Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем
Ознакомление с процессом приближенного решения с помощью степенных рядов. Рассмотрение численного решения методом Эйлера и Рунге-Кутты. Исследование порядка вычисления абсолютной и относительной погрешности. Изучение совместного графического решения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.01.2018 |
| Размер файла | 4,8 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Высшая и прикладная математика»
Типовой расчет
Тема: «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем»
Дисциплина «Вычислительная математика»
Вариант №24
Выполнил: студент группы УТС-214,
Кулясова Л.М.
Проверил: преподаватель Медведева Н.В.
Екатеринбург 2016
Содержание
1. Решение дифференциального уравнения
1.1 Постановка задачи
1.2 Классический метод решения
1.3 Операторное решение
1.4 Приближенное решение с помощью степенных рядов
1.5 Численное решение методом Эйлера
1.6 Численное решение методом Рунге-Кутты
1.7 Совместное графическое решение
1.8 Вычисление абсолютной и относительной погрешности
2. Точное решение системы дифференциальных уравнений
2.1 Постановка задачи
2.2 Классический метод решения
2.3 Операторное решение
2.4 Приближенное решение с помощью степенных рядов
2.5 Численное решение методом Эйлера
2.6 Численное решение методом Рунге-Кутты
2.7 Совместное графическое решение
2.8 Вычисление абсолютной и локальной относительной погрешностей
Заключение
Список литературы
1. Решение дифференциального уравнения
1.1 Постановка задачи
Получить точное решение дифференциального уравнения с начальными условиями:
,
аналитическим методом, операторным методом, приближенным решением с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0, 1], численными методами Эйлера и Рунге-Кутты. Представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать абсолютную и относительную погрешность указанных методов решения.
1.2 Классический метод решения
1.3 Операторное решение
,
Решение:
Ответ:
1.4 Приближенное решение с помощью степенных рядов
1.5 Численное решение методом Эйлера
Решение: численный эйлер погрешность
1.6 Численное решение методом Рунге-Кутты
1.7 Совместное графическое решение
1.8 Вычисление абсолютной и локальной относительной погрешностей
x(t)
|
t |
Операторный метод |
Вычисление с помощью степенных рядов |
Численное решение методом Эйлера |
Численное решение методом Рунге-Кутты |
|
|
Решение: |
|||||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0.1 |
1.401 |
1.401 |
1.4 |
1.401 |
|
|
0.2 |
1.809 |
1.809 |
1.8 |
1.809 |
|
|
0.3 |
2.232 |
2.232 |
2.207 |
2.232 |
|
|
0.4 |
2.681 |
2.681 |
2.63 |
2.681 |
|
|
0.5 |
3.168 |
3.167 |
3.08 |
3.168 |
|
|
0.6 |
3.708 |
3.705 |
3.569 |
3.708 |
|
|
0.7 |
4.32 |
4.311 |
4.115 |
4.32 |
|
|
0.8 |
5.027 |
5.006 |
4.737 |
5.027 |
|
|
0.9 |
5.855 |
5.81 |
5.458 |
5.855 |
|
|
1 |
6.838 |
6.75 |
6.307 |
6.838 |
|
|
Относительная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0.1 |
- |
4.567e-11 |
1.006e-6 |
0 |
|
|
0.2 |
- |
1.197e-8 |
0.04 |
0 |
|
|
0.3 |
- |
3.14e-7 |
0.08 |
0 |
|
|
0.4 |
- |
3.213e-6 |
0.119 |
0 |
|
|
0.5 |
- |
1.963e-5 |
0.159 |
0 |
|
|
0.6 |
- |
8.652e-5 |
0.199 |
0 |
|
|
0.7 |
- |
3.046e-4 |
0.238 |
0 |
|
|
0.8 |
- |
9.097e-4 |
0.278 |
0 |
|
|
0.9 |
- |
2.396e-3 |
0.318 |
0 |
|
|
1 |
- |
5.719e-3 |
0.358 |
0 |
|
|
Абсолютная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0.1 |
- |
3.26e-9 |
9.672e-5 |
0 |
|
|
0.2 |
- |
6.615e-7 |
3.847 |
0 |
|
|
0.3 |
- |
1.407e-5 |
7.653 |
0 |
|
|
0.4 |
- |
1.198e-4 |
11.457 |
0 |
|
|
0.5 |
- |
6.195e-4 |
15.259 |
0 |
|
|
0.6 |
- |
2.333e-3 |
19.061 |
0 |
|
|
0.7 |
- |
