Линейные нормированные пространства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Линейные нормированные пространства



Всюду ниже Х - векторное пространство над полем К (К=,).

Определение. Пусть. Выражение

называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Определение. Конечная система называется линейно независимой, если равенство

возможно лишь при . В противном случае она называется линейно зависимой.

Определение. Бесконечная система векторов из называется линейно независимой, если каждая ее конечная подсистема линейно независима.

Определение. Пусть - векторные пространства над полем К. Отображение называется изоморфизмом векторных пространств, если оно

1) биективно;

2) линейно, т.е. удовлетворяет тождеству

Определение. Пусть . Отрезком в Х с концами х и у называется множество



.

Определение. Подмножество называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками х и у оно содержит и весь отрезок [x,y].

Теорема-определение. Пусть - подпространство пространства . Семейство , состоящее из множеств вида

,

является векторным пространством относительно операций

Оно называется факторпространством пространства Х по подпространству М.

Определение. Отображение называется нормой, если она обладает следующими свойствами:

1) ;

2)

3)

Часто вместо пишут .

Определение. Если в предыдущем определении заменить аксиому 1) более слабой:

то получим определение полунормы.

Определение. Векторное пространство Х, наделенное норомой, называется нормированным.

Каждое нормированное пространство становится метрическим при наделении его естественной метрикой

.

Таким образом, к нормированным пространствам применимы все понятия и результаты теории метрических пространств.

Определение. Две нормы p и q в векторном пространстве Х называются эквивалентными, если существуют такие положительные числа a и b, что при всех из Х выполняются неравенства

Примеры решения типовых задач

1. Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?

Пример 1. .

Решение. Воспользуемся определением выпуклости. Возьмем , и покажем, что . Действительно, так как

и , то

.

Значит, множество А является выпуклым.

2. Проверить, является ли заданная система векторов в пространстве Х линейно независимой.

Пример 1. .

Решение. Покажем сначала, что для любого натурального n система

(1)

является линейно независимой. Пусть

(2)

Подставив в это равенство , получим , а потому

.

Сокращая на и снова полагая , получим . Продолжая этот процесс, окончательно будем иметь

.

(Возможно другое решение: алгебраическое уравнение (2) не может иметь более n корней, если не все его коэффициенты равны нулю).

Наконец, так как любая конечная подсистема нашей системы содержится в системе вида (1) при достаточно большом n, то данная бесконечная система тоже линейно независима.

Пример 2.

.

Решение. Заметим, что

, .

Тогда

,

а значит, данные функции линейно зависимы.

3. Привести пример последовательности , сходящейся в Х, но не сходящейся в Y, если пространства Х и Y наделены естественными нормами.

Пример 1. .

Решение. Рассмотрим последовательность , принадлежащую пространству . В пространстве она сходится к вектору , так как

при .

Допустим, что . Поскольку

,

то сходится к а и в пространстве . В силу единственности предела отсюда следует, что . Но этот вектор не принадлежит (почему?). Полученное противоречие показывает, что в данная последовательность не сходится.

Пример 2.

Решение. Рассмотрим в пространстве последовательность

Тогда в имеем

при ,

то есть в .

Допустим, что сходится в к некоторому вектору а. В силу неравенства Коши-Буняковского

.

Отсюда следует, что если в , то и в . В силу единственности предела . С другой стороны, легко проверить, что . Получили противоречие. Следовательно, в данная последовательность не сходится.

Пример 3.

Решение. Рассмотрим последовательность .

В имеем , но не стремится к нулю при . Значит, в пространстве последовательность не сходится к нулю. Воспользовавшись очевидным неравенством

и рассуждая, как в предыдущих примерах, получим, что не сходится в .

4. Выяснить, являются ли нормы p и q эквивалентными в данном пространстве X.

Пример 1.

Решение. Очевидно, что . Допустим теперь, что

,

то есть

.

При последнее неравенство примет вид

.

Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквивалентны.

Пример 2.

