О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы L2(5)1

Размещено на http://www.allbest.ru/

О ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ШУНКОВА, НАСЫЩЕННОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫМИ РАСШИРЕНИЯМИ КОНЕЧНЫХ 2-ГРУПП ПОСРЕДСТВОМ ГРУППЫ L₂(5)¹

Д.Н. Панюшкин, Guohua Qian, Wujie Shi

Пусть G группа, a ? -- некоторое множество групп. Будем говорить, что группа G насыщена группами из множества групп ?, если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из ?. В работе доказывается, что периодическая группа Шункова, насыщенная группами из множества ? = (L₂(2ⁿ) х (t_m) | п = 1,2, ...,т = 1,2,...,}, где (|L₂(2ⁿ)|, \t_m\) = 1, или из множества ? = {L₂(5) х (а)}, |а| = 2^к, к = 1,2,..., является локально конечной.

периодический группа шунков теорема

Let ? be a set of finite groups. A group G is said to be saturated by ? , if every finite subgroup of G is contained in a subgroup isomorphic to a group from ? . We prove, that a periodic, group of Shunkov saturated by set ? = {L₂(2ⁿ) x (t_m) \ n = 1,2, ...,m = 1,2,...,}, where (|L2(2n)|, \t_m\) = 1, or by set 5 ? = (L2(5) x (а)}, where |а| = 2^k, k = 1,2,..,.is locally finite group.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть G -- группа, a ? -- некоторое множество групп. Будем говорить, что группа G насыщена группами из множества групп ? , если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из ? [6].

В работе |5| А.К. Филипповым доказана локальная конечность периодической группы Шункова (бесконечная группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе, включая единичную, любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу), насыщенной группами из множества ? = {L₂(q) х Z₂}, где Z₂ -- группа порядка 2. Д.В. Лыткина и К.А. Филиппов в работе [4] исследовали периодическую группу, насыщенную группами из множества ? = {L₂(q) х Z₂}. Самым интересным и сложным в исследовании оказался случай, когда q -- степень числа 2. Доказать локальную конечность для этого случая так и не удалось. Поэтому естественно рассмотреть группу, насыщенную похожими множествами групп, в каждой из которых силовская 2-подгруппа элементарная абелева.

Нами исследована периодическая группа Шункова, насыщенная прямыми произведениями циклических и проективных специальных линейных групп размерности два. Получены следующие результаты.

Теорема 1 Бесконечная периодическая группа Шункова G, насыщенная группами из множества ? = {L₂(2ⁿ) х (t_m) \ n= 1,2,...,m = 1,2,...,}, где (|L₂(2ⁿ)|,\t_m\) = 1, локально конечна и изоморфна прямому произведению локально циклической группы без инволюций на локально конечную группу L₂{Q), где Q -- локально конечное поле характеристики 2.

Теорема 2 Бесконечная периодическая группа Шункова G, насыщенная группами из множества ? = {L₂(5) X (v)}, где |v|= 2^к, к = 1,2,.., локально конечна и изоморфна L х V, где L ~ L₂(5), V -- локально циклическая 2-группа.

ИЗВЕСТНЫЕ ФАКТЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Предложение 1 ([1]) Пусть G = L₂(q), где q = 2ⁿ > 2, Р -- силовская 2-подгруппа группы G. Тогда:

1. Р -- элементарная абелева группа, и любые две силовские 2-подгруппы группы G пересекаются тривиальным образом.

2. С_G(а) = Р для любой инволюции а Є Р.

3. Для любого элемента нечетного порядка из G существует инволюция, инвертирующая его.

4. В=N_G(P) = РвН группа Фробениуса с ядром Р и циклическим неинвариантным множителем Н порядка q -- 1, действующим транзитивно на множестве P^# .

5. N=N_G (H) -- Hв(t) группа диэдра.

6. Если К -- подгруппа в G и К обладает нормальной подгруппой нечетного порядка, то N_G(K) -- группа диэдра.

