Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности

Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности

Жукова Ольга Геннадьевна

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Казань - 2009

Работа выполнена на кафедре основ теории механики и автоматического управления ГОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Романовский Рэм Константинович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Блохин Александр Михайлович;

доктор физико-математических наук, профессор Чугунов Владимир Аркадьевич.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится 26 марта 2009 года в 16 ⁰⁰ часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан: 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Е.К. Липачёв.

теплопроводность однородный гиперболический

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Одна из задач, возникающих в теории колебаний, теории автоматического управления, - разработка методов граничного управления процессами в сплошных средах, описываемыми краевыми задачами для уравнений с частными производными гиперболического типа. Первые результаты в этом круге проблем были получены в 60-е, 70-е годы минувшего столетия. Серьезное продвижение в связи с потребностями практики произошло в 80-е и 90-е годы в работах А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, О.Ю. Эмануилова, В. Коморника, Ф.П. Васильева, М.М. Потапова и других авторов. В последнее десятилетие вышел большой цикл работ В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, посвященный проблеме граничного управления волновыми процессами.

Наряду с работами по этой проблематике большое число исследований посвящено проблеме управления процессами теплопереноса и диффузии, моделируемыми краевыми задачами для уравнений параболического типа: работы А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, А.И. Егорова, Ф.П. Васильева и других авторов. В последние десятилетия интенсивно развивается гиперболическая теория теплопроводности, устраняющая имеющий место в параболической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла. Представляет теоретический и практический интерес разработка подходов к решению задач управления процессом теплопереноса в рамках гиперболической модели с использованием методов теории гиперболических уравнений.

В цикле работ Р.К. Романовского, Е.В. Воробьевой, Е.Н. Стратилатовой построен математический аппарат, позволяющий с единой точки зрения исследовать краевые задачи для некоторых классов гиперболических систем.

Цель работы - разработка на основе указанного математического аппарата подхода к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном материале в рамках гиперболической модели теплопроводности и построение классов решений этой задачи в случаях одномерных, двумерных и трехмерных сред.

В работе используется аппарат функционального анализа, теории гиперболических уравнений, гиперболической теории теплопроводности.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты.

1. Вычислены матрицы Римана первого и второго рода гиперболической системы уравнений теплопроводности.

2. Построено явное представление решений задачи Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности в виде суперпозиции плоских волн.

3. Разработан подход к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном теле, состоящий в сведении к задаче начального управления процессом теплопереноса в фиктивном теле, содержащем данное, и последующем использовании развитого в пунктах 1, 2 аппарата.

4. Построены классы решений, зависящие от функциональных параметров, задачи граничного управления процессом теплопереноса:

- в полубесконечном стержне;

- в стержне конечной длины (одностороннее и двустороннее управление);

- в пластинке звездной формы;

- в пространственном теле звездной формы.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы вносят существенный вклад в теорию граничного управления процессами в сплошных средах. Они могут быть использованы специалистами по теплофизике и теплоэнергетике при решении конкретных задач управления процессом теплопереноса, а также при подготовке студентов вузов по указанным специальностям.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006, 2008), на IV Всероссийской научной конференции «Математические модели и краевые задачи» (Самара, 2007), на IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Иркутск, 2007), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007), на VI Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2007), на Российской конференции «Математика в современном мире» (Новосибирск, 2007), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008).

Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах, список основных работ приведен в конце автореферата. Из совместных работ [1, 2, 4, 5, 11] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 80 наименований, включая работы автора. В каждой главе и во введении использована своя нумерация параграфов, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации составляет 100 страниц машинописного текста.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и краткая аннотация результатов работы.

1. Глава 1 носит подготовительный характер. В §1.1 кратко излагаются используемые в работе сведения по теории гиперболических уравнений. В §1.2 сформулирована гиперболическая модель теплопроводности. В рамках этой модели процесс распространения тепла в однородном материале описывается системой уравнений

(1)

Здесь первое уравнение - закон сохранения энергии, второе - обобщенный закон Фурье, - температура и вектор теплового потока, постоянные - плотность, удельные теплоемкость и теплопроводность, - малый положи- тельный параметр, имеющий смысл периода релаксации.