Решение. Заметим, что

.

Допустим теперь, что , то есть

.

Возьмем здесь . Тогда последнее неравенство примет вид , то есть . Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквивалентны.

Пример 3. .

Решение. Так как при всех справедливо неравенство

,

то , то есть .

С другой стороны, так как

,



то , т.е. .

Итак, мы доказали, что p и q - эквивалентные нормы.

Пример 4. .

Решение. В силу неравенства Коши-Буняковского

.

Допустим, что . Положим в последнем неравенстве

Так как , то это неравенство примет вид

,

что невозможно ни при каком a. Значит, нормы p и q не эквивалентны.

5. Построить изоморфизм между факторпространством L/M и одним из стандартных линейных пространств.

Пример 1.

Решение. Возьмем произвольный элемент с. Его класс эквивалентности есть

.

Это равенство показывает, что отображение задаваемое формулой , определено корректно и является инъективным (почему?). Кроме того, оно линейно и сюръективно (проверьте это). Значит, - изоморфизм линейных пространств и .

Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах

Ниже X, Y - векторные пространства над полем К (К).

Определение. Отображение называется линейным оператором, если оно обладает следующим свойством:

.

Определение. Пусть X, Y - нормированные пространства над полем К. Линейный оператор называется ограниченным (пишем

), если существует такое число С, что при всех х из Х выполняется неравенство ограниченности:

.

При этом число С называется константой ограниченности оператора А.

Определение. Пусть X, Y - нормированные пространства над полем К, - ограниченный линейный оператор. Наименьшая из его констант ограниченности называется нормой оператора А и обозначается .

Теорема. Пусть X, Y -нормированные пространства над полем К, - ограниченный линейный оператор. Справедливы следующие равенства:

.

Теорема. Пусть X, Y - нормированные пространства над полем К, линейным оператор. Следующие утверждения равносильны:

1) оператор А непрерывен;

2) оператор А непрерывен в точке 0;

3) оператор А ограничен.

Определение. Пусть X, Y - нормированные пространства над полем К. Говорят, что последовательность сходится по норме (сильно) к оператору , если (соответственно при всех х из Х).

Сходимость по норме влечет сильную, но обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры решения типовых задач

1. Пусть X, Y - векторные пространства. Выяснить, совпадет ли область определения оператора А с пространством Х. Является ли оператор А линейным оператором из в Y ?

Пример 1. .

Решение. Если, то =. Поэтому в силу неравенства Коши-Буняковского

. (1)



Отсюда следует, что . Таким образом, .

Оператор А не является линейным (рассмотрите, например, ).

Хотя это и не требуется по условию задачи, исследуем оператор А на непрерывность. Для любой точки оценим расстояние

(мы воспользовались числовым неравенством , а затем неравенством (1)). Поэтому получаем при что из неравенства следует неравенство . Значит, оператор A непрерывен на .

Пример 2. .

Решение. В этом примере , так как, например, , но (в обоих случаях сходимость ряда исследуется с помощью интегрального признака; докажите это).

Очевидно, A является линейным оператором (проверьте).

Хотя это и не требуется по условию задачи, исследуем оператор А на непрерывность, что равносильно исследованию его ограниченности. Докажем, что A не является ограниченным. Допустим противное, т.е. что . Полагая в последнем неравенстве , получаем

, т.е. .

Поскольку частичные суммы гармонического ряда не являются ограниченными, мы пришли к противоречию. Значит, оператор A не является непрерывным.

Пример 3. .

Решение. Пусть (тогда ). Оценка

,

оператор линейный пространство функция

показывает, что . Значит, .

Легко проверить, что А линеен (проверьте). Докажем, что А ограничен. Используя предыдущее неравенство, получаем

.

Наконец, как известно, из ограниченности оператора А следует его непрерывность.

Пример 4. .

Решение. Здесь , так как, например, последовательность принадлежит Х, но . Далее, оператор A не является линейным (как в примере 1). Докажем, что он не является непрерывным. Действительно, возьмём следующую последовательность точек из :



Тогда в , так как

при .

