Геодезические линии на поверхности и в геликоиде

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»

Факультет физико-математических и естественных наук

Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей

Выпускная квалификационная работа бакалавра

Направление 01.03.02 «Прикладная математика и информатика»

ТЕМА «Геодезические линии на поверхности и в геликоиде»

Выполнил студент

Стреленко Мария Константиновна

Руководитель

Краснов Владимир Александрович, ассистент,

кандидат физико-математических наук

г. Москва 2017 г

Коротко о дифференциальной геометрии

Дифференциальная геометрия- раздел геометрии, в котором геометрические объекты изучаются методами математического анализа, в первую очередь методами дифференциального исчисления. Важнейшие объекты дифференциальной геометрии - кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства (непрерывные совокупности) кривых и поверхностей. При этом, в отличие от элементарной и аналитической геометрий, изучающих отдельные кривые и поверхности или специальные классы кривых и поверхностей, дифференциальная геометрия рассматривает преимущественно кривые и поверхности вообще, лишь бы их можно было задавать уравнениями, которые исследуются методами математического анализа. Характерной особенностью дифференциальной геометрии является то, что она исследует, прежде всего, свойства геометрических объектов (кривых, поверхностей и их семейств), которые присущи сколь угодно малым их частям; такие свойства называются дифференциальными.

Первоначально в дифференциальной геометрии изучались дифференциальные свойства геометрических объектов, не изменяющиеся при движениях. Это направление в дифференциальной геометрии называют классическим. К другим направлениям дифференциальной геометрии относятся теории, изучающие как дифференциальные свойства геометрических объектов евклидова пространства, не изменяющиеся при аффинных, проективных и других преобразованиях, так и дифференциальные свойства геометрических объектов в неевклидовых многомерных пространствах (например, в трёхмерном или многомерном пространстве Лобачевского), а также дифференциальные свойства самих неевклидовых пространств. Исследования неевклидовых пространств составляют большой и важный раздел дифференциальной геометрии, имеющий тесные связи с физикой, особенно с теорией относительности.

Отвлечение от специальных свойств геометрических объектов, изучаемых в дифференциальной геометрии, приводит к общему понятию дифференциально-геометрического многообразия, содержащему как частные случаи понятия кривой, поверхности, семейства кривых и поверхностей в евклидовых и неевклидовых пространствах, а также сами эти пространства. Таким образом, дифференциально-геометрическое многообразие является предметом дифференциальной геометрии.

В различных разделах дифференциальной геометрии и в её применениях рассматриваются разнообразные объекты. При всём разнообразии этих объектов они обладают некоторыми общими чертами. Прежде всего, они суть множества, для которых определено понятие близости элементов (линии и поверхности суть множества точек, семейства суть множества линий и поверхностей). Далее, они являются многомерными топологическими многообразиями, т. е. вблизи каждого своего элемента имеют то же топологическое строение, что и евклидово пространство некоторой размерности (вблизи некоторых элементов множество может иметь более сложное топологическое строение, но такие элементы исключаются из рассмотрения как особые; например, конус вблизи каждой своей обыкновенной точки имеет такое же строение, как евклидова плоскость, вершина же конуса является особой точкой). Наконец, множества, изучаемые в дифференциальной геометрии, рассматриваются всегда вместе с заданными координатами элементов; при этом число координат для каждого элемента равно размерности множества и координаты непрерывно зависят от элемента, т. е. при бесконечно малом перемещении элемента его координаты изменяются бесконечно мало. Таковы, например, декартовы координаты на плоскости. Однако во многих случаях, например, на сфере, введение таких координат на всём множестве невозможно, но в этих случаях для множеств, рассматриваемых в дифференциальной геометрии, можно указать конечную или счётную систему областей, совместно покрывающих множество, в каждой из которых могут быть введены координаты с соблюдением указанных условий. При этом в общей части каждой пары таких областей координаты произвольного элемента, введённые в любой из них, выражаются через координаты, введённые в другой, как функции непрерывные и некоторое число раз дифференцируемые. Это делает возможным применение методов математического анализа вне зависимости от того, какие координаты кладутся в основу вычислений.

