Ланцюгові дроби та їх застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИКОЛАЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ В.О. СУХОМЛИНСЬКОГО

Кафедра математики

Курсова робота на тему: «Ланцюгові дроби та їх застосування»

Студентки ІІІ курсу групи 312

напряму підготовки 6.040201 Математика*

Грицюк Н.В.

Керівник: доц. Пархоменко О.Ю.

Миколаїв 2017



Зміст

Вступ

1. Ланцюгові дроби

1.1 Iсторiя ланцюгових дробів

1.2 Запис раціональних чисел у виглядi скінченних ланцюгових дробів

1.2.1 Властивості ланцюгових дробів

1.2.2 Підхідні дроби

1.2.3 Застосування ланцюгових дробів для знаходження цiлих розв'язків лінійних рівнянь з двома невідомими

2. Застосування ланцюгових дробів

2.1 Застосування ланцюгових дробів в астрономiї

2.2 Ланцюгові дроби в курсі шкільної математики

Висновки

Список використаної літератури



Вступ

Ланцюгові дроби зручні тим, що вони не зв'язані з жодною системою числення. Кожне раціональне число можна єдиним чином представити у виглядi скінченого ланцюгового дробу. До того ж ланцюгові дроби дають найкращі наближення. А незначне використання неперервних дробів пояснюється тим, що для них не iснує зручних правил арифметичних дiй. На практиці ланцюгові дроби використовуються для розв'язування задач, пов'язаних iз неперервними схемами в електротехніці, автоматиці та обчислювальній техніці.

Теорія ланцюгових (або, як їх iще називають, неперервних) дробів вивчає спеціальний алгоритм, який є одним із найважливіших засобів аналізу, теорії ймовірностей, механіки і загалом теорії чисел.

Мета моєї курсової роботи полягає в досліджені ланцюгових дробів. У ній я спробую розкрити появу ланцюгових дробів, запис раціональних чисел у вигляді скінченних ланцюгових дробів, їх властивості, а також застосування ланцюгових дробів.



1. Ланцюгові дроби

1.1 Історія ланцюгових дробів

Вже понад 2000 років математики займаються ланцюговими дробами. Зрозуміло, що цей величезний відрізок часу могла витримати, не загинувши, лише така теорія, яка має фундаментальне значення в математиці. Дійсно, ланцюгові дроби є одним з найголовніших апаратів математики, який відіграв в її розвитку надзвичайно велику роль.

Вчення про неперервні (ланцюгові) дроби бере свій початок від Евкліда. Також використовували дроби, чисельник яких теж був дробом i стародавні римляни. Таким чином, у стародавньому світі ідея неперервних дробів була зрозуміла й доступна: чисельник дробу може бути не тільки цілим числом, але мішаним. дріб математика рівняння

Алгоритм утворення скінченних ланцюгових дробів був відкритий ще в Індіїї. Про це свідчить праця „Вінець системи” індійського математика Бхаскара ЙЙ.

Пошуки наближених значень , де N- будь-яке натуральне число, яке є неповним квадратом, почалися давно. Такі обчислення i наштовхнули математикiв на поняття ланцюгового дробу. Але тільки у 1572р. Р.Бомбеллi розширив уявлення про неперервні дроби („Алгебра”). Повторне використання дробової риски вперше запропонував П.Катальді у 1613 році.

Видатний голандський математик Х.Гюйгенс у 1682р. Дав докладне пояснення того, як за допомогою ланцюгових дробів можна зводити до менших чисел громіздкі нескоротні дроби. У 1680р вiн працював над „планетною машиною”, хотiв відтворити рух планeт навколо Сонця. Зiткнувшись iз відношеннями дуже великих чисел Х.Гюйгенс намагався виразити цi відношення дробами з мешими чисельниками та знаменниками. Так вiн i дійшов до ланцюгових дробів.

Повну систематичну теорію ланцюгових дробів дали Л.Ейлер та Ж.Лагранж. Сам термiн „ неперервні дроби” ввів Ейлер у 1737 році. Він видав ряд праць iз цієї теми. Ейлер розглядав дві форми неперервних дробів:

i

Роботи Ейлера з теорії ланцюгових дробів були продовженні М. Софроновим (1729-1760), Д. Бернуллі (1700-1782) та iн. Багато важливих результатiв цієї теорії належать французькому математику Лагранжу, який знайшов метод наближеного рішення за допомогою ланцюгових дробів диференціальних рівнянь.