7.05e-3 |
22.861 |
0 |
|
|
0.8 |
- |
0.018 |
26.661 |
0 |
|
|
0.9 |
- |
0.041 |
30.462 |
0 |
|
|
1 |
- |
0.084 |
34.263 |
0 |
|
|
Относительная погрешность в процентах (%) |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0.1 |
- |
4.567e-9 |
1.006e-4 |
0 |
|
|
0.2 |
- |
1.197e-6 |
4.001 |
0 |
|
|
0.3 |
- |
3.14e-5 |
7.962 |
0 |
|
|
0.4 |
- |
3.213e-4 |
11.925 |
0 |
|
|
0.5 |
- |
1.963e-3 |
15.889 |
0 |
|
|
0.6 |
- |
8.652e-3 |
19.855 |
0 |
|
|
0.7 |
- |
0.03 |
23.824 |
0 |
|
|
0.8 |
- |
0.091 |
31.773 |
0 |
|
|
0.9 |
- |
0.24 |
35.754 |
0 |
|
|
1 |
- |
0.572 |
39.741 |
0 |
2. Точное решение системы дифференциальных уравнений
2.1 Постановка задачи
Получить точное решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями:
x(0)=1, y(0)= -2
классическим методом решения, операторным методом, приближенным решением с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале от [0, 1], численным решением методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное решение системы ДУ всеми способами. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов решение с использованием точного решения.
2.2 Классический метод решения
2.3 Операторное решение
x(0)=1, y(0)= -2
2.4 Приближенное решение с помощью степенных рядов
Свелик ДУ :
Найдем xr(t):
2.5 Численное решение методом Эйлера
2.6 Численное решение методом Рунге-Кутты
2.7 Совместное графическое решение
x(t)
y(t)
2.8 Вычисление абсолютной и локальной относительной погрешностей
x(t)
|
t |
Операторный метод |
Вычисление с помощью степенных рядов |
Численное решение методом Эйлера |
Численное решение методом Рунге-Кутты |
|
|
Решение: |
|||||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0.1 |
0.133 |
0.2 |
0.2 |
0.133 |
|
|
0.2 |
-0.921 |
-0.613 |
-0.71 |
-0.921 |
|
|
0.3 |
-2.259 |
-1.497 |
-1.797 |
-2.259 |
|
|
0.4 |
-4.012 |
-2.605 |
-3.142 |
-4.012 |
|
|
0.5 |
-6.352 |
-4.225 |
-4.848 |
-6.351 |
|
|
0.6 |
-9.514 |
-6.83 |
-7.044 |
-9.512 |
|
|
0.7 |
-13.819 |
-11.123 |
-9.9 |
-13.816 |
|
|
0.8 |
-19.705 |
-18.078 |
-13.634 |
-19.702 |
|
|
0.9 |
-27.776 |
-28.992 |
-18.534 |
-27.771 |
|
|
1 |
-38.858 |
-45.525 |
-24.978 |
-38.85 |
|
|
Относительная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0.1 |
- |
0,335 |
0,335 |
0 |
|
|
0.2 |
- |
-0,502 |
-0,297 |
0 |
|
|
0.3 |
- |
-0,509 |
-0,257 |
0 |
|
|
0.4 |
- |
-0,54 |
-0,277 |
0 |
|
|
0.5 |
- |
-0,503 |
-0,31 |
-2E-04 |
|
|
0.6 |
- |
-0,393 |
-0,351 |
-2E-04 |
|
|
0.7 |
- |
-0,242 |
-0,396 |
-2E-04 |
|
|
0.8 |
- |
-0,09 |
-0,445 |
-2E-04 |
|
|
0.9 |
- |
0,0419 |
-0,499 |
-2E-04 |
|
|
1 |
- |
0,1464 |
-0,556 |
-2E-04 |
|
|
Абсолютная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
0,067 |
0,067 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
0,308 |
0,211 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
0,762 |
0,462 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
1,407 |
0,87 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
2,127 |
1,504 |
0,001 |
|
|
0,6 |
- |
2,684 |
2,47 |
0,002 |
|
|
0,7 |
- |
2,696 |
3,919 |
0,003 |
|
|
0,8 |
- |
1,627 |
6,071 |
0,003 |
|
|
0,9 |
- |
-1,216 |
9,242 |
0,005 |
|
|
1 |
- |
-6,667 |
13,88 |
0,008 |
|
|
Относительная погрешность в процентах (%) |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
33,5 |
33,5 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
-50,24 |
-29,72 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
-50,9 |
-25,71 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
-54,01 |
-27,69 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
-50,34 |
-31,02 |
-0,016 |
|
|
0,6 |
- |
-39,3 |
-35,07 |
-0,021 |
|
|
0,7 |
- |
-24,24 |