В рамках модели тепловой импульс распространяется со скоростью

В §1.3 вычислены матрицы Римана одномерной гиперболической системы уравнений теплопроводности и матрицы Римана вспомогательных одномерных гиперболических систем, возникающих при построении решений задачи Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности.

2. В главах 2, 3 - основных - рассматривается задача граничного управления процессом распространения тепла в однородном материале в рамках модели (1). При произвольно фиксированных начальных значениях температуры и потока из некоторого класса ищется температурный режим

на границе тела, обеспечивающий в заданный момент времени заданную температуру тела. К выбору момента предъявляется требование: за это время выходящий из каждой точки тепловой импульс должен успеть достигнуть любой точки тела. В каждом рассматриваемом случае (стержень, пластинка звездной формы, пространственное тело звездной формы) строится класс решений задачи управления, зависящий от функционального параметра.

Подход к решению этой задачи во всех случаях состоит в приведении задачи граничного управления к вспомогательной задаче начального управления с использованием результатов главы 1.

2.1. Поясним подход к решению задачи граничного управления

(2)

для модельного случая, когда тело - круглая пластинка.

Начальная вектор-функция

продолжается с большой степенью произвола из круга , занимаемого пластинкой, в круг , выбранный так, что боковая поверхность усеченного конуса в -пространстве с ниж- ним основанием в плоскости и верхним основанием в плоскости является характеристической поверхностью для системы (1) при (рис.1).

В усеченном конусе рассматри- вается задача Коши для системы (1) с продолженной начальной вектор-функцией на нижнем основании . Развитые в главе 1 приемы позволяют вычислить решение этой задачи.

Пусть - ограничение на кольцо продолженной вектор-функции ,

-

компонента решения задачи Коши, указанной в пункте . Ставится задача начального управления: подбора так, чтобы выполнялось равенство

(3)

На практике вычисление приводится в ряде случаев к решению уравнения Вольтерра второго рода с хорошим ядром.

Решению задачи начального управления (3) отвечает решение задачи граничного управления (2), вычисляемое по формуле

. (4)

Аналогичная схема (в усложненном варианте) применяется в случае пластинки звездной формы, а также в одномерном и трехмерном случаях.

2.2. Изложенная в пункте 2.1 процедура решения задачи граничного управления (2) дает подход к описанию класса «допустимых» пар , при которых разрешима задача управления

с полным фазовым вектором на выходе: при заданной соответствующий вектор вычисляется по формуле

В диссертации рассматривается задача управления (2). В пунктах 3-5 приводится краткая аннотация результатов глав 2, 3; для упрощения записей начальные данные приняты нулевыми.

3. В случае одномерного материала система (1) принимает вид

(5)



Нетрудно получить

.

Лемма 1.1. Матрицы Римана первого и второго рода гиперболического оператора (5) даются формулами

(6)

где

, - функции Бесселя мнимого аргумента,

, - символ Кронекера.

3.1. Представим оператор в виде

()

где - оператор дифференцирования по вдоль характеристики с номером Будем говорить, что функция со значениями в принадлежит классу , если: 1) (); 2) для каждой компоненты вектора существует производная

().

Далее в пунктах 3.2, 3.3 под решением (обобщенным) системы (5) понимается функция класса , удовлетворяющая равенству , где оператор понимается в смысле ().

3.2. Полубесконечный стержень. Процесс распространения тепла моделируется краевой задачей в четверть плоскости :

(7)

Здесь , выполняется условие согласования нулевого порядка . Задача (7) однозначно разрешима в классе .

Тепловая волна распространяется со скоростью , поэтому влияние управления за время сказывается на участке стержня. Зафиксируем функцию

.