Вчення про ланцюгові дроби розвивалось протягом століть у зв'язку з практичними i теоретичними запитами. До поняття ланцюгових дробів приводили такi задачi:

1) замiна громіздких дробів простішими дробами;

2) замiна ірраціональних чисел близькими до них раціональними числами.

1.2 Запис раціональних чисел у виглядi скінчених ланцюгових дробів

У теорії чисел, математичному аналізі, теорії ймовірностей i в обчислювальній математиці широко використовують так звані ланцюгові дроби.

Нехай б- деяке дійсне число і нехай - найбільших з цілих чисел, не більше нiж б. Тодi

де

Аналогічно можна записати

де

де

-----------------------------------------

де

де і т.д.

Якщо число б раціональне, то, як буде доведено нижче, для деякого натурального n матимемо , отже, записи, про якi щойно йшла мова, обірвуться; якщо ж число б ірраціональне, то їх, очевидно, можна буде продовжувати нескінченно.

У першому випадку матимемо:

У другому випадку

Означення 1. Вираз вигляду

де - деякі цілі числа - називають елементарним ланцюговим, або елементарним неперервним, дробом.

Числа називають елементами даного ланцюгового дробу, а правильні дроби - відповідно першою, другою, третьою і т.д. ланкою ланцюгового дробу. Число ланок у ланцюговому дробі може бути як скінченим, так і нескінченим. Ланцюговий дріб, у якого число ланок скінчене, записують у вигляді

(1)

і називають скінченим, точніше n-членним ланцюговим дробом, дріб у якого число ланок нескінчене, записують у вигляді

I називають нескінченим ланцюговим дробом.

Ми обмежимося розглядом скінчених елементарних ланцюгових дробів і називатимемо їх просто скінченими ланцюговими дробами. Крім того, вважатимемо, що в ланцюговому дробі (1) , може бути будь-яким цілим числом. Так дроби становлять найбільш важливий і разом з тим найбільш вивчений клас ланцюгових дробів; вони лежать в основі майже всіх арифметичних і багатьох аналітичних застосувань теорії ланцюгових дробів.

Домовимося, для зручності, n-членний ланцюговий дріб

позначати символом . Значення кожного скінченого ланцюгового дробу знаходимо в результаті виконання скінченої кількості разів раціональних операцій над елементами цього дробу. Отже, за нашими припущеннями відносно елементів ланцюгового дробу кожен скінчений ланцюговий дріб, очевидно, виражає собою деяке раціональне число . Покажемо, що справедливе також і обернене твердження.

Теорема 1. Кожне раціональне число можна подати у вигляді деякого скінченого ланцюгового дробу.

Доведення. Нехай z - довільно вибране раціональне число. Тоді , де a і b - деякі цілі числа, причому .

Застосувавши до чисел a і b алгоритм Евкліда, дістанемо рівності:

(2)

де З рівностей (2) випливють відповідно рівності

Звідси

або скорочено

(3)

Теорему доведено.

У тому разі, коли z - ціле число, тобто коли b=1, у рівностях (2) матимемо лише одну рівнсть: a=1·a+0 і ланцюговий дріб обірветься на

Запис (3) назають зображенням раціонального числа скінченим ланцюговим дробом або розкладом числа у скінчений ланцюговий дріб.

Теорема 2. Кожне раціональне число зображується тiльки одним скiнченним ланцюговим дробом.

Доведення. Сравдi, якщо

, (4)

(5) то

(6)

Не втрачаючи загальностi мiркувань, вважатимемо, що .Оскiльки дроби

i

меншi вiд 1, то кожне з чисел і дорiвнює цiлій частинi числа i тому =. Вiднявши почастинно вiд рiвності (6) рiвність =, дiстанемо

=. (7)

Дроби, що стоять у лiвій i правiй чатинах рiвності (7), мають однаковi чисельники: кожен з чисельникiв дорнює 1. Тому знаменники цих дробiв також рівнi мiж собою, тобто

=

Мiркуваннями, аналогiчними викладеним вище, доведемо, що =, =, = і т.д.

Через n крокiв ми прийдемо до рiвності

де .

Звiси випливає, що s=n i, отже, =, бо при s>n цiле число мало б дорівнювати дробовому числу чого не може бути.

Отже, ми довели, що в зображеннях (4) і (5) n=s і =,=, =, =,..., =, тобто цi зображення нiчим не вiдрізняються одне вiд одного. Теорему доведено

Зауваження. Теорему 2 доведено в припущеннi, що останнiй елемент скiнченного ланцюгового дробу . Якщо ж не вимагати цього, то для рацiонального числа iснуватиме два роклади в скiнченний ланцюговий дрiб:

= ( i =

Приклад 1. Розкласти у неперервний дрiб число . Маємо =.

