Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теоретико-множественные основы описания дискретных систем

Введение

Круг задач, которые представляются дискретными моделями, чрезвычайно широк и разнообразен: графы, транспортные потоки, логические системы, информацинно-поисковые системы, системы распознавания образов и многие другие. Также, существует много задач, которые трудно или невозможно решить без того, чтобы не свести их к задачам дискретной оптимизации. Это, например, широкий класс задач нелинейной оптимизации. Особую трудность в решение дискретных задач вносит специфика многоуровневого управления, заключающаяся в том, что в дискретных моделях используются многоиндексные переменные. Однако методы формализации таких задач и алгоритмы их решения, как правило, излагаются разрозненно, в отдельных научных монографиях, статьях. Данное пособие позволит преодолеть этот разрыв и даст возможность студентам более обоснованно подойти к вопросам автоматизации проектирования дискретных многоуровневых систем, более глубоко освоить методы решения задач дискретной оптимизации.

1. Основные понятия теории множеств [1,2]

Понятие множества является одним из наиболее фундаментальных в современной математике. Основоположник теории множеств Георг Кантор дал следующее определение этому понятию: «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое хорошо различимых объектов нашей интуицией или нашей мыслью». Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Например, совокупность узлов некоторой заданной системы представляет собой множество. Множества обычно обозначаются большими латинскими буквами A, B, C и т.д., а элементы множеств - строчными латинскими буквами a, b, c и т.д. Принадлежность элемента к множеству фиксируется записью xX, где - символ принадлежности (читается: «х принадлежит Х» или «х входит в Х», или «х есть элемент множества Х»). Противоположное утверждение записывается в виде хХ.

Различают конечные множества, состоящие из конкретного числа элементов, бесконечные множества с бесконечным числом элементов и пустое множество, не содержащее ни одного элемента. Конечное множество, состоящее из некоторого числа n элементов, может быть задано простым перечислением этих элементов, которые записываются в фигурных скобках: X={x₁,x₂,…,x_n}. Другой способ, используемый при задании как конечных (при большом числе их элементов), так и бесконечных множеств, состоит в указании некоторого свойства Р(х), которым обладают элементы данного множества xX. Соответствующая запись имеет вид X={x/P(x)} и читается: «Х есть множество таких элементов, которые обладают свойством Р(х)». Пустое множество фиксируется посредством символа .

Множество Y называется подмножеством (частью) множества Х, если оно содержит только элементы, входящие в Х. Формальная запись при этом имеет вид YX, где - символ включения для множеств. Из приведенного определения следует, что для произвольного множества Х всегда имеют место соотношения XY и YX, т.е. множества состоят из одинаковых элементов. Множество Y называется собственным подмножеством множества Х, если выполняются следующие условия: YX, YX, Y. Данному определению соответствует запись YX, где - символ строгого включения для множеств. Строгое включение, так же как и простое, обладает свойством транзитивности.

множество многомерный матрица дифференцирование

2. Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество

АВ = {xxA или хВ}. (1.1)

Пересечением множеств А и В называется множество

АВ = {xxA и хВ}. (1.2)

Разностью множеств А и В называется множество

А\В = {xxA или хВ}. (1.3)

Универсальным множеством I называется такое множество, в которое другие рассматриваемые множества входят как подмножества. Универсальное множество удобно изображать графически в виде множества точек прямоугольника. Отдельные области внутри этого прямоугольника будут означать различные подмножества универсального множества. Изображение в виде областей в прямоугольнике, представляющем собой универсальное множество, называется диаграммой Эйлера-Венна. Универсальное множество обладает интересными свойствами

XI = I, (1.4)

XI =X. (1.5)

Множество , определяемое из соотношения , называется дополнением множества X (до универсального множества I). На диаграмме Эйлера-Венна (рис. 1.1) множество представляет собой незаштрихованную область.