7. G порождается любыми двумя силовскими 2-подгруппами.

Предложение 2 ([1]) Пусть G = L₂(5). Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Силовская Б-подгруппа Р группы G циклическая порядка 5 и В = N_G(P) = РвН группа Фробениуса с ядром Р и циклическим неинвариантным множителем Н порядка 2.

2. C_G(b) = (b) для любого 1 ? b Є Р.

3. Силовская 2-подгруппа группы G является четверной группой.

4. Если а -- инволюция из G, то С_G(а) - четверная группа.

5. Если |a| = |b| = 5 и b Є(а), то |[а, b^m]| = 5 для некоторого целого 1 ? m ? 4.

Предложение 3 ([7]) Пусть G -- группа Шункова, Н₁ < H₂< < …< H_i < … - цепочка ее нормальных подгрупп, такая, что для любой ее подгруппы H_i из этой цепочки фактор - группа G/Hi является группой Шункова и И -- U_i=1Hi. Тогда G/H-группа Шункова.

Предложение 4 ([5]) Бесконечная периодическая группа Шункова, насыщенная группами L₂(рⁿ), где р- простое число, изоморфна L₂(Q) над локально конечным полем Q характеристики p.

Предложение 5 ((теорема Шмидта [3])) Расширение локально конечной группы при помощи локально конечной группы есть локально конечная группа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

До конца параграфа G означает бесконечную периодическую группу Шункова, насыщенную группами из множества ? = {L₂(2ⁿ) х (t_m)}, где (|L₂(2ⁿ)|, |t_m|) = 1, n,m = 1,2,.... Для любой конечной группы К из G обозначим через ? (K) множество всех подгрупп из G, содержащих К и изоморфных группам из ?.

Лемма 1 Пусть М конечная подгруппа группы G, изоморфная группе из ?. Тогда Z(M) С Z(G).

Доказательство. По условиям теоремы М = L х (v), где L ~ L₂(2ⁿ), (v) -- центр группы М и (|L|, |v|) =1. Покажем, что v Є Z(G).

Пусть i -- произвольная инволюция из L. b Є (v) -- элемент нечетного простого порядка. Предположим, что b Є Z(G). Тогда существует элемент g Є G, что b^g ?b. По определению группы Шункова (b, b^g) -- конечная группа и, по условиям теоремы, (b,b^g) С M₁ = L₁ х (v₁), L₁ ~ L₂(2ⁿ¹). Рассмотрим случаи:

1. b Є L₁

Тогда в L₁ существует некоторая инволюция z, инвертирующая элемент b: b^z=b^-1 . Рассмотрим группу (b, z, i). В ней подгруппа (b) нормальна. Тогда мы можем рассмотреть фактор-группу (b, z,i)/(b), которая является конечной, поскольку порождена двумя инволюциями. Следовательно, конечной является и группа (b, z, i). По условию теоремы (b, z, i) С М₂ = L₂ х (v₂), L₂~ L₂ (2ⁿ²). Элемент b не может содержатся в L₂, так как b Є Cм₂(i), а в L₂ централизатор инволюции совпадает с силовской 2-подгруппой. Значит, b Є (v₂) = Z(M₂). Но с другой стороны b не может лежать в центре группы М₂, так как b^z = b^-1. Полученное противоречие означает, что этот случай невозможен.

2.b = hs, где h Є L₁, s Є (v1).

Этот случай невозможен, так как элемент b имеет простой нечетный порядок р, в то время как порядки элементов h и s взаимно просты: b^p = (hs)^р = h^ps^p? 1.

3.b Є (v₁).

Тогда bb^g = b^gb и элемент b перестановочен с любым сопряженным с ним элементом, т.е. в G существует абелева подгруппа вида (b) х (b^g1) х … х (b^gk), fc > 1 и она вложима в конечную группу М₃ = L₃ х (v₃), где L₃ ~ L₂(2ⁿ³). Но в группе М₃ нет таких подгрупп (предложение 1). Опять противоречие.

Тогда остается только одна возможность: b^g = b для любого g ЄG. Итак, все элементы простого порядка из Z(M) содержатся в Z[G).