Поставим задачу отыскания управления , обеспечивающего выполнение равенства

(8)

Рис. 2

Построим на отрезке непрерывную вектор-функцию

Рассмотрим в «усеченном конусе» (рис. 2) задачу Коши для оператора (5)

Решение этой задачи вычисляется по формуле из §1.1 с учетом формул (6) для матриц Римана оператора (5). Последующее применение процедуры, указанной в пункте 2.1, дает следующий результат.

Теорема 2.1. Каждой функции отвечает решение задачи управления (7), (8), вычисляемое по формуле



где - решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода

,

- элементы матрицы (6).

3.3. Стержень конечной длины. В этом случае процесс теплопереноса описывается краевой задачей в полуполосе :

(9)

Здесь , выполняются условия согласования нулевого порядка Задача (9) однозначно разрешима в классе .

Задача управления состоит в вычислении пары (двустороннее управление) либо одной из функций при фиксированной второй (одностороннее управление), обеспечивающих во всех точках стержня выполнение равенства (8) при заданных ,

.

Предполагается в этом случае идущие от концов стержня управляющие тепловые импульсы успевают пройти стержень хотя бы один раз. Ниже приводится результат для случаякогда управление двустороннее и . В этой ситуации усеченный конус имеет вид, указанный на рис. 3.

Представим функцию в виде

(10)

Зададимся функциями

.

Поставим в соответствие паре функцию на отрезке как решение интегрального уравнения Вольтерра

(11)

паре функцию на отрезке как решение уравнения

(12)

где

- элементы матрицы (6).

Теорема 2.4. Каждому разбиению (10) функции и каждой паре функций , указанных выше, отвечает решение поставленной задачи управления, вычисляемое по формулам

где ,- решения интегральных уравнений (11), (12),

.

4. Процесс распространения тепла в пластинке моделируется краевой задачей в цилиндре :

 (13)

Здесь - звездная относительно точки ограниченная область в с границей ,

(14)

Предполагается , (символ обозначает множество бесконечно гладких функций с носителем, отделенным от границы области). В этой ситуации выполняются условия согласования всех порядков, и задача (13) однозначно разрешима в классе .

Задача управления состоит в отыскании функции , обеспечивающей при заданных выполнение равенства

(15)

Предполагается где - радиус минимального круга с центром в точке , содержащем область . За это время выходящий из каждой точки тепловой импульс успевает достигнуть любой точки пластинки. Ниже приводится результат для случая . В этой ситуации характеристический усеченный конус в полупространстве имеет своим верхним основанием круг

в плоскости и нижним основанием - круг

в плоскости (рис. 4).

Требование принято для простоты изложения; для того, чтобы выполняемые ниже построения были корректными, достаточно принять , при достаточно большом .

4.1. Рассмотрим семейство ортов

Поставим в соответствие двумерному гиперболическому оператору (13) семейство одномерных гиперболических операторов

, (16)

.

Матрицы Римана операторов будем называть матрицами Римана двумерной гиперболической системы (13).

Лемма 1.2. Матрицы Римана двумерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (13) даются формулами

(17)

(18)

где

, .

4.2. Рассмотрим в усеченном конусе задачу Коши

(19)

где - оператор (13). Задача (19) однозначно разрешима в классе .

Теорема 3.1. Пусть начальная функция представлена в виде суперпозиции плоских волн:

, , (20)

Где

.

Тогда решение задачи Коши (19) дается формулой

где - решение задачи Коши

, - матрицы (17), (18).

4.3. Подход к решению задачи управления (15) состоит в построении функций таких, что решение задачи Коши (19) с начальной функцией (20) удовлетворяет требованию (15), и последующем применении формулы вида (4).

Представляя функцию , продолженную нулем из в , интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:

,

, (21)

где - преобразование Фурье функции . Представим функцию в виде

(22)

где

и равны нулю на малых отрезках вблизи точек соответственно . Зададим в кольце вектор-функцию

(23)

Зафиксируем . Обозначим - ограничения на интервалы соответственно

, . (24)

Поставим в соответствие параметр

, функции ,

как решение интегральных уравнений Вольтерра второго рода

(25)

Где

- элементы матриц (17), (18).

