Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла в экранированных слоях, связанных через отверстие

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла в экранированных слоях, связанных через отверстие

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Общая характеристика работы

галеркин максвелл дифракция

Диссертация посвящена аналитическому и численному исследованию векторной задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие. Это - задача дифракции электромагнитного поля на ограниченном отверстии в идеально проводящей бесконечно тонкой плоскости, расположенной между двух идеально проводящих бесконечно тонких плоскостей, причем электродинамические параметры сред между плоскостями могут быть различны.

Актуальность темы

Изучение задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, является актуальным в связи с тем, что она находит широкое применение в электродинамике.

Кроме того, она представляет и самостоятельный математический интерес, поскольку общие методы исследования нелинейных задач на собственные значения в неограниченных областях недостаточно разработаны. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен и с теоретической, и с практической точек зрения.

Разработка численных методов для решения задач этого класса также является актуальной. Результаты аналитического исследования могут существенно помочь при разработке численных методов.

Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (P. Werner, Ю.Г. Смирнов, А.С. Ильинский, Ю.В. Шестопалов).

Цель работы:

- исследование векторной краевой задачи для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие;

- исследование свойств оператор-функции задачи и доказательство теоремы единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение;

- исследование спектра задачи в случае сред без поглощения;

- сведение краевых задач дифракции для уравнений Гельмгольца к интегродифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям; доказательство теорем о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева; доказательство теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнения;

- обоснование и реализация численного метода Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике.

Научная новизна:

- векторная краевая задача для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, сведена к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца;

- доказана теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение;

- устанавлена голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказана дискретность спектра задачи в случае сред без поглощения;

- краевые задачи дифракции для уравнений Гельмгольца сведены к интегродифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям. Доказаны теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева. Доказаны теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнениям;

- применен, обоснован и реализован численный метод Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике. Представлены результаты численных расчетов.

Практическая значимость

Полученные в диссертации результаты о свойствах и распределении спектра представляют интерес при моделировании устройств в электронике и радиотехнике.

Большое практическое значение в представленной работе имеет сведение краевых задач к интегральному и интегродифференциальному уравнениям на отверстии, которые могут быть эффективно решены численными методами.

Реализация и внедрение полученных результатов

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ПГУ: РФФИ 06-07-89063а.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

– XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006);

– X Международной научно-методической конференции «Университетское образование» (Пенза, 2006);

– научном семинаре кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета (2009);

– научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина (2009).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата, одна работа - из списка журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 91 наименование. Работа изложена на 100 страницах машинописного текста, содержит 7 графиков.

Содержание работы

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты работы.

Первая глава посвящена постановке задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие и сведению векторной задачи для системы уравнений Максвелла к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

Рассмотрим задачу дифракции стороннего монохроматического электромагнитного поля в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Пусть и

- слои, сформированные тремя идеально проводящими и бесконечно тонкими параллельными плоскостями, отверстие  - ограниченная область с кусочно-гладкой границей , состоящей из конечного числа простых дуг класса , сходящихся под углами отличными от нулевого (Рис. 1).

Будем решать задачу дифракции в области .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.

Предполагается, что падающее поле является решением системы уравнений Максвелла

, ,

в слое без отверстия с краевым условием

и создается источниками, расположенными вне , поэтому

.

Поле в слое тождественно равно нулю.

Будем считать, что среды в и имеют постоянные электромагнитные параметры , и , соответственно, относительно которых предполагаем, что , , , , , , , где  - круговая частота.

Задача дифракции на отверстии , соединяющем два параллельных слоя и , состоит в определении рассеянного электромагнитного поля

, (1.1)

где , , удовлетворяющего однородным уравнениям Максвелла

, , (1.2)

где , в и , в ,

краевым условиям

(1.3)

для касательных к поверхности идеального проводника составляющих электрического поля, где

, ,

условиям сопряжения на границе раздела сред

, (1.4)

, (1.5)

где , условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме

(1.6)

и условиям на бесконечности: при (при аналогично) -

если или , то для компонент или и или

, (1.7)

равномерно по всем направлениям и по ;

если и то требуем, чтобы коэффициенты Фурье

, , (1.8)

для компонент или и или , удовлетворяли условиям

, (1.9)

при (, если и , если ),

, (1.10)

при , и

, (1.11)

при , равномерно по всем направлениям и по . Здесь и .

Определение 1.1. Решение задачи (1.1) - (1.11) будем называть квазиклассическим решением задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Для полного поля имеем , в .

Компоненты полей удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца с параметром :

, (1.12)

где при , при .

При для всех и , где векторная задача может быть сведена к двум скалярным. Компоненты выражаются через коэффициенты Фурье компонент .

Из уравнений Максвелла (1.2) получаем, что для :

, (1.13)

, (1.14)

, , (1.15)

, (1.16)

(1.17)

со сформулированными выше условиями на бесконечности (1.7) - (1.11). Здесь  - пространство Соболева.