Пусть теперь b -- элемент не простого порядка из Z(M), g Є G -- произвольный элемент и р < |b| -- некоторое простое нечетное число, делящее |b|. Обозначим b₁ = b^p. Пусть b₁ Є Z(G) (индуктивное предположение). Тогда фактор - группа (b, b^g) / (b₁), конечна (так как G -- группа Шункова) и сама группа (b,b^g) тоже является конечной. По условию насыщенности (b,b^g) Є M₄ = L₄ x (v₄), L₄ ~ L₂ (2ⁿ⁴). Если b Є L₄, то b₁ = b^p Є L₄, что противоречит тому, что b₁ Є Z(M₄) (по индуктивному предположению). Следовательно, b Є Z(M₄) = (v₄). Аналогично, b^g Є (v₄). Но тогда (b^g) = (b) и g Є N_G((b)). Следовательно, имеет место разложение (b) в (g). По условию насыщенности (b) в (g) С М₅ = L₅ х (v₅), L₅ ~ L₂(2ⁿ⁵) Тогда, рассуждая как выше, получаем, что b Є Z(M₅) и bg = gb. В силу произвольности выбора элемента g Є G получаем, что Z(M) с Z{G). Лемма доказана.

Лемма 2 Z(G) -- локально циклическая группа без инволюций.

Доказательство. Действительно, любая конечно порожденная подгруппа из Z(G) содержится в центре некоторой конечной подгруппы М = L x (v) ~ L₂(2ⁿ) х (v), a Z(M) является циклической группой без инволюций. Лемма доказана.

Рассмотрим фактор-группу G = G/Z(G). Как показано в предыдущей лемме, Z(G) -- локально циклическая группа. Значит, Z(G) можно представить в виде бесконечной цепочки вложенных конечных подгрупп Z₁ < Z₂ < …< Z_i < … таких, что =. Причем фактор-группы по конечным группам G/Z_i - группы Шункова. Тогда, по предложению 3, фактор-группа G = G/Z(G) - группа Шункова.

Пусть К -- конечная подгруппа из G, Для некоторой конечной подгруппы К из G К = KZ(G)/Z(G).

По условию насыщенности, конечная подгруппа К С М₁ = L₁ х (v₁). где L₁ ~ L₂{2ⁿ¹). Из леммы 1 следует, что M_l? Z(G) = Z(M₁) = (v₁). Поэтому

К С M₁Z(G)/Z(G) = (L₁ х (v₁))Z(G)/Z(G) = L₁Z(G)/Z(G) ~ L₂(2ⁿ¹).

Таким образом, любая конечная подгруппа из фактор-группы G содержится в некоторой конечной подгруппе М ИЗ G и М ~ L₂(2ⁿ). Это означает, что G -- периодическая группа Шункова, насыщенная элементами из множества Ј = {L₂(2ⁿ)|/n = 1,2,...}. Тогда по предложению 4 G = G/Z(G) -- локально конечная группа, изоморфная L₂(Q), где Q - локально конечное поле характеристики 2.

Так как Q -- счетное множество, то мы можем выбрать цепочку конечных полей

Q₁< Q₂ < … < Q_i < … , таких, что Q= .

где |Q_i|=2ⁿⁱ и этой последовательности поставить в соответствие цепочку конечных подгрупп группы G

G₁< G₂ < … < G_i < … ,

где G_i ~L₂ (2ⁿⁱ) b

G= .

Для некоторой конечной подгруппы G_i из G

G_i=G_iZ(G)/Z(G) ~ L₂(2ⁿⁱ)

Так как

G_iZ(G)/Z(G) ~ G_i /(Gi?Z(G))= Gi/Z(Gi),

то

G_i/Z(G_i) ~ L2(2ⁿⁱ)

Возможны 2 случая:

1. Z(G_i)=1. Тогда G_i=(G_i x Z(G))/Z(G), где G_i~L₂(Q_i)=L₂(2ⁿⁱ)

2. Z(Gi)?1. По условия насыщенности,

G_i Є M_i = L_i x (v_i)

Где L_i ~ L (2ⁿⁱ) и (|L_i|, |v_i|)=1. Обозначим через H_i подгруппу, порожденную всеми инволюциями из G_i.