Обозначим

. (26)

Теорема 3.3. Каждому разбиению (22) функции и каждой вектор-функции (23) отвечает решение поставленной задачи управления, вычисляемое по формуле (4), где - первая компонента решения задачи Коши (19) с начальной функцией (20), (26).

Процедура вычисления описана в §3.2.

5. Процесс распространения тепла в пространственном теле описывается краевой задачей в цилиндре :

(27)

Здесь - звездная относительно точки ограниченная область в с границей ,

матрицы строятся по аналогично (14). Предполагается , .

Задача управления состоит в отыскании функции , обеспечивающей выполнение равенства (15) при заданных

.

Предполагается

.

Ниже приводится результат для случая

.

5.1. Введем семейство ортов

Поставим в соответствие оператору (27) семейство операторов (16), где

Матрица вычисляется аналогично двумерному случаю.

Матрицы Римана операторов будем называть матрицами Римана трехмерной гиперболической системы (27).

Лемма 1.3. Матрицы Римана трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (27) даются формулами

(28)

(29)

где

.

Рассмотрим в усеченном конусе задачу Коши (19), где - оператор (27).

Теорема 3.2. Пусть начальная функция представлена в виде суперпозиции плоских волн:

,

. (30)

Тогда решение задачи Коши (19), (27) дается формулой

где - решение задачи Коши

:

, - матрицы (28), (29).

5.2. Решение задачи управления проводится по такой же схеме, как в пункте 4.3. Разложение функции в суперпозицию плоских волн имеет вид

,

где дается формулой (21) с заменой на и множителя на . Представим функцию в виде суммы (22). Зададим в сферическом кольце вектор-функцию

(31)

и пусть - ограничения на интервалы (24) при фиксированном . Поставим в соответствие парам

,

функции , как решения интегральных уравнений (25), где

(32)

- элементы матриц (28), (29).

Теорема 3.5. Каждому разбиению (22) функции и каждой вектор-функции (31) отвечает решение поставленной задачи управления, вычисляемое по формуле (4), где - первая компонента решения задачи Коши (19), (27) с начальной функцией (30), (26), где - решения интегральных уравнений (25), (32).

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Р.К. Романовскому за постановку задач, внимание, советы и замечания на протяжении всей работы.

Основные публикации автора по теме диссертации

1. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. - 2007.- Т. 43, № 5.- С. 650-654.

2. Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. математики - 2007.- Т 10, № 4(32).- С. 32-40.

3. Жукова, О.Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения.- 2008.- Т. 44, № 1.- С. 82-88.

4. Романовский, Р.К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Сиб. журн. индустр. математики - 2008.- Т 11, № 3(35).- С. 119-125.

5. Романовский, Р.К. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном твердом материале / Р.К. Рома-новский, О.Г. Жукова // Доклады АН ВШ РФ.- 2006.- № 1(6). - С. 69-77.

6. Жукова, О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Омский гос. техн. ун-т.-- Омск, 2007.- 10с.: ил.-1.- Деп. в ВИНИТИ 04.12.2007, № 1126 - В 2007.

7. Жукова, О.Г. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном материале / О.Г. Жукова // Тез. докл. Междунар. конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10-15 июля 2006).- Владимир, 2006.- С.102-103.

8. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса / О.Г. Жукова // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: труды IX Междунар. Четаевской конференции (Иркутск, 12 - 16 июня 2007). - Иркутск, 2007. - Т. 3. - С. 86-91.

9. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом распространения тепла в полубесконечном стержне. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Математика в современном мире: тез. докл. Российской конференции (Новосибирск, 17 - 23 сентября 2007). - Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2007. - С. 162-163.

10. Жукова, О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Тез. докл. Междунар. конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 26 июня -2 июля 2008). - Владимир, 2008.- С. 106-108.

11. Романовский, Р.К. Граничное управление двумерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Дифференциальные уравнения и топология.: тез. докл. Междунар. конференции (Москва, 17 - 22 июня 2008).- Москва, 2008. - С. 179-180.

Размещено на Allbest.ru