Виконаємо послiдовне ділення

						367	132
						264	2
					132	103
					103	1
				103	29
				87	3
			29	16
			16	1
		16	13
		13	1
	13	3
	12	4
3	1
	3

Отже, =.

1.2.1 Влативостi ланцюгових дробiв

1) Будь-яке рацінальне число може бути представене в видi скiнченного ланцюгового дробу двома способами, бiльш довгий з яких завжди закiнчується одиницею, а коротший відрiзняється вiд нього тим, що останньої одиницi немає, а елемент перед одиницею на 1 бiльший. Наприклад:

2) Число представляється в видi нескiнченного перiодичного лінійного дробу тодi й лише тодi коли воно є iрраціональним розв'язком квадратного рiвняня з цiлими кофiцiєнтами .(Теорема Лагранжа). Наприклад:

3) Для майже всiх дiйсних чисел ''x'',середнє геометричне коефіцiєнтiв розкладу числа в ланцюговий дрiб рiвний константi Хiтчіна (K ? 2.6854520010...)

4) Парнi наближенi дроби утворюють зростаючу послiдовнiсть, а непарнi - спадну. Обидвi послідовностi збiгаються до ''x.''

5) Для довiльного s > 0, дрiб P s / Q s - нескоротний.

1.2.2 Пiдхiднi дроби

Нехай

(8)

є деякий ланцюговий дрiб. Значенням цього ланцюгового добу є деякий звичайний дрiб Отже, ланцюговий дрiб (8) зображується звичайним дробом Проте таке зображення не є єдиним, бо якщо , то й , де l- будь-яке вiдмінне вiд нуля цiле число. Всюди далi нам потрiбно буде мати деяке цiлком певне зображення скiнченного ланцюгового дробу у виглядi звичайного дробу - зображення, яке ми називатимемо канонічним. Це зображння ми визначимо iндуктивно.

Канонічним зображенням нуль-членного ланюгового дробу вважаимемо дрiб . Припустимо тепер, що канонiне зображення визначене для кожного ланцюгового дробу, у якого число ланок менше нiж n, i визначимо його для n-членного ланцюгового дробу.

Розглянемо n-члений ланцюгвий дрiб . Як випливає з означння ланцюгового дробу, справедливе спiввiдношення

Дрiб - (n-1)-членний, отже, для нього канонiчне зораження за припущеням уже визначене. Нехай цим зображеням є звичайний дрiб , тодi

Дрiб ми i вважатимемо канонiчним зображенням ланцюгового дробу Таким чином, тепер канонiчне зображення однозначно визначене для будь-якого скiнченного ланюгового дробу. Позначимо канонічне зображння дробу символом Тодi для чисельникiв i знаменникiв канонiчних зображень ланцюгових дробiв і матимемо спiввідношення

(9)

Домовимося називати ланцюговий дрiб



, (10)

де , відрiзком ланцюгового дробу (8).

Означення. Канонічне зображення вiдрізка (10) називають s-м пiдхідним дробом або підхiдним добом порядку s ланцюгового дробу (8).

Ланцюговий дрiб (8) має n+1 пiдхідних дробiв:

(11)

За означеннями підхiдного дробу й канонiчного зображення нуль-членного ланцюгового дробу

За формулами (9) ,, отже,

, (12)

Теорема 3. (Правило утворення пiдхідних дробiв). Для будь-якого

, . (13)

Доведення. При s=2, як показують спiввідношення (12), формули (13) правильнi. Припустимо, що вони правильнi для s=m-1 (m>2), i доведемо, що тодi вони правильнi й для s=m. Розглянемо вiдрізок

(2<m?n) (14)

ланцюгового дробу (8). Пiдхідний дрiб порядку m-1 дробу (14) позначатимемо символом

За формулами (9)

i . (15)

Але оскiльки за припущенням формули (13) правильнi для s=m-1, то, застосувавши їх до дробу , дiстаємо:

, (16)

(тут стоїть , а не , оскiльки дрiб починається з , а не з ).

Iз спiввiдношень (15), (16) i за формулами (9)

тобто і

Цим теорему доведено.

Формула (13) виражає чисельник i знаменник пiдхідного дробу порядку s через елемент i через чисельники i знаменники двох попереднiх пiдхідних дробiв i, отже, дає можливiсть за вiдомими підхiдними дробами порядку s-2 i s-1 знайти підхiдний дрiб порядку s. Зауважимо, що на формулi (13) грунтується вся теорiя ланцюгових дробiв.