Геодезическая линия

Определение и применение

Геодезическая линия - это геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Так, геодезические линии на поверхности - линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между концами этих дуг. На плоскости геодезические линии суть прямые, на круговом цилиндре - винтовые линии, на сфере - большие окружности, т. е. окружности, являющиеся пересечениями сферы с плоскостями, проходящими через её центр. Не всякая дуга геодезической линии является на поверхности кратчайшим путём. Например, на сфере дуга большой окружности, большая полуокружности, не будет кратчайшей между своими концами. Т. к. определение геодезической линии связано только с измерениями на поверхности, они относятся к объектам внутренней геометрии поверхности. Геодезические линии обладают тем свойством, что их главные нормали являются нормалями к поверхности. Геодезические линии впервые появились в работах Я. и И. Бернулли (1697-98) и Л. Эйлера (1728-32). Термин «геодезическая» введён П. Лапласом (1798-99) применительно к «кратчайшим линиям» на земной поверхности. Геодезические линии на произвольной поверхности изучал Ж. Лиувилль (1844).

Теперь приведем более точное определение геодезической линии: гладкая кривая г, лежащая на поверхности Р, называется геодезической линией на этой поверхности, если геодезическая кривизна kg кривой г равна нулю в каждой ее точке.

Понятие «геодезической линии» широко применяется при решении теоретических и практических задач геодезии, в которых точки земной поверхности проецируются на поверхность земного эллипсоида и соединяются геодезическими линиями. На поверхности земного эллипсоида геодезические линии обладают кручением и являются сложными кривыми. Математические методы позволяют перейти от расстояний и углов на земной поверхности к длинам дуг геодезических линий и углам между этими дугами на поверхности земного эллипсоида.

Пример

Если прямая линия лежит на поверхности, то она -- геодезическая линия этой поверхности. Действительно, кривизна прямой г тождественно равна нулю. Поэтому в каждой точке P?г вектор кривизны k, а, следовательно, и его ортогональная проекция вектор g на касательную плоскость TPР равны нулю, откуда kg?0.Таким образом, прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, эллиптического параболоида, конуса с выколотой вершиной и цилиндра являются примерами геодезических линий на этих поверхностях.

Дифференциальное уравнение геодезических линий

Теорема 1

Гладкая кривая г: ui=ui(s) на поверхности Р, параметризованная натуральным параметром s, является геодезической линией тогда и только тогда, когда ui=ui(s)-- решение дифференциального уравнения.

Теорема 2

Пусть г -- произвольная кривая на поверхности Р, причем ее координатные функции ui=ui(t) удовлетворяют уравнению. Тогда: 1)

касательные векторы к г образуют поле параллельного переноса и имеют длину, равную c=const >0;

2) г-- геодезическая линия с натуральным параметром s=ct+c0, где c0 -- произвольная постоянная.

Уравнение ,представляющее собой систему двух

обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, называется уравнением геодезических линий на поверхности П.

Геодезическая линия г: ui=ui(t), удовлетворяющая уравнению , называется параметризованной геодезической, а параметр t на г -- аффинным.

Теорема 3

Через любую точку P0 поверхности Р в любом направлении du:dv (в точкеP0) проходит единственная непараметризованная геодезическая линия.

Геодезическая линия на поверхности

Если прямая линия лежит на поверхности, то она -- геодезическая линия этой поверхности. Действительно, кривизна прямой г тождественно равна нулю. Поэтому в каждой точке P?г вектор кривизны k, а, следовательно, и его ортогональная проекция g на касательную плоскость TPР равны нулю, откуда kg?0. Таким образом, прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, эллиптического параболоида, конуса с выколотой вершиной и цилиндра являются примерами геодезических линий на этих поверхностях.

Теперь докажем, что геодезическими линиями на плоскости являются прямые и только они.