В то же время,

.

Таким образом, из того, что , не следует, что . Мы показали, что А не является непрерывным в нуле, значит, A не является непрерывным на .

Пример 5. .

Решение. Очевидно, что и что A нелинеен. Покажем, что A не является непрерывным в нуле. Возьмём последовательность из . Она сходится к 0, так как при . В то же время,

при .

То есть из того, что , не следует, что . Таким образом, оператор A не является непрерывным на .

2. Доказать, что оператор является линейным ограниченным, и найти его норму.

а) Оператор умножения на функцию, действующий из X в Y.

Пример 1. .

Решение. Ясно, что A ? линейный оператор (проверьте).

Так как

, (2)

то A ограничен с константой ограниченности . А так как норма оператора есть наименьшая из констант ограниченности, то .

Докажем теперь противоположное неравенство, т. е. что . Для этого постараемся подобрать такой ненулевой вектор , для которого неравенство (2) превращается в равенство. Возьмём . Тогда, как легко подсчитать,

.

А так как , то .

Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что .

б) Оператор, действующий из в .

Пример 1. .

Решение. Ясно, что A ? линейный оператор. Так как

,

то оператор A ограничен, причем . Возьмём. Тогда . Значит, (почему?).

Из полученных неравенств следует, что .

Пример 2.

,.

Решение. Оператор A линеен. Докажем неравенство ограниченности:

. (3)

Значит, оператор А ограничен, причем .

В отличие от предыдущих примеров, здесь не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (3) превращается в равенство (подумайте, почему). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (3) сколь угодно мало отличались друг от друга. Возьмём (единица стоит на 2k-м месте). Тогда имеем , откуда (см. решение примера 1). Ввиду произвольности k отсюда следует, что . Окончательно получаем .

в) Оператор взвешенного сдвига.

Пример 1. .

Решение. Oчевидно, что оператор A линеен. Докажем его ограниченность:

, (4)

поскольку, как легко проверить, . Следовательно, . Так как при неравенство (4) превращается в равенство, то (см. решения предыдущих примеров). Итак, .

Пример 2. .

Решение. Oчевидно, что оператор A линеен. Докажем его ограни-ченность. Имеем

(мы воспользовались тем, что ). Значит, .

Как и в примере 2 пункта б), не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (5) превращается в равенство (подумайте, почему). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (5) сколь угодно мало отличались друг от друга. Возьмём последовательность , состоящую из функций, сосредоточенных в окрестности точки и таких, что . Тогда

.

Значит, . Перейдем в последнем неравенстве к пределу при . Воспользовавшись тем, что при , получим, что

.

Из полученных неравенств следует, что .

г) Интегральный оператор, действующий из X в Y.

Пример 1. .

Решение. Из свойства линейности интеграла следует, что А - линейный оператор. Далее,

. (6)

Значит, оператор А ограничен, причем . Заметим, что неравенство (6) превращается в равенство при , но эта функция не принадлежит . Возьмем следующую последовательность функций из , которые «похожи» на при больших n (сделайте чертеж):

Легко видеть, что в .

Вычислим в . Так как функция четная, то

.

Следовательно, , а потому .

Окончательно получаем, что.

3. Для данных нормированных пространств X, Y, последовательности операторов и оператора установить: 1) сходится ли поточечно (сильно) к оператору А; 2) сходится ли по норме к оператору А.

Пример 1. .

Решение. 1) Заметим, что при всех

при

(остаток сходящегося ряда стремится к 0). Значит, последовательность сходится поточечно (то есть сильно) к оператору А.

2) Возьмем вектор из l₁. Так как , то



Следовательно, не сходится по норме к оператору А.

Интегральные уравнения

В пространстве рассмотрим уравнение

, (Ф)

где , (уравнение Фредгольма 2 рода).