Обчислення чисельникiв i знаменникiв пiдхідних дробiв за допомогою формули (13) зручно подавати за такою схемою:

Щоб обчислити за цiєю схемою, потрiбно число , що стоїть над , помножити на число , яке передує , i до одержаного добутку додати число , що передує . За аналогiчним правилом обчислюють .

Приклад 1. Знайти пiдхідні дроби лангового дробу .

За наведеною вище схемою:

	-2	2	1	3	1	1	4	3
	-2	-3	-5	-18	-23	-41	-187	-602
	1	2	3	11	14	25	114	367

S=0,1,2,...,8).

Розглянемо деякi властивостi пiдхідних дробiв.

Теорема 4. При s=1,2,3,...,n справджується спiввідношення

. (17)

Доведення. При s=1 рiвність (17) справедлива, бо , , , , і тому . Припустимо, що рiвність (17) справедлива при s=m (1?m?n-1), i доведемо, що тодi вона правильна й при s=m+1. Це справдi так:

тобто .

Отже, за принципом математичної iндукції, рiвність (17) правильна при будь-якому s (1? s ?n). Терему доведено. З теореми 4 випливає справедливiсть наступного твердження.

Наслідок. Кожний пiдхідний дрiб - нескоротний.

Доведення. Дрiб нескоротний, оскiльки .

Нескоротний також i кожен з дробiв (s=1,2,...,n). Справдi, припустимо, що деякий дрiб скоротний, тобто ()=d>1 (1?m?n). Тодi лiва частина рiвності дiлитиметься на число d, а тому i права її частина також має дiлитися на d, що неможливо. Отже, наше припущення неправильне. Твердження доведено.

Цей висновок дає змогу застосувати розклад рацiональних чисел у ланцюговi дроби для скорочення звичайних дробiв. Справдi, якщо звичайний дрiб рокласти у ланцюговий дрiб, то останнiй пiдхідний дрiб цього ланцюгвого дробу буде нескоротним дробом i дорiвнюватиме .

Приклад 2. Скоротити дрiб .

Розклавши цей дрiб у скiнчений ланцюовий дрiб, матимемо

Знаходимо пiдхідні дроби

	0	4	3	1	10	1	2
	0	1	3	4	43	47	137
	1	4	13	17	183	200	583

Як вiдомо, , де - нескоротний дрiб.

Теорема 5. При s?2 справдується спiввідношення

. (18)

Доведення. Справдi, за формулою (13)

,

Тому

Але оскiльки за теоремою 4 то

Цим теорему доведено.

Теорема 6. Пiдхідні дроби парного порядку даного ланцюгового дробу утворюють зростаючу, а пiдхідні дроби непарного порядку - спадну послiдовнiсть

Доведення. Подiлимо обидвi частни спiввідошення (18) на Тодi матимемо:



Звiдси випливає, що при s парному справджується нерiвність

а при s непарному - нерiвність

Цим теорему доведено.

Теорема 7. Із двох підхiдних дробiв і даного ланцюгового добу дрiб парного порядку завжди менший вiд дробу непарного порядку.

Доведення. Подiлимо обидвi частини спiввідношення (17) на ;

тодi матимемо:

Звiдси випливає, що при парному s справджується нерiвність

а при непарному s - нерiвність

Отже, з двох дробiв і менший той, порядок якого парний. Теорему доведено.

Із цiєї теореми випливє справедливiсть такого твердження.

Наслідок. Кожен пiдхідний дрiб парного порядку данного лацюгового добу менший вiд будь-якого пiдхідного дробу непарного порядку цього ланцюгового дробу.

Справдi, якщо б прийнаймнi один підхiдний дрiб парного порядку був не менший вiд деякого пiдхідного дробу непарного порядку, то за теоремою 6 отаннiй підхiдний дрiб парного порядку був би бiьший вiд останнього пiдхідного дробу непарного порядку, а це сперечило б теоремi 7.

