О суммах почти-периодических многозначных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

О СУММАХ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Низомхонов Э.Н.

Карши ДУ (Узбекистан)

В настоящей работе рассмотрены основные свойства суммы почти-периодических многозначных функций, значениями являются компактные множества пространства .

Значительно сложнее доказать, что сумма двух почти-периодических (п.п) многозначных функции есть многозначная п.п. функция. Первое доказательство этой теоремы для однозначной функции дал Г. Бор. Впоследствии Бохнер дал других определение для однозначной п.п. функций, на которого почти-периодичность суммы следует непосредственно. В последующем оказалась, что определение Бохнера очень полезно и во многих других вопросах теории п.п. функций. Дадим теперь определение для многозначная п.п. функций, по Бохнеру, и докажем эквивалентность этого определения с определением Бору.

Определение-1. - непрерывная многозначная функция называется нормальной функцией, если семейство многозначных функций компактно в смысле равномерной сходимости в -метрике на всей R, то есть если бесконечной последовательности функций

можно выбрать равномерно сходящуюся на всей R подпоследовательность.

1-теорема. Для того, чтобы - непрерывная многозначная функция была п.п. функцией, необходимо и достаточно, чтобы она являлась нормальной функцией.

Доказательство. Необходимость. Пусть многозначная п.п. функция и произвольная бесконечная последовательности действительных чисел. Следует показать, что из

последовательности можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность. Применим диагональный метод. Обозначим через счетное, всюдуплотное множество действительных чисел. Так как - ограничена (см. теорему 1 [6]), то из последовательности

можно выбрать сходящуюся подпоследовательность:

Точно также на числовой последовательности

можно выбрать сходящуюся подпоследовательность:

Продолжим этот процесс и рассмотрим затем диагональную последовательность функций

(1)

Покажем, что диагональную последовательность (1) сходится во всех точках счетного, всюду плотного множества.

В самом деле, пусть - произвольная точка на счетного множества точек. Согласно нашей конструкции последовательность

(2)

сходится, причем при все члены последовательности (1) сходят также в последовательность (2).

Поэтому последовательность (1) сходится в любой точке . Покажем теперь, что последовательности (1) сходится на всей R.

Пусть - i произвольное действительных число и . Выберем число согласно определению 1 и число согласно теореме 2 (см. [6]). Интервал покроем интервалами и в каждом из интервалов длины выберем точку из счетного всюду плотного множества. Обозначим выбранные точки через . При фиксированном также фиксировано, поэтому из сходимости последовательности (1) в точках следует, что можно указать такое достаточно большое целое число , что для выполняются неравенств:

(3)

Пусть - почти-период многозначной функции заключенный в . Тогда число лежат в и значит, при некоторой . Следовательно,

(4)

Из неравенств (3) и (4) следует

И так как N от числа не зависит, а и были выраны произвольно, то (1) сходится равномерно на R. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть -непрерывная многозначная функция на R и семейство компактно. Следует показать, что - многозначная п.п. функция. Допустим противное, то есть предположим, что для некоторого нельзя указать соответствующую длину . Это означает, что существует последовательность интервалов длины которых неограниченно растут так, что ни в одном из интервалов нет - почти-периодов многозначные функции .

Пусть, - произвольное число и - выбрано так, что лежит в интервале . Выбираем что и число так, чтобы оба числа и лежат в интервале . Выбираем интервал из условия,

и число таким, чтобы оба числа , , лежали в интервалы . Вообще выбираем так, что

и так, чтобы числа . Покажем теперь, что из последовательности функций

почти периодический функция последовательность

Нельзя выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность

ибо по построению все числа интервалу и ни одно из чисел этого интервала не есть почти-период многозначной функции .

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Заметим, что в [3] va [4] это теорема доказана другим методом.

Покажем, что для множеств на справедливо неравенство

(5)

Действительно, пусть и любое. Тогда , где - окрестность множества М. Для любых существует такие, что

.

Тогда

Следовательно,

.

Аналогично доказывается, что

.

Поэтому

Так как любое, то неравенства (5) доказано.

2-теорема. Сумма многозначных п.п. функций также является многозначной п.п. функцией.

Доказательство. многозначные п.п. функции. Согласно теореме 1 семейство компактны. Легко видеть, что семейство функций также компактно. В самом деле, пусть, например, дана последовательность функций . Сначала выберем подпоследовательность , для которой последовательность функций сходится равномерно, а затем из подпоследовательность выберем подпоследовательность , для которой сходится равномерно. Так как

,

то подпоследовательность равномерно сходится к функции .

Поэтому семейство компактно и, значит, в силу теоремы 1 - многозначная п.п. функция. Покажем, что для множеств из справедливо неравенство

(6)

Действительно, пусть любое и для определенности . Тогда

,

.

Аналогично проверяется, что

.

Откуда следует (6).

Литература

1. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953. 396 с

2. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд. МГУ. 1978.

3. Banzaru T. Aplicatii multivoce aproape-periodioe, Bul.Sti.Pehnic Inat. Polteehnic Fimisoava. Mat.fiz.-mec. 19(33). fabc, 1 (1974), p. 25 -26.

4. Banzaru T., Cvivat N. Asupva aplicat multivoce apvoape-periodice cu volovi in spatii uniforme. Bul. Sti Pehnis Inst. Politechnic Fimisoava, Mat.-fiz., 1981, 26 (40) fasc (2) p. 47 -51.

5. Borisovich Yu. G. Va boshqalar “Ko`pqiymatli akslantirishlar nazariyasiga kirish” Voronej. Izd. BGU. 1986.

6. Поволоцкий А.И., Низомханов Э. О почти-периодических многозначных функциях. Ульянов. Изд., УГУ, 1986. С. 90 -97.

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

Размещено на Allbest.ru