Рис.1.1

Семейство {x₁, x₂, …, x_k} называется покрытием множества Х, если имеет место равенство X= x₁x₂…x_k. При этом x₁, x₂, …, x_k называют блоками покрытия. Важным частным случаем покрытия является разбиение. Семейство множеств {x₁, x₂, …, x_k} называется разбиением множества c блоками x₁, x₂,…, x_k, если X=x₁x₂…x_k; x_i>0, x_ix_j = , i j, 1 i,j k. Здесь x_i - число элементов множества x_i.

3. Тождества алгебры множеств

С помощью изложенных в п. 1.2 операций над множествами можно из множеств составить различные алгебраические выражения. При этом само алгебраическое выражение представляет собой некоторое множество. Если два алгебраических выражения представляют собой одно и то же множество, то их можно приравнять друг к другу, получая алгебраическое тождество. Приведем основные из тождеств, отражающих одновременно свойства операций над множествами.

1. Идемпотентность: АА = А; АА = А. (1.6)

2. Коммутативность: АВ = ВА; АВ = ВА. (1.7)

3. Ассоциативность: (АВ)С = А(ВС); (1.8)

(АВ)С= В(АС). (1.9)

4. Дистрибутивность: А(ВС) = (АВ)(АС) (1.10)

А(ВС) = (АВ)(АС). (1.11)

5. Поглощаемость: А(АВ) = А; (1.12)

А(АВ) = А. (1.13)

6. Единственность обратного: =A. (1.14)

7. Тождества де Моргана:

; (1.15)

. (1.16)

4. Упорядоченные множества элементов. Структура и способы представления многомерных матриц

Наряду с понятием множества как совокупности неупорядоченных элементов важным является понятие упорядоченного множества элементов. Многомерной матрицей (ММ) называется упорядоченная совокупность многоиндексных элементов _i1i2…i, где i=1,2,…n; Целые положительные числа , N_A=n₁n₂…n,n называются соответственно размерностью матрицы А, размером матрицы А, размером индекса i. Размерность показывает число индексов в обозначении элементов _i1i2…i матрицы. Размер N_A матрицы А указывает общее число элементов матрицы. Размер индекса n показывает, сколько значений (от 1 до n) пробегает соответствующий индекс.

Структура многомерных матриц определяется структурой их индексов. Структура индекса может быть столбцовой или строчной. Индексы, имеющие, например, строчную структуру (строчные индексы), показывают положение элементов внутри какого-либо столбца. При индексном представлении элементов матрицы целесообразно ставить знак + или - соответственно над столбцовым или строчным индексом. Например, - элементы обычной двухмерной (плоской) матрицы. Общее представление многомерной матрицы А имеет вид А = А(p,g), где р - число столбцовых индексов, g - число строчных индексов. Для получения индексного представления многомерной матрицы вводится помечивание индексов. Пометка начинается с последнего индекса, который при g0 принимается за строчный. Далее столбцовые и строчные индексы чередуются до тех пор, пока один из видов индексов не исчерпывается. При pg все оставшиеся индексы принимаются за столбцовые, при pg - за строчные. Числа p и g в сумме дают размерность матрицы А: p+g=. Если матрица А является функциональной, например зависит от времени t, от пространственных координат x, y и т.д., то структурные числа p и g следует отделять от аргументов точкой с запятой, например A=A(p,g;t,x,y). Для наглядного представления многомерной матрицы используют табличное представление. Табличное представление многомерной матрицы - это блочно-иерархическая таблица, отображающая на плоскости структуру матрицы и численные значения элементов. Иерархия согласована с иерархией индексов таким образом, что крайним левым индексам соответствуют наиболее крупные блоки. При этом столбцовые индексы изменяются в столбцах, а строчные - в строках. Примеры представления многомерных матриц приведены в табл.1.1.