Наряду с уравнением (Ф) рассмотрим соответствующие ему однородное и сопряженное однородное уравнения:

; (Ф₀)

(Ф^*₀)

Следующие результаты, связывающие между собой решения этих уравнений, носят название теорем Фредгольма.

Теорема 1. Однородные уравнения (Ф₀) и (Ф^*₀) имеют одно и то же, причем конечное, число линейно независимых решений.

Теорема 2. Уравнение (Ф) разрешимо для любого f тогда и только тогда, когда уравнение (Ф₀) имеет только нулевое решение.

Теорема 3. Уравнение (Ф) разрешимо для тех и только тех f, для которых равенство

выполняется для любого решения уравнения (Ф^*₀).

Теорема 4. Если функции k и f непрерывны, то теоремы Фредгольма справедливы и в пространстве C[a,b].

Будем далее рассматривать интегральное уравнение

(1)

Примеры решения типовых задач

1. Решить уравнение (1) при .

Пример 1. .

Решение. Нам нужно решить уравнение

,

то есть

. (2)

Введем обозначения:



(3)

Тогда из (2) заключаем, что решение данного уравнения имеет вид

(4)

с неопределенными коэффициентами a и b. Для нахождения a и b подставим выражение (4) в систему (3):

или после вычисления интегралов в правых частях:

Отсюда . Подставляя эти значения в (4), окончательно получаем .

2. Не решая уравнения (1), определите, при каких оно имеет решение в пространстве (здесь мы полагаем ).

Пример 1. .

Решение. Рассматривается уравнение

. (5)

В соответствии с теоремой Фредгольма, данное уравнение разрешимо для тех и только тех , которые ортогональны любому решению сопряженного однородного уравнения.

Составим сопряженное однородное уравнение:

или

.

Введем обозначения

(6)

Тогда решение сопряженного однородного уравнения принимает вид

. (7)

Подставив (7) в (6), получим систему уравнений

или после вычисления интегралов,

Отсюда , а ? произвольная постоянная. Следовательно, решение сопряженного однородного уравнения есть

,

где С ? произвольная постоянная. Значит, данное уравнение разрешимо для тех и только тех , для которых

.

3. При каких значениях параметра уравнение (1) разрешимо в пространстве при любой функции из ?

Пример 1. .

Решение. Рассмотрим уравнение

.

В соответствии с теоремой Фредгольма данное уравнение разрешимо при любой функции тогда и только тогда, когда соответствующее однородное уравнение имеет только нулевое решение.

Решим соответствующее однородное уравнение

,

или

Введем обозначения

(8)

Тогда



. (9)

Подставив (9) в (8), получим

После вычисления интегралов получаем систему

или

Последняя система (а вместе с ней и соответствующее однородное уравнение) имеет только нулевое решение, если и только если и . Значит, данное уравнение разрешимо в пространстве при любой функции тогда и только тогда, когда .

Список метрических/нормированных пространств, встречающихся в книге

Обозначение	Название
	Пространство непрерывных функций на компакте К
	Пространство ограниченых непрерывных функций на
	Пространство n раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке
	Пространство ограниченных функций на множестве М
	Пространство (классов) измеримых функций, интегрируемых в р-й степени на множестве Х по мере
	Пространство (классов) измеримых функций, интегрируемых в р-й степени на отрезке по мере Лебега
	Пространство (классов) измеримых функций, интегрируемых в р-й степени на отрезке по мере Лебега
	Пространство (классов) существенно ограниченных измеримых по мере функций на множестве Х
	Пространство (классов) существенно ограниченных измеримых по мере Лебега функций на
	Пространство суммируемых в р-й степени числовых последовательностей
	Пространство суммируемых в р-й степени двухсторонних числовых последовательностей
	Пространситво ограниченных последовательностей
c	Пространситво сходящихся последовательностей
c0	Пространство сходящихся к нулю последовательностей

Примечание. Каждое из перечисленных выше пространств, кроме при , становится банаховым при наделении его нормой

Размещено на Allbest.ru