Покажем, что H_i?L_i. Действительно, пусть x - инволюция из G_i и xЄL_i. Так как |v_i| - нечетное число, то x Є (v_i) и , следовательно, x=yw для некоторых 1?y Є L_i, 1?wЄ(v_i). Так как (|y|,|w|)=1, то x=x ^|w| = (yw) ^|w| =y^|w| w^|w| = y^|w| ЄL_i. Получили противоречие с выбором x. В силу произвольности выбора инволюции x получаем, что H_i?L_i.

Покажем, что H_iZ(G)/Z(G)=G_iZ(G)/Z(G)=G_i~L₂(2ⁿⁱ). Действительно, группа L2(2ni) порождена инволюциями, поэтому порождающими элементами фактор-группы GiZ(G)/Z(G) являются смежные классы x Z(G), где x-инволюция из G_i (Z(G) - группа без инволюций). Так как H_i-подгруппа, порожденная всеми инволюциями из G_i, то выполняется H_iZ(G)/Z(G)=GiZ(G)/Z(G)=Gi~L₂(2ⁿⁱ).

Покажем, что H_i~L₂(2ⁿⁱ). Действительно, H_iZ(G)/Z(G)=H_i/(H_i?Z(G)) ~L₂(2ⁿⁱ). Предположим, что 1? t Є H_i ? Z(G). Так как H_i?L_i, то t Є Z(L_i), что противоречит тому, что Li - простая группа. Следовательно, H_i?Z(G)=1 и H_i~L₂(2ⁿⁱ).

Итак, как и в первом случае, Gi=(H_i x Z(G))/Z(G), где H_i~L₂(Q_i)=L₂(2ⁿⁱ).

Так как группам Gi соответствует цепочка (*), то

(H₁ x Z(G))/Z(G)< (H₂ x Z(G))/Z(G)<…<(Hi x Z(G))/Z(G)<…

т.е.

(H₁ x Z(G))<( H₂ x Z(G))<….< (H_i x Z(G))<…

Пусть a_i Є H_i и a_i+1 z для некоторых a_i+1Є H_i+1, z Є Z (G). Тогда

a_i ^|z|=((a_i+1 z)^|z| =a _i+1^|z|z ^z|= a _i+1^|z|?1,

поскольку порядки элементов а_i (и, соответственно, а_i+1) и z взаимно просты по условию теоремы. Следовательно, а_i Є Н_i+1. Отсюда видим, что подгруппы H_i, составляют цепочку

H₁< H₂ < … < H_i < … ,

объединение Н которой, очевидно, изоморфно L₂(Q). Таким образом, G = Н х Z(G),где H ~ L₂(Q) и Z(G) локально циклическая группа без инволюций. Теорема доказана.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

До конца параграфа G означает бесконечную периодическую группу Шункова, насыщенную группами из множества ? = {L₂(5) х (t)}, где \t\ =2^к, к = 1,2,.... Для любой конечной подгруппы К из G обозначим через ?(K) множество всех подгрупп из G, содержащих К и изоморфных группам из ?.

Лемма 3. Пусть а Є G имеет, порядок 3 или 5. Тогда СG(а) содержит, ровно одну циклическую 2-подгруппу фиксированного порядка.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим обратное и пусть х, у -- две различные инволюции из G, перестановочные с элементом а.Так как группа (х, у, а) конечна, то по условию насыщенности (х,у,а) С L х (v)Є ? ((х,у, а)), где L ~ L₂(5), |v| = 2^k для некоторого натурального к. Ясно, что а Є L. Предположим, что х Є (v). Так как С_l1 (а) = (а), то х Є L и, значит, х = sh для некоторых s Є L и h Є (v) таких, что s² = h² = 1. Подействуем на х сопряжением a:

х^a = s^ah^a = s^ah = x = sh.

Отсюда следует, что s^a = s и, значит, s = 1 (предложение 2), т.е. х Є (v). Совершенно аналогично показывается, что у Є (v). Поскольку (v)- циклическая 2-группа, то х = у.