Таблица 1.1

Общее представление	Индексное представление	Табличное представление
А(0,1)	{} i =	i = 1	i = 2
А(1,2)	{} i,j,k =		i =1	i =2
			k=1	k=2	k=1	k=2
		j=1	111	112	211	212
		j=2	121	122	221	222

В некоторых частных, но важных случаях приходится пользоваться плоскими табличными представлениями многомерной матрицы, которые являются обычными плоскими матрицами и получаются из табличного представления путем снятия всех перегородок. Их обозначают следующим образом:А_табл = {A(p,g)}_табл.

В ряде случаев записи математических выражений удобно представлять многомерные матрицы с помощью мультииндексов

, (1.17)

где ⁺ - столбцовый мультииндекс, имеющий вид столбца ⁺ = [i₁⁺, i₂⁺,…,I_p⁺]^T;

- строчный мультииндекс, имеющий вид строки =[j₁⁺, j₂⁺,…,j_q⁺]^T.

Следует отметить, что обозначение мультииндексов в соотношении (1.17) является условным, так как индексы должны располагаться в соответствии с правилом помечивания, т.е. чередоваться, а не группироваться по столбцовому и строчному признакам, как это следовало бы из буквального понимания соотношения (1.17).

5. Основные операции над многомерными матрицами

5.1 Умножение ММ на скаляр

При этом каждый элемент матрицы умножается на скаляр. С помощью мультииндексов это можно представить в виде

*={ }.

5.2 Сложение многомерных матриц

Суммировать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковые размерности, структуру и размеры. При этом суммирование осуществляется поэлементно: если

C(p,q)=A(p,q)+B(p,q) , то +.

5.3 Транспонирование ММ

Операция обозначается верхним индексом «Т» и заключается в замене структуры индексов на противоположную и в последующем упорядочении индексов в соответствии с правилами помечивания. Например, если

A=A(1,2)= {}, то B=A^T=B(2,1)= {},

так что = .

Структурные числа многомерной матрицы при транспонировании меняются местами: [A(p,q)]^T=[B(q,p)].

5.4 Свернутое произведение многомерных матриц

Оно образуется по следующим правилам.

1. Столбцовые индексы сомножителей или преобразуются (свертываются), или сохраняют свой порядок.

2. Строчные индексы или свертываются, или, сохраняя порядок в отдельных сомножителях, представляются обратно порядку следования сомножителей.

3. Все несвернутые индексы упорядочиваются в соответствии с правилами помечивания.

4. Свертка индексов производится тогда и только тогда, когда первый сомножитель содержит строчные индексы, а второй - столбцовые и размеры соответствующих индексов (столбцового и строчного) совпадают.

5. Свертка строчных индексов первого сомножителя по столбцовым индексам второго сомножителя производится в соответствии с их естественным порядком: первый строчный индекс первого сомножителя свертывается с первым столбцовым индексом второго сомножителя, второй - со вторым и т.д.

6. Свертка двух индексов заключается в том, что элемент результата образуется путем суммирования произведений элементов сомножителей по свернутому индексу. При этом два свернутых индекса обозначаются одинаково и теряют свою структуру. В индексном представлении многомерных матриц над свернутыми индексами целесообразно ставить знак ^о, что позволяет опускать знак суммы. Например, если С(1,1)=А(1,1)В(1,1), то

= . = . .

5.5 Кронекеровское произведение многомерных матриц

Данная операция является одним из средств, порождающих матрицы высоких размерностей, так как размерность и структурные числа результата являются соответственно суммой размерностей и структурных чисел сомножителей:

А(р_А,g_A)B(p_B,g_B) = C(p_C,g_C) = C(p_A+p_B,g_A+g_B).

Здесь - знак кронекеровского умножения многомерных матриц; р,g - структурные числа (столбцовые р или строчные g).

Табличное представление матрицы С, являющейся кронекеровским произведением, получается путем замены элементов матрицы А на скалярное произведение этих элементов и матрицы В:

*B.

Если использовать индексное представление многомерных матриц, то кронекеровское произведение отображается следующим образом:

=.

