виторг;

· -капітал;

· - робоча сила;

· -продуктивність праці;

· - кількість товару чипослуги;

· - трудомісткість;

· t - час.

Константи

· Числові константи: 3; -24; 124; 0,4; тощо;

· Коефіцієнти;

· Симвоічні константи a, b, c, d, в, г.



ДОДАТОК Б



ДОДАТОК В

Переміщення бюджетної лінії при зменшенні ціни товару А

Переміщення бюджетної лінії при зменшенні ціни товару Б

Переміщення бюджетної лінії при збільшенні бюджету споживача

Переміщення бюджетної лінії при зменшенні бюджету споживача

Размещено на Allbest.ru