Сделаем следующее индуктивное предположение: если в С_G((а)) существует циклическая подгруппа (b₀), |b₀| = 2^k, к > 1, то она единственна. Докажем методом от противного, что если в С_G((а)) существует циклическая подгруппа (b), |b|= 2^к+1, то она тоже единственна.

Предположим, что существует другая циклическая группа (с) Є С_G((а)), (с) ? (b), |с| = 2 ^k+1. Рассмотрим подгруппу (а,b,с). В ней конечная абелева подгруппа (а, b²) = (а, с²) является нормальной (равенство (b²) = (с²) следует из индуктивного предположения). Тогда фактор-группа (а,b,с)/(а,b²) является конечной, поскольку порождена двумя инволюциями. Следовательно, по теореме Шмидта конечной является и группа (а, b, с). По условиям теоремы (a, b, с) вложима в конечную подгруппу L* х (v*} Є ? (а, b, с)). где L* ~ L₂(5), |v*| = 2^т для некоторого натурального т > к. Но по предложению 2 в L* х (v*) существует только одна циклическая группа порядка 2^k+1, лежащая в центре группы L* х (v*), а именно в подгруппе (v*). Получили противоречие. Следовательно, (b) = (с). Лемма доказана.

Из леммы 3 в частности следует, что все 2-элементы группы C_G((a)) порождают циклическую 2-подгруппу.

Лемма 4. Пусть а, b Є G, |а| = |b| = 5 и b Є (а). Тогда элементы а и b^к для некоторого целого 1 ? к ? 4 сопряжены в G.

Доказательство. Предположим, что это не так и пусть а и b -- два несопряженных элемента порядка 5 из G. По предложению 2 порядок коммутатора [а, b^т] равен 5 для некоторого целого 1 ? m ? 4. Поэтому мы всегда можем переопределить элемент b таким образом (рассмотреть соответствующую степень), чтобы |[a, b]| =5. Группы (а, а^b) и (b,b^а) конечны (так как G -- группа Шункова). По условию насыщенности

(a,a^b) Є L₁ x (vi) Є ?((a,a^b))

и

(b,b^a) С L₂ x (V₂) Є ?((b,b^a)).

Очевидно, что

(a, a^b) С L₁

и

(a, a^b) С L₁

Подгруппы (a, a^b) и (b, b^a) имеют общий элемент с = [a, b] = a^ba = b^-1b^a, тоже имеющий порядок 5 (см. выше). Тогда элемент а сопряжен в L_a с [а,b]^т для некоторого целого 1 ? m ?4; в свою очередь элемент [а,b]^m сопряжен в L_b с b^к для некоторого целого 1 ? к ? 4. Следовательно, а и b^к также сопряжены. Лемма доказана.

Лемма 5. В G существует бесконечная локально циклическая 2-группа V.

Доказательство. По [7] в G найдется бесконечная абелева локально конечная подгруппа Н. Без ограничения общности можно считать, что Н максимальная в указанном смысле. Рассмотрим два случая:

1.H-2-группа. Предположим сначала, что в Н существует элементарная абелева подгруппа А ранга k: А = (a₁) х (а₂) х…х (а_k). По условию насыщенности А с L х (v), где L ~ L₂(5), |v| = 2^т. Из подгруппового описания L₂(5) следует, что в L х (v) максимальной элементарной абелевой группой является группа порядка 8, т.е к ? 3 и А может быть только группой (а₁) х (а₂) х (а₃), где (a₁) х (а₂) С L, (а₃) С (v). Из этого следует, что в Н существуют элементы порядка > 2.