При этом все индексы матрицы С должны быть расставлены по правилу помечивания с учетом того, что столбцовые (строчные) индексы матрицы А предшествуют столбцовым (строчным) индексам матрицы В. Например, если С(4,3) = А(1,2) В(3,1), то

{a_i⁺_j^-_l^-}{b_m⁺_n⁺_f⁺_k^-} = {c_i⁺_m⁺_j^-_n⁺_l^-_f⁺_k^-}.

5.6 Скоттово (адамарово) произведение многомерных матриц

Кроме свернутого и кронекеровского произведений, иногда приходится рассматривать скоттово (адамарово) произведение многомерных матриц, которое обозначается знаком и образуется путем поэлементного перемножения соответствующих друг другу элементов матриц одинаковых размерностей, структуры и размеров:

A(p,q) b(p,q)={ }.

5.7 Векторизация многомерной матрицы

Это операция приведения всех индексов к одной структуре. В соответствии с этим различают два вида векторизации: столбцовую и строчную.

При столбцовой векторизации получается гиперстолбцовая матрица той же размерности. При этом строчные индексы переводят в столбцовые и, сохраняя их внутренний порядок, ставят после столбцовых индексов исходной матрицы. Векторизованную таким образом матрицу удобно отмечать знаком плюс над ее обозначением. Например, В(5,0) = А(3+2,0) есть результат столбцовой векторизации матрицы А(3,2)={}. Тогда =.

При строчной векторизации получается гиперстрочная матрица исходной размерности. При этом столбцовые индексы переводят в строчные и, сохраняя их внутренний порядок, ставят после строчных индексов исходной матрицы. Векторизованную таким образом матрицу удобно отмечать знаком минус над ее обозначением. Пусть С(0,5)=А(0,2+3) есть результат строчной векторизации матрицы А(3,2) = {} , тогда =.

5.8 Девекторизация многомерной матрицы

С помощью этой операции можно восстановить исходную матрицу по ее векторизованному виду. При столбцовой векторизации часть столбцовых индексов (ранее переводившихся из строчных) переводится в строчные и группой ставится впереди непереведенных столбцовых индексов. Далее индексы расставляются по правилу помечивания. Полученная девекторизованная матрица определяет структуру матрицы, а значения ее элементов устанавливаются по исходной векторизованной матрице при одноименных значениях индексов.

При строчной девекторизации часть строчных индексов (ранее переводившихся из столбцовых) переводится в столбцовые и группой ставится впереди непереведенных строчных индексов, и далее индексы расставляются по правилу помечивания. Полученная девекторизованная матрица определяет структуру матрицы, а значения ее элементов устанавливаются по исходной векторизованной матрице при одноименных значениях индексов.

5.9 Преобразования структуры векторов

Матрицы E(2,0) и E(0,2) удобно использовать для преобразования структуры векторов.

Z(0,1)*E(2,0)=Z(1,0);

{Z}*{e}={Z};

Z=;

E(0,2)*Z(1,0)=Z(0,1);

{e}*{ Z}={Z};

Z= Z.

5.10 Общий алгоритм структурных преобразований многомерных массивов данных

Операции транспонирования, векторизации и девекторизации представляют собой частные случаи структурных преобразований многомерных матриц. Общим свойством этих операций является то, что сами элементы многомерных матриц в результате преобразования не изменяются, а производится их упорядочение. При транспонировании меняются местами строки и столбцы матрицы; при векторизации строки матрицы выстраиваются в столбцы и из них образуется один общий вектор-столбец - гипервектор; девекторизация осуществляет обратную векторизации операцию.