Нехай - деяке рацiональне число, задане у виглядi скiнченного ланцюгового дробу:

,

а - підхідні дроби цього ланцюгового дробу. Тодi на основi щойно доведених теорем, врахвуючи, що можна записати

Таким чином, пiдхідні дроби парного порядку є наближеним значеннями з недостачею, а непарного поряку - з надлишком. Оцiнка похибки при цьому визначається нерiвнісю

Справдi, за теоремою 4)= за теоремою 3)=

1.2.3 Застосування ланцюгових дробiв для знаходження цiлих розв'язкiв лiнійних рiвнянь з двома невідомими

Розглянемо, як застосовують ланцюговi дроби для знаходження цiлих розв'язкiв лiнійного рiвняння з двома невiдомими, коефiцєнти i вільний член якого- цiлі чиса. Нехай

ax+by=c (19)

є довiльне рiвняння. Якщо a?0 і b?0, то рiвняння (19) неозначене: воно має безлiч розв'язкiв. Загальним розв'язком цього рiвняння є

або

Припустимо, що в рiвнянні (19) a, b і c- цiлі числа i що потрiбно знайти цiлі розв'язки цього рiвняння, тобто розв'язки, якi складаються з цiлих чисел. У цьому разi при будь-якому цiлому значеннi число буде цiлим, а число при цьому, взагалi кажучи, не буде цiлим, оскiльки цiле число може i не дiлитися на цiле число a. Про те, як знайти цiлі розв'язки рiвняння (19), у якого a, b i c- цiлі числа, i йтиме далi мова. Якщо вiльний член с рiвняння (19) не дiлиться на найбiльший спiльний дiльник його коефiцієнтів a і b, то воно не має цiлих розв'язкiв, бо в противному разi c повинно було б дiлтися на . Якщо ж c дiлиться на , то, поділивши обидві частини рiвняння (19) на , дiстанемо рiвняння, рiвносильне даному, коефiцєнти якого є взаємно простi числа. Має мiсце така теорема.

Теорема 8. Якщо пара цiлих чисел задовільняє рiвняння

ax+by=c, (20)

де a, b i c- цiлі числа й , то

(21)

де t- будь-яке цiле число, є загальним розв'зком цього рiвняння в цiлих числах.

Доведення. За умовою теореми

(22)

Вiдняши почастинно вiд рiвняння (20) рiвність (22), дiстанемо рiвняння

(23)

рiвносильне рiвнянню (20). Покажемо, що формули (21) задають множину всiх цiлих розв'язкiв рiвняння (23), а отже, i рiвняння (20). Очевидно, що кожна пара цiлих чисел задовольняє рівняння (23), тобто , то Звiдси, оскiльки , випливає, що дiлиться на b, тобто де t- деяке цiле число. Тому

Із спiввідношень де t- деяке цiле число, дiстаємо де t- деяке цiле число. Отже, кожна пара цілих чисел , що задовольняє рiвняня (23), задається фомулами (21). Цим терему доведено.

Таким чином, щоб ров'язати рiвняння (20) в цiлих числах потрiбно знайти який-небудь окремий розв'язок () цього рівняння.

Зробити це можна, скориставшись розкладом числа у ланцюговий дрiб. Справдi, нехай = розклад числа у ланцюговий дрiб, а є пiдхідні дроби цього розкладу. Тодi За умовою дрiб - нескоротний i дрiб за висновком iз теореми 4 також нескоротний; тому За теоремою 4

, тобто .

Помноживши обидвi частини останньої рiвності на , дiстанемо рiвність

.

Ця рiвність означає, що пара чисел є цiлий розв'язок рiвняння (20).



Теорема 9. Загальний розв'язок у цiлих числах рiвняння ax+by=c, де a, b i c- цiлі числа й , можна подати у виглядi

, (24)

де t- довiльне цiле число, а - чисельник i знаменник передостаннього підхiдного дробу розкладу числа у ланцюговий дрiб.

Приклад. Розв'язати в цiлих числах рiвняння 61x+48y=3.

Розклавши у ланцюговий дрiб, матимемо:

Підхiдними дробами для ланцюгового дробу є

Передостаннiм пiдхідним дробом є

Отже, за формулами (24) загальним розв'язком у цiлих числах заданого рiвняння є

(25)

У цьому загальному розв'язку . Узявши у формулах (25) t=1, дiстанемо частинний розв'язок , i загальний розв'язок заданого рiвняння за торемою 8 можна записати так:



2. Застосування ланцюгових дробiв

2.1 Застосування ланцюгових дробiв в астрономiї

Розрахунки, якi ми наводили вище, виникли при створеннi календаря. Так при розробцi сонячного календаря необхiдно знайти вiдношення сонячного року i перiоду мiсяця, тобто рацiональне наближення для числа 365,2421988... За допомогою ланцюгових дробiв одержуємо послiдовність

Найближче наближення до цього вiдношення- 12 (як 3 для числа ). Перший iз цих дробiв є основою юліанського календаря. При створеннi календарiв ми маємо виправлення: високоснi роки; у григорiанській системi, яка виправляє юлiанську, не лише високоснi роки, а й раз на сто рокiв iще одне виправлення, i ще раз у чотириста рокiв- iще одне...