Возьмем элементы b₄,b₈ Є Н соответственно порядка 4 и 8 (как и выше, легко показать, что в Н существуют элементы порядка 4, 8 и т.д.). Тогда по условию насыщенности конечная группа (b₄,b₈) С L₁ х (v₁) Є ?((b₄,b₈)), где L ~ L₂(5), |v₁| = 2^m1 для некоторого натурального т₁ > 1. По предложению 2 b₄,b₈ Є L. Значит, b₄ = x₁t₁, где х₁ Є L₁ и х₁ -- инволюция, t₁ Є (v₁). Тогда b₄ ²= (x₁t₁)² =x₁²t₁²=t₁² Є (v₁). Точно также, t₈² = (x₂t₂)² = t₂² Є (v₁). Получаем, что b₄ ² и b₈ ² содержатся в одной циклической группе, а так как |b₈ ²|= 4 = |b₄|, то |b₄| = ( b₈ ²) С (v₁). Теперь рассматриваем группу (b₄, b₈, b₁₆) Є Н, где b₁₆ -- элемент порядка 16 из H. По условию насыщенности конечная группа (b₄, b₈, b₁₆) С L₂ х (v₂) Є ?((b₄, b₈, b₁₆)), где L₂ ~ L₂(5), |v₂| = 2^m2 . Аналогично показывается, что (b₄) С (b₈) = (b₁₆²) С (v₂). Перебирая таким образом все элементы четвертого порядка и выше из Н, получим, что все они лежат в локально циклической группе.

Итак, если Н - 2-группа, то Н = А х V, где А -- элементарная абелева группа порядка ? 4, V - локально циклическая 2-группа.

2. H - 2-группа. Так как H - абелева группа, то Н есть произведение своих силовских р-подгрупп. Покажем, что Н не может одновременно содержать элементы порядка 3 и порядка 5. Предположим противное и пусть а,Ь Є Н, |a| = 3, |b| = 5. По условию насыщенности конечная абелева подгруппа К = (а, Ь) С L х (v) Є ?((а,Ь)), где L ~ L₂(5), |v| = 2^к для некоторого натурального к > 1. Очевидно, что a, b Є L. Но в L централизатор C_L(b) = (b) не содержит элементов порядка 3. Противоречие. Итак, Н = R х T, где R -- силовская р -подгруппа (р = 3 или 5), Т -- силовская 2-подгруппа. Очевидно, |R| = 3 в силу вложимости любой конечной подгруппы из R в подгруппу группы G, изоморфную группе из множества ?. Поэтому Т -- бесконечная 2-группа и в силу пункта 1 Т = А х V, где А -- элементарная абелева группа порядка < 4, V -- локально циклическая 2-группа. Из леммы 3 следует, что любой элемент из R может централизовать только одна инволюция. Поэтому | А| = 1 и H = R х V, где R -- группа порядка 3 (или 5), V -- бесконечная локально циклическая 2-группа.

Итак, H = W х V, где W -- элементарная абелева группа порядка либо 3, либо 5, либо 4, V -- бесконечная локально циклическая 2-группа. Лемма доказана.

Лемма 6 V С Z(G).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим локально циклическую 2-группу V из предыдущей леммы. Обозначим через h_к элемент порядка 2^к из V, к = 1,2,…. Таким образом, можем считать, что h_k²₊₁ = h_k.

Возьмем элемент h_k+1 (т.е. элемент порядка 2², 2³ и т.д.). По условию насыщенности h_k+1 Є L_{к +1} х (v_{k +1}) Є ?(h_{к+ 1}). Так как в L_{k+ 1} нет 2-элементов порядка выше второго, то h_k+1 = х_к+1y_к+1, где х_к+1 Є L_k+1, |x_k+1| < 2, у_к+1 Є (v_k+1). Тогда h_k=h²_k+1 Є(v_k+1) и h_k Є C_G(L_k+l). Таким образом,

любой элемент h_k из V централизует некоторый элемент пятого порядка а_к. По лемме 2 все элементы а_к (некоторые их степени) сопряжены, т.е.

h^gi_i ЄC_G(a_k), hiЄV g_i Є G.

Это означает, что C_G(ak) содержит 2-элемент любого порядка. Так как h²_i = h_i-1, то

( (h²_i)gi) = (h^gi-1_i-1) С CG(ak)

и, ввиду предыдущей леммы,

все 2-элементы из С_G(а_k) образуют, бесконечную циклическую 2-группу V_k.

