Обобщенные последовательности рекуррентных чисел и приведенные тождества Кассини

Размещено на http://www.allbest.ru/

Белорусский государственный университет транспорта

Обобщенные последовательности рекуррентных чисел и приведенные тождества Кассини

К.т.н., почетный проф. БелГУТ

Почетный академик МАН Семенюта Н.Ф.

Аннотация

В статье рассмотрены принципы формирования целочисленных и дробных обобщенных числовых в последовательность, приведены тождества Кассини чисел Фибоначчи и методы их приведения к тождеству типа Кассини обобщенных чисел.

Ключевые слова: последовательности рекуррентных чисел; обобщенные рекуррентные числа, тождество Кассини; привиденные тождества Кассини.

Введение

В работах [1, 2, 3] были приведены результаты исследованию параметров лестничных однородных электрических цепей с помощью числовых последовательностей Фибоначчи, их связи с цепными матрицами, тождеством Кассини и гиперболическими функциями.

В настоящей статье приведенны результаты исследования обобщенных рекуррентных последовательностей и приведенных тождеств типа Кассини, проявляющихся в электрических моделях золотого сечения и гармонических пропорциях [4, 5].

1. Обобщенные последовательности чисел

Обобщенные последовательности чисел формируются по рекуррентному соотношению:

G_n = G_n-₁ + G_n-₂. (1)

В зависимости от значения начальных чисел G₁ и G₂ соотношение (1) порождает бесконечное множество числовых последовательностей, в том числе и последовательности Фибоначчи (G₁ = F₁ = 1, G₂ = F₂ = 1), Люка (G₁ = L₁ =1, G₂ = L₂ = 3) и др. Если обозначить G₁ = р и G₂ = q, то обобщенная числовая последовательность (1) примет следующий вид:

G₁ G₂ G₃ G₄ G₅ G₆ G₇ …

G_n(p;q) р, q, p + q, p + 2q, 2p + 3q, 3p + 5q, 5p + 8q, … (2)

Из (2) следует общее правило образования последовательностей обобщенных рекуррентных чисел, в основе которых лежит последовательность Фибоначчи:

G_n(p;q) = pF_n-2 + qF_n-1, n = 3, 4, 5,… (3)

где F_n - числа последовательности Фибоначчи.

Таким образом, обобщенная рекуррентная последовательность (3) состоит из двух последовательностей типа Фибоначчи, которые начинаются числами G₁ = р и G₂ = q. Числа G₁ = р и G₂ = q своего рода гены, которые определяют значения всех последующих чисел и свойств обобщенных последовательностей. Они же определяют теоретико-числовые свойства последовательностей чисел. целочисленный дробный кассини

2. Последовательности Фибоначчи

В случае, когда числа G₁ = р = 1 и G₂ = q= 1 образуется основная последовательность чисел Фибоначчи:

F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ F₆ F₇ F₈ F₉…,

F_n(1;1) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… (4)

и члены последовательности образуются по рекуррентному соотношению:

F_n = F_n-1 + F_n-₂, n = 3, 4, 5,…

Суть основной последовательности Фибоначчи (4) не изменится если к ней добавить член F₀ = 0:

F₀ F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ F₆ F₇ F₈ …,

F_n(0;1) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… (5)

В соответствии с (3) обобщенные числовые последовательности образуются путем суммирования членов основной последовательности Фибоначчи (4) и соответствую- щего числа последовательности (5). В случае целочисленных значений G₁ = р и G₂ = q были получены следующие последовательности чисел:

G_n (p;q) G₁ G₂ G₃ G₄ G₅ G₆ G₇ G₈ G₉…,

F_n(1;1) 1 1 2 3 5 8 13 21, 34…, (6)

F_n(1;2) 1 2 3 5 8 13 21 34 55…, (7)

L_n(1;3) 1 3 4 7 11 18 29 47 76…, (8)

G_n(1;4) 1 4 5 9 14 23 37 60, 97… (9)

Таким образом, при р = 1 и q = 1 образуется основная последовательность Фибоначчи F_n(1;1) (6), при р = 1 и q = 2 - производная последовательность Фибоначчи (7), при р = 1 и q = 3 - последовательность Люка (8), при р = 1 и q = 4 последовательность (9). Приняв далее G₁ = 1 и G₂ = q, равным целым числам, получим другие рекуррентные последовательности.