Определение 1.2. Решение задачи (1.13) - (1.17) будем называть квазиклассическим решением задачи дифракции для компоненты в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Аналогично, для имеем краевую задачу:

, (1.18)

, (1.19)

, (1.20)

, (1.21)

(1.22)

со сформулированными выше условиями на бесконечности (1.7) - (1.11).

Определение 1.3. Решение задачи (1.18) - (1.22) будем называть квазиклассическим решением задачи дифракции для компоненты в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Теорема 1.1. Пусть , где . Если и являются квазиклассическими решениями краевых задач (1.13) - (1.17) и (1.18) - (1.22), то и является квазиклассическим решением задачи (1.1) - (1.11), компоненты полей выражаются через коэффициенты Фурье функций и . Обратно, если и является квазиклассическим решением задачи (1.1) - (1.11), то и являются квазиклассическими решениями краевых задач (1.13) - (1.17) и (1.18) - (1.22).

Вторая глава посвящена изучению соответствующей однородной задачи, поскольку она может иметь нетривиальные решения при некоторых , что приведет к неоднозначной разрешимости исходной задачи дифракции.

Теорема 2.1. Однородная краевая задача при , , , , и дополнительном условии имеет только тривиальное решение.

Теорема 2.2. Однородная краевая скалярная задача для при , , , , и дополнительном условии имеет только тривиальное решение.

Теорема 2.3. Однородная краевая скалярная задача для при , , , , и дополнительном условии имеет только тривиальное решение.

Функция Грина 1-го рода для уравнения Гельмгольца (1.12), где и , может быть представлена в одной из следующих форм:

, (2.1)

для , где и или

(2.2)

где , ,  - функция Ханкеля нулевого порядка первого рода. Формулы (2.1) и (2.2) имеют смысл при и . Отметим, что функция Грина определена при .

Выделим особенность функции при и , пользуясь представлением (2.2). Имеем

где и производные по и зависят непрерывно от и в области , .

Лемма 2.1. Пусть , , и . Тогда функция Грина при допускает аналитическое продолжение в область , где , для некоторого .

Лемма 2.2. Функция Грина аналитична по на множестве .

Лемма 2.3. Функция Грина 1-го рода допускает представление:

где и .

Для функции Грина 2-го рода для уравнения Гельмгольца (1.12), где и , верны следующие представления:

, (2.3)

для , где и или

(2.4)

где . Здесь  - функция Ханкеля нулевого порядка первого рода и  - символ Кронекера. Отметим, что функция Грина не определена при . Формулы (2.3) и (2.4) имеют смысл при и .

Лемма 2.4. Пусть , , и . Тогда функция Грина при допускает аналитическое продолжение в область , где , для некоторого .

Лемма 2.5. Функция Грина аналитична по на множестве .

Лемма 2.6. Функция Грина 2-го рода допускает представление:

где и .

Введем пространство распределений Соболева. Положим для любого ,

и .

Обозначим через , множество значений , при которых функции Грина не определены, .Будем рассматривать краевые задачи на собственные значения относительно спектрального параметра в области в , .

Рассмотрим первую скалярную задачу. Представим решение в виде

,

 при , при .

Обозначим при , при . Задача сводится к интегральному уравнению:

,

.

Представим в следующем виде:

,

где , ,  - интегральные операторы:

,

,

.

Примем обозначения , , .

Теорема 2.4. является фредгольмовым оператором.  - компактный оператор для всех . Оператор  - фредгольмов для всех таких, что .

Теорема 2.5. Пусть , , . Спектр оператор-функции при представляет собой дискретное множество изолированных характеристических чисел конечной алгебраической кратности.

Рассмотрим вторую скалярную задачу. Представим решение в виде

при , при .

Обозначим при , при . Задача сводится к интегродифференциальному уравнению:

.

Представим в следующем виде:

,

где , ,  - интегральные операторы:

,

,

.

Примем обозначения , , .

Теорема 2.6. является фредгольмовым оператором.  - компактный оператор для всех . Оператор  - фредгольмов для всех таких, что .

Теорема 2.7. Пусть , , . Спектр оператор-функции при представляет собой дискретное множество изолированных характеристических чисел конечной алгебраической кратности.

В третьей главе рассматривается задача дифракции на отверстии. Осуществляется сведение краевых задач дифракции к интегральному или интегродифференциальному уравнению и исследуется вопрос разрешимости этих уравнений.

Рассмотрим скалярную задачу (1.13) - (1.17) для . Она может быть сведена к интегральному уравнению на

, (3.1)

, , , (3.2)

и , , (3.3)

Рассмотрим скалярную задачу (1.18) - (1.22) для . Получаем гиперсингулярное интегродифференциальное уравнение на отверстии :

(3.4)

, , . (3.5)

Пусть  - спектр оператор-функции и  - спектр оператор-функции .

Теорема 3.1. Пусть , , . Уравнение (3.1) однозначно разрешимо при любой правой части при .

Теорема 3.2. Пусть , , . Уравнение (3.4) однозначно разрешимо при любой правой части при .

В случае, когда одна из сред имеет поглощение можно усилить результат предыдущих теорем.