Очевидно, что все подгруппы Vk (для всех к) сопряжены между собой и с группой V. Докажем методом индукции, что все подгруппы V_k совпадают с подгруппой V и V С Z(G), где Z(G) -- центр группы G.

Пусть a_i и a_i - два различных элемента порядка 5. Используя введенные выше обозначения, считаем, что V_i С С_G(а_i) и V_j С С_G(a_j), где V_i, V_j --бесконечные циклические 2-группы. Группа (a_i, a_j) конечна, так как а_i и a^m_j сопряжены для некоторого 1 < т < 4 (лемма 4). По условию насыщенности (a_i, a_j) С L_* х (v_*) Є ?((а_г, а/)). Понятно, что а_i, a_j Є L₁- Тогда инволюция z Є (v_*) содержится в централизаторе обоих элементов a_i и a_j. Но по лемме 3 элемент нечетного порядка централизуется только одной инволюцией. Значит, z Є V_i ? Л V_j. Так как некоторая подгруппа V_m содержит инволюцию h₁ из V (см. предыдущий абзац), то h₁ = z и h₁Є V_i ? V_j. Кроме того, инволюция h₁ централизует не только все элементы порядка 5, но и все элементы порядка 3 (поскольку любой элемент порядка 3 содержится в подгруппе, изоморфной группе L₂(5), которая порождена элементами порядка 5). Предположим, что существует 2-элемент b, который не перестановочен с инволюцией h₁. По условию насыщенности (b) С L_b х (v_b) Є ?((b)). Подгруппа L_b порождена элементами порядка 5, значит, инволюция из (v_b) совпадает с инволюцией h₁. Но тогда h₁ перестановочна с элементом b Є L_b, х (v_b). Противоречие с выбором элемента b.

Итак, инволюция h₁ содержится в центре Z(G) группы G и h₁ Є?_iV_i.

Предположим, что все подгруппы V_i пересекаются по подгруппе (h_k) порядка 2^к из подгруппы V и h_k Є Z(G) (индуктивное предположение). Докажем, что h_k+1 Є ?_iV_i,h_k+i Є Z(G).

Так как h_k Є Z(G), то (h_k) <G и мы можем рассмотреть фактор-группу G = G/(h_k). Очевидно, что G -- периодическая группа Шункова. Пусть Т -- некоторая конечная подгруппа группы G и T(h_k) -- её полный прообраз в группе G. Группа T(h_k) конечна и по условию насыщенности T(h_k) С L_T х (v_T) Є ? (T(h_к)). Понятно, что h_k Є (v_T). Тогда, переходя обратно к фактор-группе G, получаем, что Т C L_T x (v_T) Є ?(Т), где L_T ~ L₂(5), (v_T) - циклическая 2-группа. Таким образом, G -- снова периодическая группа Шункова, насыщенная группами L х (v), где L ~ L₂(5), (v) -- циклическая 2- группа. Значит, все, сказанное выше, справедливо и для группы G. Обозначим через a_i, a_j и V_i, V_j образы элементов a_i, a_j и V_i, V_j соответственно. Рассуждая аналогично, легко показать, что подгруппы V_i и V_j снова пересекаются по инволюции, обозначим ее w. Более того, точно также показывается, что инволюция w Є Z(G). Возвращаясь к группе G, получаем, что w Є?_iV_i , |w| =2^k+1 и w²= h_k- Так как некоторая подгруппа V_s содержит элемент h_k+1 из V, то h_k+1=w. Покажем теперь, что h_k+1 Є Z(G). Действительно, из того, что w = h_k+1 Є Z(G), следует равенство смежных классов h_k+1g(h_k) ⁼ gh_k+1(h_k), где g - произвольный элемент из G. Равенство смежных классов означает выполнение одного из равенств

h_k+1g= gh_k+1hⁿ_k, i<n<|h_k|.

Так как h_k = h²_k+1, то

h_k+1g = gh_k+1h²ⁿ_k+1 = gh²ⁿ⁺¹_k+1.