-39,59 |
-0,022 |
|
|
0,8 |
- |
-9 |
-44,53 |
-0,015 |
|
|
0,9 |
- |
4,1943 |
-49,87 |
-0,018 |
|
|
1 |
- |
14,645 |
-55,57 |
-0,021 |
y(t)
|
t |
Операторный метод |
Вычисление с помощью степенных рядов |
Численное решение методом Эйлера |
Численное решение методом Рунге-Кутты |
|
|
Решение: |
|||||
|
0 |
-2 |
-2 |
-2 |
-2 |
|
|
0.1 |
-1.946 |
-1.684 |
-1.9 |
-1.946 |
|
|
0.2 |
-1.987 |
-1.42 |
-1.89 |
-1.987 |
|
|
0.3 |
-2.138 |
-1.322 |
-1.972 |
-2.138 |
|
|
0.4 |
-2.421 |
-1.561 |
-2.155 |
-2.421 |
|
|
0.5 |
-2.87 |
-2.343 |
-2.453 |
-2.87 |
|
|
0.6 |
-3.537 |
-3.89 |
-2.893 |
-3.537 |
|
|
0.7 |
-4.494 |
-6.424 |
-3.508 |
-4.493 |
|
|
0.8 |
-5.842 |
-10.148 |
-4.347 |
-5.841 |
|
|
0.9 |
-7.722 |
-15.231 |
-5.476 |
-7.72 |
|
|
1 |
-10.329 |
-21.782 |
-6.982 |
-10.327 |
|
|
Относительная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
-0,156 |
-0,024 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
-0,399 |
-0,051 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
-0,617 |
-0,084 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
-0,551 |
-0,123 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
-0,225 |
-0,17 |
0 |
|
|
0,6 |
- |
0,0907 |
-0,223 |
0 |
|
|
0,7 |
- |
0,3004 |
-0,281 |
-2E-04 |
|
|
0,8 |
- |
0,4243 |
-0,344 |
-2E-04 |
|
|
0,9 |
- |
0,493 |
-0,41 |
-3E-04 |
|
|
1 |
- |
0,5258 |
-0,479 |
-2E-04 |
|
|
Абсолютная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
0,262 |
0,046 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
0,567 |
0,097 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
0,816 |
0,166 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
0,86 |
0,266 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
0,527 |
0,417 |
0 |
|
|
0,6 |
- |
-0,353 |
0,644 |
0 |
|
|
0,7 |
- |
-1,93 |
0,986 |
0,001 |
|
|
0,8 |
- |
-4,306 |
1,495 |
0,001 |
|
|
0,9 |
- |
-7,509 |
2,246 |
0,002 |
|
|
1 |
- |
-11,45 |
3,347 |
0,002 |
|
|
Относительная погрешность в процентах (%) |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
-15,56 |
-2,421 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
-39,93 |
-5,132 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
-61,72 |
-8,418 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
-55,09 |
-12,34 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
-22,49 |
-17 |
0 |
|
|
0,6 |
- |
9,0746 |
-22,26 |
0 |
|
|
0,7 |
- |
30,044 |
-28,11 |
-0,022 |
|
|
0,8 |
- |
42,432 |
-34,39 |
-0,017 |
|
|
0,9 |
- |
49,301 |
-41,02 |
-0,026 |
|
|
1 |
- |
52,58 |
-47,94 |
-0,019 |
Заключение
Рассмотрев такие типы решений дифференциальных уравнений, как классический метод, операционный метод, приближенное решение с помощью степенных рядов, приближенное решение методом Эйлера, приближенное решение методом Рунге-Кутта было выявленно то, что самым точным из приближенных решений является решение методом Рунге-Кутта, а обладающим большей погрешностью - решение методом Эйлера.
Порядок точности степенных рядов может варьировать благодаря изменению количества членов в ряде Маклорена. Точность метода Эйлера можно улучшить путем уменьшения шага и увеличения числа узлов сетки.
В данном случае метод решения степенными рядами и методом Эйлера не дают достаточную точность, так как это связано с малым числом членов разложения и выбора относительно большого шага интегрирования.
Вывод имеет место быть только в данном решении.
Список литературы
1. Казанцева, Н.В. «Численное решение задач высшей математики с использованием пакетов MathCad и MATLAB», 2009
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.
курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012