Структура матрицы А(р,g) с размерностью = p+g, как уже отмечалось, определяется количеством индексов столбцового (р) и строчного (g) типа, а также порядком старшинства в пределах группы одного структурного типа. Старшинство индексов подчиняется правилу лексикографического упорядочения, т.е. убывает слева направо. Множество операций структурных преобразований многомерных матриц включает в себя такие действия над матрицами, которые приводят либо к перераспределению индексов матрицы группами столбцового и строчного типа, либо изменяют старшинство индексов, либо производят эти изменения в структуре матрицы одновременно. При этом должны выполняться требования сохранения размерности матрицы и неизменности значений ее элементов. Для определения числа различных структурных вариантов многомерной матрицы с размерностью представим матрицу А(р,g) в виде А(р, -р). Из последнего выражения видно, что существует +1 различных вариантов отнесения индексов к столбцовому либо строчному типу (показатель размерности р может принимать значения от 0 до ). Для конкретного варианта распределения количества индексов столбцового и строчного типа А(р,g) в свою очередь возможны различные размещение и старшинство индексов в группах. Количество различных вариантов такого рода равно числу перестановок из элементов: р = ! Таким образом, полное число различных вариантов структур матрицы с размерностью равно: N = (+1) ! = (+1)! Как видно, число N растет по факториальной зависимости и уже для обычной «плоской» матрицы (=2) дает 6 структурных вариантов.

Для выполнения структурных преобразований многомерных матриц, как это следует из предыдущего обсуждения, необходимо иметь в распоряжении правила (алгоритмы) для перераспределения индексов матрицы по группам столбцового или строчного типа и изменения их старшинства в пределах группы индексов одного структурного типа. Для решения первой части задачи могут быть использованы алгоритмы векторизации и девекторизации, а смену старшинства индексов можно осуществлять с помощью перестановочных матриц. Рассмотрим общее правило построения перестановочной матрицы, осуществляющей заданную смену старшинства индексов в многомерной матрице, имеющей гиперстолбцовую структуру А(р,0). Пусть А(р,0) имеет алгебраическое представление:

A(p,q)= . (1.18)

Тогда любая смена старшинства индексов ₁, ₂,..,_р осуществляется в результате левостороннего преобразования с перестановочной матрицей С(р,р):

А^С(р,0) = С(р,р)А(р,0), (1.19)

где А^С(р,0) - матрица А(р,0) с изменением старшинства индексов; С(р,р) - разновидность единичной матрицы, в алгебраическом представлении которой единичные векторы-строки имеют упорядоченность, совпадающую с порядком старшинства индексов в матрице А(р,0), а единичные векторы-столбцы упорядочены в соответствии со старшинством индексов, требующимся для А^С(р,0).

Пусть, например, требуется поменять порядок старшинства индексов в матрице (1.18) на обратный, тогда С(р, р) будет иметь алгебраическое представление:

C(p,p)= .

Действительно, раскрывая произведение матриц в выражении (1.19) с учетом (1.18) и последнего соотношения для С(р₁р), получаем

A^c(p,0)= ,

что соответствует требуемому виду перестановки старшинства индексов.

Аналогичный вид имеют перестановочные матрицы, которые используются в качестве правосторонних преобразователей для смены старшинства индексов в многомерных матрицах гиперстрочной структуры А(0,g) или, в общем случае, для смены старшинства индексов в группе индексов строчного типа в произвольной матрице А(р,g). Таким образом, если речь идет о смене старшинства индексов в матрице А(р,g) без изменения их структурного типа, то можно воспользоваться двухстронним перестановочным преобразованием:

А^с(р,g) = c₁(p,p)A(p,g)c_z(g,g).

Для получения общего алгоритма структурного преобразования многомерной матрицы целесообразно выделить три последовательных этапа трансформации А(р,g):

1) векторизация;

2) смена старшинства индексов в полученной после векторизации матрице гиперстолбцовой (гиперстрочной) структуры;

3) девекторизация, переводящая требуемую часть упорядоченных при выполнении п. 2 индексов в группу строчного (столбцового) типа. Структурная схема преобразования имеет, таким образом, следующий вид: А(р,g)-векторизация А(p+g,0), смена старшинства индексов А^C (,0), девекторизация, где предполагается, что p+g = r+s = .