В рассмотренных случаях G₁ = р и G₂ = q целые числа и числа последовательно- стей были также целыми числами. В случае, когда G₁ = р = 1, а G₂ = q=1/Н дробное число, получим дробные последовательности. Например, если G₁ = р = 1, а G₂= q = =1/2, то последовательность G_n = (1;1/2) имеет вид:

1

или

G_n(1;) (2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 …). (10)

Если G₂ = q =1/3, то последовательность G_n(1;1/3) имеет вид:

1

или

G_n(1;) (3 1 4 5 9 14 23 37…). (11)

Если G₂ = q = 1/4, то последовательность G_n(1;1/4) имеет вид:

1

или

G_n(1; ) (4 1 5 6 11 17 28 45 73…). (12)

Таким образом, при дробном G₂ = q = 1/Н обобщенная последовательность имеет вид:

G_n(1;1/Н) 1

или

G_n(1;1/Н) (Н 1 Н+1 Н+2 2Н+3 3Н+5 …). (13)

Последовательости в скобках соответствует последовательностям G_n(Н; 1), начинающейся с G₀ = Н Множитель последовательности равен 1/Н. Из полученных результатов (13) также следует объяснение появление члена L₀ = Н = =2 в известной последовательности Люка:

L₀ L₁ L₂ L₃ L₄ L₅ L₆ L₇ L₈ L₉…

L_n(2;1) 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76… (14)

Одной из частных последовательностей является, последовательность с начальными числами золотого сечения G₁ = р = Ф⁰= 1 и G₂ = =q = Ф¹ = 1,618:

G_n (1;Ф) G₁ G₂ G₃ G₄ G₅ G₆ G₇ …,

Ф⁰ Ф¹ Ф² Ф³ Ф⁴ Ф⁵ Ф⁶ …,

1 1,618 2,618 4,236 6,854 11,090 17,944… (15)

Если G₁ = р = 1 и G₂ = q = 1/Ф = 0,618, то числовая последовательность имеет вид:

G_n (1;1/Ф) G₁ G₂ G₃ G₄ G₅ G₆ G₇ …,

,

1 0,618 1,618 2,236 3,854 6,090 10,090 …

или

G_n (1;1/Ф) (Ф 1 Ф+1 Ф+2 2Ф+3 3Ф+5 5Ф+8 …).

Таким образом, обобщенные последовательности чисел G_n(p;q) для целочисленных значений q можно представить таблицей:

G₁ G₂ G₃ G₄ G₅…,

q = 1 1 1 2 3 5 …,

q = 2 1 2 3 5 8… ,

q = 3 1 3 4 7 11 …,

q = 4 1 4 5 9 14 …,

q = 5 1 5 6 11 17 …,

…… ………………………………….

аналогично для дробных значений q = 1/Н:

G₀ G₁ G₂ G₃ G₄ G₅…,

q = 1/1 (Н=1) 1 1 2 3 5 8… ,

q = 1/2 (Н=2) 2 1 3 4 7 11 …,

q = 1/3 (Н=3) 3 1 4 5 9 14 …,

q = 1/4 (Н=4) 4 1 5 6 11 17 …,

q = 1/5 (Н=5) 5 1 6 7 13 20…

……… ……. ………………………………..

3. Тождество Кассини

Одним из свойств чисел последовательности Фибоначчи (4) является тождество, получившее название тождество Кассини [3, 5].

- F_п-1F_п+1= -1(-1)^п (16)

или

- F_2nF_2n+2 = (-1)^п, - F_2n-1F_2n+1 = (-1)^п+1. (17)

В принципе тождество Кассини вытекает из свойства квадратов чисел Фибоначчи и оно являются частным случаем обобщенной числовой последовательности с q = 1[4].