Ці виправлення у співставленнях виявилися особливо корисні, коли почали розвиватися небесна механіка та астрономія. Напрклад, співставлення періодів обертання Юпітера і Сатурна навколо Сонця (відношення ?2:5) призводить до дуже сильної протидії, яка збиває ці планети з їх орбіт. Це так звані нерівності в русі Юпітера і Сатурна, які мають період близько 800 років.У розрахунку таких перодів ланцюгові дроби і пов'язані з ними, наближення мали величезне значення і потребували розвитку математичного апарату.

2.2 Ланцюгові дроби в курсі шкiльної математики

Розвязання діафантових рівнянь за допомогою ланцюгових дробів.

Діафантові рівняння- це алгебраїчні рівняня з цілими коефіцієнтами від двох чи більше змінних, причом знаходять лише цілі або раціональні його розв'язки.

Найпростішими з діафантових рівнянь є лінйні рівняння з двома змінними ax+by=с, де a, b, с- дані цілі числа.

Множина розв'язків цього рівняння або порожня, або нескінченна. Щоб розв'язати його, скористаємся властивостями найбільшого спільного дільника двох чисел.

Нехай . Ліва частина рівняння ділиться на d, бо на d ділиться кожен з доданків. Тоді на d повинна ділитись й права частина. Отже, це рівняння може мати розв'язки лише тоді, коли с ділиться на d.

При розв'язуванні діафантових рівнянь використовують ланцюгові дроби.

Приклад 2. Ров'язати у цілих числах рівняння 108x+84y=60

Розв'язння. Знайдемо найбільший спільний дільник чисел коефіцієнтів при x та у. (108,84)=12.

Оскільки с=60 ділиться на 12, то задане рівняння має розв'язки. Поділимо обидві частини рівняння на 12.

Маємо, 9x+7y=5; (.

Розклавши у ланцюговий дріб, матимемо

Підхідними дробами для ланцюгового дробу є

Передостаннім підхідним дробом є

Отже, за формулами (24) загальним розв'язком у цілих числах заданого рівняння є

У цьому загальному розв'зку . Узявши t=2, дістанемо частинний розв'язок , і загальний розв'язок заданого рівняння за теоремою 8 можна так



Наведемо приклади таких розв'язків

t	-3	-2	-1	0	1	2	3
x	-36	-29	-22	-15	-8	-1	6
y	47	38	29	20	11	2	-7



Висновки

В ході виконання роботи було вивчено основні теоретичні відомості про ланцюгові дроби, досліджено історичний аспект проблеми, розглянуто основні застосування неперервних дробів. Було самостійно дібрано приклади для ілюстрації теортичних положень та здійснено їх розв'язання.

Отримані результати можна викорисовувати у шкільному курсі при проведенні підготовки до математичих конкурсів, учівських олімпіад, а також при організації роботи гуртків та факуьтативних занять.

Із даного дослідження можна зробити такі висновки:

· Ланцюгові дроби винили досить давно для задоволення практичних цілей;

· Знання неперервних дробів дало можливість ров'язувати лінійні рівняння з двома невідомими, розв'язування задач, пов'язаних із неперервними схемами в електротехніці, автоматиці та обчислювальній техніці;

· Ланцюгові дроби розглядаються у шкільному курсі математики, як завдання підвищеної скадності, а також при підготовці та проведенні учнівських олімпіад;

· Будь-яке раціональне число може бути педставлене у вигляді скінченного ланцюгового дробу, а отже дає можливість зводити до менших чисел громіздкі нескоротні доби;

· Моживість заміни ірраіональних чисел близькими до них раціональними числами.



Список використаної літератури

1. http://ur.co.ua/53/395-4-cepnye-drobi.html

2. http://go.mail.ru/search

3. http://moyaosvita.com.ua/algebra/algoritm-evklida-znaxodzhennya-nsd/

4. http://rushkolnik.ru/docs/10/index-21183.html?page=5

5. http://studopedia.org/1-34535.html

6. http://ukrefs.com.ua/page,7,133585-Cepnye-drobi.html

7. http://referatbox.net/303032-Istoriya-razvitiya-cepnyh-drobeiy-i-ih-prilozheniya.html

Размещено на Allbest.ru