Анализ устойчивости разомкнутой и замкнутой системы

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Исходные данные

1. Провести эквивалентные преобразования структурной схемы, указанной в индивидуальном задании. Записать передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем.

2. Составить дифференциальное уравнение замкнутой системы.

3. Исследовать устойчивость линейной непрерывно системы по корням характеристического уравнения.

4. Исследовать устойчивость линейной системы с помощью алгебраического критерия устойчивости Гурвица.

5. Исследовать устойчивость замкнутой линейной системы с помощью частотного критерия Михайлова.

6. Исследовать устойчивость замкнутой системы с помощью частотного уравнения Найквиста.

7. Исследовать устойчивость замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы и оценить влияние параметров системы на запасы устойчивости по модулю и по фазе.

8. Сформулировать выводы о влиянии параметров звеньев системы на е устойчивость.

Основы управления в энергетических системах

Требуется исследовать устойчивость системы с указанными параметрами.

Рис. 1. Структурная схема: k1=2, k2=4, T1=0.07, о=0.9, T3 = 0.03, T2=0.25, kp=2,Tp=0.15

1. Исследование устойчивости линейной системы по корням характеристического уравнения

Подставим в выражения передаточных функций звеньев числовые значения:

Рис. 2. Структурная схема с числовыми значениями

Передаточная функция разомкнутой системы:

Переходные процессы в системе могут быть вычислены в результате решения дифференциального уравнения:

0,00003674+0.002317+0.04768+0.406+1=0

Решение имеет вид:

,

где si - корни характеристического уравнения

Найдем корни характеристического уравнения разомкнутой схемы:

s1=-33.3; s2=-4; s3,4 = -12,857±6,227

Вещественные отрицательные корни s1=-33.3, s1=-4 соответствуют слагаемым в выражении для переходной составляющей, имеющим вид и комплексно сопряженные корни с отрицательной вещественной частью -12,857±6,227 соответствуют слагаемому в выражении для переходной составляющей, имеющему вид , это затухающие колебания.

Рис. 3. Переходной процесс в разомкнутой системе

График переходного процесса соответствует устойчивой системе.

Выполним анализ замкнуто системы с отрицательной обратной связью.

Передаточная функция замкнутой системы.

Найдем корни характеристического уравнения разомкнутой схемы:

s1=-6,584; s2=-60,398; s3,4 = 1,967±34,05

Все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковый знак (положительны), но среди корней характеристического уравнения два находятся в правой полуплоскости. Система неустойчива: в ней наблюдаются колебания с неограниченно возрастающей амплитудой.

Рис. 4. Переходной процесс в замкнутой системе

На рис. 4 представлен переходной процесс, возникший в ответ на воздействие кратковременного входного импульса.

2. Исследование устойчивости по критерию Гурвица

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица позволяет анализировать устойчивость замкнутой системы по ее характеристическому полиному D(s).

Критерий Гурвица применяется, если для системы выполнено необходимое условие устойчивости (все коэффициенты D(s) положительны) и порядок системы n выше второго.

Для рассматриваемой системы:

D(s) = ,

необходимое условие выполняется: коэффициенты D(s) положительны и порядок системы 4 выше второго.

Для данной системы матрица Гурвица имеет вид

Табл. 1

При положительном коэффициенте a0 для устойчивости системы достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительны.

Определители Гурвица - это угловые определители матрицы:

, , , …

Для системы 4 порядка требуется проверка двух неравенств:

Выполним вычисления:

= 0,000007>0

Угловой определитель третьего порядка имеет отрицательный знак, значит система неустойчива.

3. Исследование устойчивости замкнутой линейной системы с помощью частотного критерия Михайлова

Критерий Михайлова предусматривает работу с характеристическим полиномом замкнутой системы.

D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an

D(s) =

После подстановки s=j получим характеристический комплекс:

D(jщ) =

,

алгебраический годограф характеристический

Где , - соответственно вещественная и мнимая части, модуль и аргумент характеристического комплекса.

=

=arctg

Характеристический комплекс отображают на комплексной плоскости в виде годографа. Годограф характеристического комплекса называют кривой Михайлова.

Выразим характеристический комплекс через корни характеристического полинома:

Каждый сомножитель в полученном выражении представляет собой комплексную функцию частоты, причем , где I - аргументы отдельных сомножителей. Аналогичная сумма будет иметь место для приращений аргументов при определенном изменении частоты.

= arctg+ arctg+ arctg arctg

Рассмотрим поведение аргументов при изменении частоты от 0 до .