4. Тождества типа Кассини обобщенной последовательности чисел

По аналогии с тождеством (5), соответствующим q = 1, можно установить тождества и для q = 2, 3, 4, 5, …:

q = 1, - G_п-1G_{п + 1} = -1(-1)^п, (18)

q = 2, - G_п-1G_{п + 1} = 1(-1)^п, (19)

q = 3, - G_п-1G_{п + 1} = 5(-1)^п, (20)

q = 4, - G_п-1G_{п + 1} = 11(-1)^п, (21)

q = 5, - G_п-1G_{п + 1} = 19(-1)^п (22)

……… ……………………….

Таким образом, тождество типа Кассини для обобщенных последовательностей чисел (18)-(22) в общем случае имеют вид:

- G_п-1G_{п +1} = M (-1)^п, q = 1, 2, 3, 4, 5,… (23)

Числа M(q) могут быть представлены в виде суммы двух числовых последовательностей:

М -1 1 5 11 19 29 41 …,

q 1 2 3 4 5 6 7 …,

или М в зависимости от q определяется из соотношения

М = q² - q - 1.

5. Приведенные тождества типа Кассини

Для приведения тождеств, начиная с (20) и более к тождествам типа Кассини, необходимо разделить их члены на М. Например, для приведения тождества (20), соответствующего последовательности чисел Люка, к тождеству типа Кассини необходимо разделить его состав- ляющие на 5:

или (24)

Аналогично способом можно получить приведенные тождества для других обобщенных последовательностей чисел. Так, например, для последовательности чисел с q = 4 (21):

и т. д.

Из приведенных тождеств Кассини могут быть также получены приведенные цепочечные матрицы [5].

Заключение

Из проведенного анализа свойства обобщенных числовых последовательностей следует, что простейшие числовые последовательности Фибоначчи (q = 1, 2) и Люка (q = 3), являются частными случаями обобщенной рекуррентной последовательности чисел. Параметрами обобщенных числовых последовательностей являются начальные числа (гены) р и q . В случае числовых последовательностей типа Фибоначчи р = 1 и основным параметром обобщенной последовательности остается только q. С числом q я связаны все их теоретико-числовые свойства, Параметр q характеризует также гармонические пропорции соответствующих числовых последовательностей.

Из анализа свойства обобщенных числовых последовательностей также следует, что свойства тождества Кассини для последовательностей Фибоначчи и Люка, являются частными случаями свойств обобщенной последовательности чисел. Соотношения обобщенной последовательности чисел и приведенных тождества Кассини являются также основой для дальнейших исследований однородных электрических цепей, создания электрических моделей гармонических последовательностей чисел и др. [6, 7].

Список литературы

1. Семенюта Н.Ф. Элементы математики гармонии в теории линейных электрических цепях. Междисциплинарные исследования в науке и образовании. - 2112. - № 1; URL www.es.rae.ru/mino/62-197.

2. Семенюта Н.Ф. О связи основного уравнения четырехполюсника и рекуррентных последовательностей чисел Фибоначчи. Междисциплинарные исследования в науке и образовании. - 2012. - № 1 K; URL: www.es.rae.ru/mino/158-814.

3. Семенюта Н.Ф. Связь параметров лестничных электрических цепей с матрицами чисел Фибоначчи и соотношением Кассини // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17969, 03.04.2013.

4. Семенюта Н. Ф. Обобщенные числовые последовательности типа Фибоначчи. // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.18140, 17.08.2013.

5. Семенюта Н.Ф. Еще немного о соотношении Кассини // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.18105, 16.07.2013.

6. Семенюта Н.Ф. Электрическая модель обобщенных рекуррентных чисел и рядов // «Академия Тринитаризма»: - http://trinitas.ru/rus.doc/0232/012a/02322014htm.12.03. 2009.

7. Семенюта Н. Ф. Электрические модели золотого сечения и рекуррентных последователь- ностей чисел / Гармоноческое развитие систем - третий путь человечества. - Одесса, ООО «Институт креативных технологий», 2011. - С. 87-94.

Размещено на Allbest.ru