Теорема 3.3. Пусть , , и выполнено дополнительное условие . Тогда уравнение (3.1) однозначно разрешимо при любой правой части при .

Теорема 3.4. Пусть , , и выполнено дополнительное условие . Тогда. уравнение (3.4) однозначно разрешимо при любой правой части при .

Рассмотрим представление решения задачи (1.13) - (1.17) с помощью потенциала

, (3.6)

при , при , где  - решение уравнения (3.1).

, ,

где запись означает разность предельных значений функции при и в точках .

Теорема 3.5. Если является решением уравнения (3.1) с правой частью (3.2) - (3.3), то формула (3.6) дает квазиклассическое решение задачи (1.13) - (1.17). Обратно, если  - квазиклассическое решение задачи (1.13) - (1.17), то уравнение (3.1) имеет решение .

Рассмотрим представление решения задачи (1.18) - (1.22) с помощью потенциала

(3.7)

 при , при , где  - решение уравнения (3.4).

С учетом знака в формуле (3.7), находим

, ,

где запись означает разность предельных значений функции при и в точках .

Теорема 3.6. Если является решением уравнения (3.4) с правой частью (3.5), то формула (3.7) дает квазиклассическое решение задачи (1.18) - (1.22). Обратно, если  - квазиклассическое решение задачи (1.18) - (1.22), то уравнение (3.4) имеет решение .

В четвертой главе описывается численный алгоритм решения интегрального уравнения со слабой особенностью (3.1).

Пусть , и уравнение (3.1) имеет единственное решение, где  - интегральный оператор.

Будем проводить аппроксимации элементами , где  - -мерное пространство. Методом Галеркина находим из системы уравнений

(4.1)

Каждый элемент матрицы получается путем вычисления четырехкратного интеграла:

.

Пусть прямоугольная область,. Построим в области равномерную прямоугольную сетку:

,

с шагом по оси и шагом по оси.

В качестве базисных функций выбираем функции вида:

(4.2)

Будем рассматривать семейство из функций , . Выбранные функции удовлетворяют условию аппроксимации в пространстве .

Теорема 4.1. Метод Галеркина (4.1) для уравнения (3.1) с выбором базисных функций (4.2) сходится.

Был произведен расчет решения интегрального уравнения (3.1) с правой частью и параметрами , , , на квадратном отверстии для сеток размера , , . Результаты представлены в графическом виде. Уменьшение шага сетки приводит к более точному решению. Имеет место внутренняя сходимость метода. Все это позволяет применять выбранный метод Галеркина для получения корректных численных результатов.

Основные результаты диссертации

1. Векторная краевая задача для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, сведена к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

2. Доказана теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение.

3. Устанавлена голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказана дискретность спектра задачи в случае сред без поглощения.

4. Краевые задачи дифракции для уравнений Гельмгольца сведены к интегродифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям. Доказаны теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева. Доказаны теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнениям.

5. Применен, обоснован и реализован численный метод Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике. Представлены результаты численных расчетов.

Публикации по теме диссертации

1. Родионова И.А. Разработка Web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархических параллельных алгоритмов./ А.В. Антонов, М.Ю. Медведик, И.А. Родионова, Ю.Г. Смирнов // Материалы седьмой международной конференции-семинара «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах». Издательство Нижегородского университета, Нижний Новгород, 2007. - с. 25-31.

2. Родионова И.А. Субиерархический параллельный вычислительный метод для электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие. / М.Ю. Медведик, И.А. Родионова // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». Том 1 - 2006. - с. 272-274.

3. Родионова И.А. Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие. / М.Ю. Медведик, И.А. Родионова, Ю.Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №1 - 2009. - с. 70-80.

4. Родионова И.А. Метод Галеркина для электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие. // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». Том 1 - 2006. - с. 279-280.

5. Родионова И.А. О фредгольмовости электромагнитной задачи о собственных колебаниях в экранированных слоях, связанных через отверстие в экране. // Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (9-21 апреля 2006 г.), Москва - 2006.

6. Родионова И.А. Проблемы вычисления двумерных интегралов, содержащих слабую особенность. // Университетское образование: сборник статей X Международной научно-методической конференции, Пенза - 2006. - с. 418-420.

7. Родионова И.А. Фредгольмовость электромагнитной задачи о собственных колебаниях в экранированных слоях, связанных через отверстие в экране. // Труды международного симпозиума «Надежность и качество», - 2005 - с. 150-152.

8. Родионова И.А. О собственных волнах двухслойного волновода с отверстием. / И.А. Родионова, Ю.Г. Смирнов // Труды международного юбилейного симпозиума (АПНО 2003), Пенза, 19-22 ноября, Т.1 - 2003.

9. Родионова И.А. О фредгольмовости электромагнитной задачи о собственных колебаниях в слоях, связанных через отверстие. / И.А. Родионова, Ю.Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки №5 - 2004. - с. 39-48.

10. Родионова И.А. Сведение векторной электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие, к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца./ Ю.Г. Смирнов, И.А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №1 - 2007. - с. 40-46.

Размещено на Allbest.ru