Для отрицательных вещественных корней приращение аргумента (угол поворота изображающего вектора на комплексной плоскости) для выражения составит ,

Для пары комплексно-сопряженных корней c положительной вещественной частью приращение аргумента для выражения составит:

;

Для устойчивой системы при изменении частоты от 0 до полное приращение аргумента характеристического комплекса составляет:

,

где n - порядок характеристического полинома системы. В этом состоит необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы, называемое критерием устойчивости Михайлова.

Рассматриваемая система не удовлетворяет критерию устойчивости Михайлова, приращение аргумента характеристического комплекса составит .

Построим кривую Михайлова (рис.2.1). Начало спирали находится на оси Re D(jw). При щ=0 X=17, Y=0. Уравнение имеет два положительных корня, то есть кривая дважды пересекает ось 0Y. Найдем значение щ, при котором кривая пересекает вертикальную ось.

=0; щ1=15.76; щ2=30.51

Y(15.76)= 3.856*15.76-0.004487*(15.76)3=43.2

Y(351)= 3.856*30.51-0.004487*(30.51)3=-9.8

Найдем значение щ, при котором кривая пересекает горизонтальную ось.

=0; щ=29.32

Х(30)=17-0.08668*29.322+0.0000735*29.324 = -3.20

При дальнейшем увеличении аргумента щ значения X стремится к +?,Y имеет отрицательные значения и стремится к -?. Приращение аргумента происходит от 0 до 2р.

Рис. 5. Кривая Михайлова

4. Частотный критерий Найквиста устойчивости замкнутой системы

Критерий устойчивости Найквиста предусматривает анализ устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы: и или АФХ разомкнутой системы, или .

Критерий устойчивости Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от - до угол поворота изображающего вектора ЧПФ разомкнутой системы относительно точки с координатами (-1; 0j) составил 2l, где l - количество корней знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

АФХ разомкнутой системы должна охватить точку с координатами (-1; 0j) l раз в положительном направлении.

Рассматриваемая система не имеет корней в правой полуплоскости. Условием устойчивости является: АЧХ при изменении w от минус бесконечности до бесконечности не должна охватывать точку (-1; 0).

Построим АЧХ передаточной функции разомкнутой системы.

Преобразуем функцию для параметра jщ:

X1(=1-0.04768

Y1(= 0.406

Представим передаточную функцию в виде:

X(

Построим АЧХ:

Рис. 6. Контур АЧХ разомкнутой системы

График функции АЧХ разомкнутой системы охватывает точку (-1; 0). Это свидетельствует о том, что замкнутая система неустойчива. Это, в частности, проявляется в том, что переходной процесс в системе при любом входном воздействии имеет колебательный характер, при чем колебания неограниченно возрастают.

5. Критерий устойчивости замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы

САУ, которая устойчива в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если ордината ЛФЧХ на частоте среза, соответствующей точке пересечения ЛАЧХ с осью частот, по абсолютной величине меньше, чем 180є. Рассматриваемая система устойчива в разомкнутом состоянии, но ордината ЛФЧХ на частоте среза, соответствующей точке пересечения ЛАЧХ с осью частот, по абсолютной величине больше 180є - это иллюстрируется рис. 7.

Рис. 7. ЛАЧХ и ЛФЧХ

На основании этого можно сделать вывод, что замкнутая система должна быт неустойчива.

Выводы

В данной работе рассмотрена система с заданными передаточными характеристиками звеньев. Выполнен анализ устойчивости разомкнутой системы и замкнутой системы. Рассчитана передаточная функция замкнутой системы, исследованы корни характеристического уравнения, сделан вывод об устойчивости системы.

По условиям задания, разомкнутая система устойчива, но при замыкании петлей отрицательной обратной связи она становится неустойчивой.

Выполнена оценка устойчивости замкнутой системы несколькими методами. Вычислена передаточная функция замкнутой системы и выполнен анализ характеристического уравнения (оно имеет корни в правой полуплоскости); применен критерий Гурвица, критерий Михайлова.

Результаты вычислений показывают, что замкнутая система неустойчива.

О характере замкнутой системы можно судить по свойствам разомкнутой системы. Для этого применен критерий Найквиста. Построив годограф передаточной функции разомкнутой системы, убеждаемся, что он охватывет точку (-1;0) - признак неустойчивочти системы в замкнутом виде. К тому же выводу приходим, проанализировав частотные характеристики разомкнутой системы.

Все проверки свидетельствуют о том, что рассматриваемая система в замкнутом виде неустойчива.

Литература

1. Теория автоматического управления/под редакцией академика А.А. Воронова М. 1977.

2. Математические основы теории автоматического регулирования / Иванов В.А., Медведев В.С., Чемоданов Б.К. М., 1977.

3. Чернецкий В.И. Математическое моделирование динамических систем. -- Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996.

Размещено на Allbest.ru