т.е.

h^g_k+1= h²ⁿ⁺¹_k+1 g Є G,

что означает (h_k+1) <G. Предположим, что h^g_k+1 = h²ⁿ⁺¹_k+1? h_k+1 для некоторого g Є G, т.е. n ? 2^k. Тогда можно рассмотреть конечную группу (h_k+1,g) = (h_k+1) в (g). По условию насыщенности ((h_k+1) в (g)) С L_g х (v_g) Є? ((h_k+1) в (g)). Так как |h_k+1| = 2 ^k+l и h²_k+1 = h_k Є(v_g), то h_k+1 = ud, где u- инволюция из L_g, d - элемент порядка 2^k+I из (v_g). Тогда

h⁹_k+1 = (ud)⁹ = u^gd^g = u^gd= h_k+1²ⁿ⁺¹ = (ud)²ⁿ⁺¹ = u²ⁿ⁺¹d²ⁿ⁺¹ = ud²ⁿ⁺¹,

u^g = ud²ⁿ,

что невозможно в случае d²ⁿ ?1, так как и^g Є L_g для любого g Є L_g х (v_g). Тогда d²ⁿ = 1 и п = 2^к, т.е.

h_k+1^g= h_k+1 g Є G.

Итак h_k+1 Є Z(G) и h_k+1 Є ?_I h_i. Так как V = U_ih_i, то V С Z(G). Лемма доказана.

Лемма 7 Пусть G* = (а^g|а,g Є G, |а| = 5). Тогда G*V = L xV, где L ~ L₂(5), и (LxV)< G.

Доказательство. Пусть G*- группа, порожденная всеми элементами порядка 5. Понятно, что G* -- нормальная подгруппа в группе G. Рассмотрим группу G*V = VG*. Как было показано выше, V < G*V и мы можем рассмотреть фактор-группу G*V/V. Пусть Т -- конечная подгруппа из G*V/V. Тогда для некоторой конечной группы Т из G* Т = TV/V. По условию насыщенности Т С L₁ х (v₁) Є ?(Т). Так как группа L₁ порождена элементами порядка 5, то L₁ С G*, v₁ Є V и

Тc(LxV)/V ~L₂(5).

Таким образом, любая конечная подгруппа из фактор-группы G* V/V содержится в некоторой конечной подгруппе из G*V/V, изоморфной группе L₂(5). Это означает, что G*V/V -- периодическая группа Шункова, насыщенная группой L₂{5). Тогда по предложению 4 G*V/V -- конечная группа, изоморфная L₂ (5) и G*V = L х V, где L ~ L₂ (5).

Лемма 8 G = L х V.

Доказательство. Предположим противное и пусть G \ (L х V) ? ?. Обозначим М = L х V. Рассмотрим фактор-группу G = G/M. Это группа Шункова. Пусть x -- элемент из G и x -- его полный прообраз в G. Без ограничения общности можно считать, что х -- 2-элемент. Действительно, если это не так и |x| = m * 2^к, где m -- нечетное число, то (х)= (а) х (b), где |а| = т, a Є М, |b| = 2^k. Тогда можем положить х = b -- 2-элемент. Группа (х, М) является локально конечной, а потому можем рассмотреть в ней конечную подгруппу (х, L). По условию насыщенности (x, L) С L* х (v*) Є ?((x, L)). Очевидно, что L = L*, v* Є V. Но тогда х Є М. Противоречие с выбором х. Лемма, а вместе с ней и теорема, доказаны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. -- М.: Наука, 1968. 120 с.

2. Горенстейн Д. Конечные простые группы. М.: Мир, 1985. 350 с.

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977. 240 с.

4. Лыткина Д.В., Филиппов К,А. О периодических группах, насыщенных L^iq) и ее центральными расширениями // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ. 2006. №5. С. 35-45.

5. Филиппов К.А. Группы, насыщенные конечными неабслевыми простыми группами и их центральными расширениями. Дисс. канд. физ.-маг. наук. Красноярск, 2005. 80 с.

6. Шлепкин А.К, Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы// Сб. тез. 3-й междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 369.

7. Шлепкин А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями. Дисс. докт. физ.-мат. наук, Красноярск, 2003. 130 с. 1998.

Размещено на Allbest.ru