Рассмотрим пример преобразования трехмерной матрицы А(1,2) с алгебраическим представлением:

A(1,2)=.

Требуется получить матрицу А^с(2,1) со структурой:

A^C(2,1)= .

1. Выполняем векторизацию матрицы А(1,2):

A(3,0)= .

2. Добиваемся требуемого старшинства индексов для нового структурного варианта А^с(2,1) на уровне его алгебраического представления А^с(3,0):

А^с(3,0)=C(3,3)*A(3,0)={ }*{}=.

3. Производим девекторизацию матрицы с переводом индекса j в группу строчных:

A^C(2,1)= .

5.11 Обращение многомерной матрицы

Многомерная матрица В=А^-1 называется обратной по отношению к гиперквадратной матрице А=(р,р), если выполняются следующие соотношения:

А(р,р)В = ВА(р,р) = Е(р,р). (1.20)

Обратная многомерная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель исходной гиперквадратной матрицы отличен от нуля. Численное обращение гиперквадратной матрицы может осуществляться путем плоского обращения ее двумерного табличного представления.

Псевдообратной многомерной матрицей В(g,p) = A⁺( g,p) по отно-шению к матрице А(р,g) называется матрица В, удовлетворяющая следующим аналогам условий Мура-Пенроуза [4]:

a) A(p,g)B(g,p)A(p,g) = A(p,g);

б) B(g,p)A(p,g)B(g,p) = B(g,p);

в)[B(g,p)A(p,g)]^T = B(g,p)A(p,g);

г) [A(p,g)B(g,p)]^T = A(p,g)B(g,p).

Псевдообратная матрица всегда существует, и ее табличное представление совпадает с результатом псевдообращения двумерного табличного представления исходной матрицы. При этом выполняется условие - если обратная матрица существует, то она совпадает с псевдообратной:

A⁺(p,g) = A^-1(p,g).

Таким образом, общее правило получения обратной матрицы можно записать следующим образом.

1. Обратная матрица строится на основе обращения (псевдообращения) ее табличного представления.

2. Индексы обратной матрицы располагаются так же, как при транспонировании матрицы. Построенная таким образом матрица определяет структуру обратной матрицы, а значения ее элементов устанавливаются по табличному представлению обратной матрицы. Примечание. Многомерные обратные матрицы могут использоваться для представления решения линейных многомерно-матричных уравнений типа А(р,р)Х(р,0)=В(р,0), которое дается соотношен Х(р,0) =А^-1(р,р)В(р,0).

5.12 Многомерно-матричное дифференцирование

Многомерно-матричная производная может быть определена следующим образом. Многомерная матрица Z(p+r,q+s), элементы которой являются частными производными элементов многомерно-матричной функции Y(p,q) по элементам многомерно-матричного аргумента X(r,s), называется многомерно-матричной производной Z(p+r,q+s)= =Y(p,q)/X(r,s). При этом индексы в результирующей матрице Z упорядочиваются по следующему правилу: столбцовые (строчные) индексы матрицыY(p,q) предшествуют столбцовым (строчным) индексам матрицы X(r,s) и расставляются по правилам помечивания индексов:

Z_ijkl=Y_ik/X_jl..

Производная Z(p+r,q+s) образуется путем замены каждого элемента матрицы Y(p,q) блоком Y_ik/X(r,s), а каждый такой блок представляет собой матрицу, в которой на месте элементов матрицы X(r,s), стоят соответствующие производные. Проиллюстрируем сказанное на примере дифференцирования обычных матриц.

Y(1,1)={Y_ij}= ;

X(1,1)={X_km}= .

При этом индексы i, k являются столбцовыми, а индексы j, m - строчными.

Производная Z(2,2)= Y(1,1)/X(1,1) имеет элементы Z_ijkm=Y_ij/X_km и следующее табличное представление:

Z(2,2)= .