Первый способ. Как сказано выше, любая прямая, лежащая на поверхности, является геодезической линией. Поскольку через любую точку P плоскости в данном направлении можно провести прямую, и она -- геодезическая, то в силу единственности непараметризованной геодезической линии, проходящей через данную точку в данном направлении (теорема 3), других геодезических на плоскости нет.

Второй способ. Пусть Р-- плоскость в E3. Тогда, в силу замечания можно выбрать прямоугольную систему координат Oxyz в E3 так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью Р.

Замечание

В силу того, что кривая г на поверхности Р является геодезической линией тогда и только тогда, когда ее касательные векторы образуют поле параллельного переноса вдоль г, и того, что свойство гладкого векторного поля (t)быть параллельным вдоль кривой у на гладкой поверхности Р не зависит как от выбора параметризации поверхности, так и от параметризации кривой, то свойство гладких кривых г на поверхности Р быть геодезическими линиями не зависит от параметризации поверхности.

Тогда Р задана уравнением z=0 или вектор-функцией (x, y) ={x, y, 0}, где x, y - любые действительные числа. Откуда 1=x={1,0,0}, 2=y={0,1,0} и (gij) =. Так как каждый элемент gij не зависит от x и y, то?0, поэтому система дифференциальных уравнений геодезических линий на плоскости Р имеет вид =0, =0. Решения этой системы x(s)=c1s+c2, y(s)=c3s+c4, где c1, c2, c3, c4-- произвольные константы, представляют собой все прямые на плоскости Р.

Геодезические на прямом геликоиде

Напомним, что, если прямая линия лежит на поверхности, то она -- геодезическая линия этой поверхности. Действительно, кривизна прямой г тождественно равна нулю. Поэтому в каждой точке P?г вектор кривизны k, а, следовательно, и его ортогональная проекция gна касательную плоскость TPР равны нулю, откуда kg?0. Таким образом, прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, эллиптического параболоида, конуса с выколотой вершиной и цилиндра являются примерами геодезических линий на этих поверхностях.

Найти геодезические линии на прямом геликоиде (u, v)={u*cosv, u*sinv, h*v}.

Решение:

Вычислим матрицу (gij) первой квадратичной формы поверхности и обратную к ней (gij):

(gij)=; (gij)=.

Находим символы Кристоффеля второго рода

() =; () =.

Координатные линии v= const представляют собой прямые и как уточнено выше, являются геодезическими линиями прямого геликоида. Дифференциальное уравнение

запишется в виде:

. (1)

Сделаем замену:

p=,считаяp=p(u),

при этоми уравнение (1) примет вид:

. (2)

Положимq=p2,тогда

из (2) имеем (3)

Решаем соответствующее однородное уравнение:

,откудаи ln|q|=2ln(u2+h2)+lnc1.

Запишем общее решение однородного уравненияq=c1(u2+h2)2.В качестве частного решения неоднородного уравнения (3) возьмемq=?(u2+h2).Тогдаq=c1(u2+h2)2?(u2+h2)-- общее решение уравнения (3). Возвращаясь к переменным u, v, мы получаем:

.

Следовательно,

,

где c1иc2-- произвольные константы, причем.

Ответ:v=c0=constиv=F(u, c1,c2),,-- множество геодезических линий прямого геликоида.

Замечание

Для простоты все отображения, кривые и поверхности предполагаются требуемого класса гладкости.

Напомним, что гладкая кривая с=с(t), при t?(б, в), называется регулярной, если с=0,?t?(б, в). Далее все кривые предполагаются регулярными. Все индексы, обозначенные малыми латинскими буквами i, j, k, l, s, m принимают значения1 и 2, если не оговорено противное. Так же будут использовать тензорные обозначения.

Литература

геодезический линия геликоид

Геодезические линии. Степанов С. Е. 2000г. МАТЕМАТИКА

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ. Составители:Жукова Н.И., Багаев А.В. Учебно-методическое пособие. -- Н. Новгород :Издательство Нижегородского госуниверситета. -- 2008. - 54 с.

Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: Изд-во МГУ, 1962

Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии (3-е изд.). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950

Размещено на Allbest.ru