5.13 Дифференцирование произведения матриц

(Y*Z)/X=(Y/X)*Z+Y*(Z/X) ;

здесь X,Y,Z - многомерные матрицы.

Таким образом, правила обычного (одномерного) дифференцирования сохраняются и для матричного дифференцирования произведения матриц.

5.14 Решение линейных многомерно-матричных уравнений на основе псевдообращения многомерной матрицы

Многоиндексные задачи линейного оценивания можно формализовать в виде многомерно-матричных уравнений

Y(p,0) = H(p,q)X(q,0) + V(p,0), (1.21)

где X(q,0) - гиперстолбец оцениваемых характеристик или массивов; Y(p,0) - гиперстолбец наблюдений или измерений; H(p,q) - известная переопределенная матрица преобразования; V(p,0) - гиперстолбец ошибок измерений. Операцию псевдообращения многомерной матрицы H(p,q) определяют через предел [4]:

H(q,p)=lim{[H(p,q)H(p,q)+ E(q,q)]H(p,q)}; (1.22)

0

где 0 - скаляр; E(q,q) - единичная многомерная матрица.

Рассмотрим пример. Для системы

найти pешение линейных многомерно-матричных уравнений на основе псевдообращения многомерной матрицы. На основе (1.22) можно записать равенство *X= .

Для любого 0 определитель этой системы отличен от нуля. Поэтому система имеет единственное решение

X= .

При 0 получаем X⁺= .

Важнейшим свойством многомерной псевдообратной матрицы является то, что операцию псевдообращения многомерной матрицы можно свести к операции псевдообращения ее табличного представления.

Матрица H⁺(q,p) может быть выражена через сингулярное разложение многомерной матрицы H(p,q).

Прямое и обратное сингулярные преобразования многомерной матрицы имеют вид

, (1.23)

, (1.24)

где U(p,p), V(q,q) - многомерные ортогональные матрицы собственных элементов для матриц H(p,q)H^T(p,q) и H^T(p,q), H(p,q) соответственно; ^1/2(p,q) - диагональная многомерная матрица сингулярных чисел H(p,q). Выражение для псевдообращения H(p,q) через сингулярное разложение запишется в виде

. (1.25)

Псевдообращение диагональных элементов ^1/2(p,q) означает вычисление их обратных значений, а для «нулевых» элементов (величина «нулевых» элементов меньше некоторого малого числа ) результат псевдообращения будет равен нулю. Основная трудность вычисления псевдообратной матрицы через сингулярное разложение заключается в нахождении матриц U(p,p), V(q,q). После определения многомерной псевдообратной матрицы псевдорешение многомерного уравнения (1.21) находится в виде

. (1.26)

Это решение минимизирует норму

Y(p,0) - H(p,q)X(q,0).

5.15 Решение линейных многомерно-матричных уравнений с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова

Для получения оценки X(q,0) согласно методу регуляризации А.Н. Тихонова определим основной критерий I и стабилизирующий функционал :

I = [H(p,q)X(q,0) - Y(p,0)]^TR^-1(p,p)*[H(p,q)X(q,0) - Y(p,0)] ; (1.27)

= X(0,q)Г(q,q)X(q,0) . (1.28)

Здесь Г(q,q) - положительно определенная многомерная матрица. При этом функционал А.Н.Тихонова можно записать в виде

I_k = I + _k . (1.29)

Дифференцируя (1.29) по X(q,0) и приравнивая производную к нулю, получим решение

X_k(q,0)=[H^T(p,q)R^-1_V(p,p)H(p,q)+_kГ(q,q)]^-1[H^T(p,q)R^-1_v(p,p)Y(p,0)], (1.30)

где _k - параметр регуляризации, обеспечивающий устойчивость решения;

- матрица, характеризующая свойства помехи V(p,0); .

Размещено на Allbest.ru