Дифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОСНАЩЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Матвеева Анастасия Михайловна

01.01.04 - геометрия и топология

Казань - 2009

Работа выполнена на кафедре геометрии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Игошин Владимир Александрович

доктор физико-математических наук,

профессор

Степанов Сергей Евгеньевич

Ведущая организация: Тверской государственный университет

Защита состоится 18 июня 2009 года в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «__» апреля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

канд. физ.-мат. наук, доцент Липачев Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка вопроса и актуальность темы. Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров.

В 1924 г. появляется работа Томсена [28], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пентасферические координаты и тензорное исчисление. Э. Картан [25] вводит понятие n-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств конформной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. С. Сасаки в 1939-40 гг. развивает теорию кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности. Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий, что сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.

Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров, а именно, с работами с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах Б. А. Розенфельда [15], общей теории нормализованных поверхностей А. П. Нордена [11], [12], общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями Г. Ф. Лаптева [7], [8].

Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, m-мерных поверхностей n-мерного конформного и псевдоконформного пространств. А. П. Норден [5], [11], [12] получил существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий. Л. Ф. Филоненко [19] рассматривает распределение m-мерных линейных элементов в (n-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Исследования А. М. Михайловой [10] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства. Т. Н. Глухова (Андреева) [18] исследует линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве. А. В. Столяров [17], [18] рассматривает оснащения и линейные связности на распределениях в конформном пространстве , а также строит пространство конформной связности на базе пространства проективной связности и изучает внутреннюю геометрию нормализованного пространства конформной связности. А. М. Шелехов [24] решает конформную задачу, поставленную Бляшке: перечислить все регулярные (параллелизуемые) три-ткани, образованные пучками окружностей.

Наряду с интенсивным изучением дифференциальной геометрии голономных многообразий в последние 60-70 лет объектом исследования многих математиков явились неголономные многообразия, то есть распределения m-мерных линейных элементов, погруженных в различные однородные и обобщенные пространства.

В 70-х годах ХХ века обобщенная теория распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности (в частности, в проективном пространстве ) получила развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [9], [13]; в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работе В. И. Близникаса [3]. А. В. Столяров [16] строит инвариантную двойственную теорию регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности . Ю. И. Попов [14] развивает инвариантную теорию трехсоставных распределений, вложенных в проективное пространство .

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [27] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Г. Вейль [29] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана в 20-х годах ХХ века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В середине ХХ века В. В. Вагнер [6] и Ш. Эресман [26] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [11], [12], который позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г. Ф. Лаптев [7], следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия.

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввел А. П. Норден [12] (внешняя связность). Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [22], [23]. П. А. Фисунов [21] изучает двойственные нормальные связности на оснащенной регулярной голономной и неголономной гиперполосах n-мерного проективного пространства.

Предметом исследования настоящей работы являются распределение гиперплоскостных элементов и гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов, погруженные в конформное пространство (псевдоконформное или собственно конформное), а также линейные связности (аффинные, нормальные, конформные), индуцируемые различными оснащениями (нормальным, касательным, полным) указанных распределений.

Теория конформного пространства и вложенных в него поверхностей к настоящему времени разработана достаточно полно. Однако, вопросы конформно-дифференциальной геометрии оснащенных неголономных поверхностей (распределений) и линейных связностей, индуцируемых при этом, до настоящего времени оставались слабо изученными. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению оснащенных распределений (в особенности, различных линейных связностей, индуцируемых оснащениями рассматриваемых распределений) в конформном пространстве представляют большой научный интерес и являются актуальными в связи с возможными приложениями полученных результатов в математике, механике и физике.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является разработка инвариантными аналитическими методами ключевых вопросов по изучению оснащенных распределений, погруженных в n-мерное конформное пространство , а именно:

1) построение в разных дифференциальных окрестностях инвариантных внутренним образом определяемых нормальных, касательных, полных оснащений распределения гиперплоскостных элементов и гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов в конформном пространстве ;

2) разработка основ теории линейных связностей (аффинных, нормальных, конформных), определяемых различными оснащениями рассматриваемых распределений;

3) приложение аффинной связности, индуцируемой полным оснащением распределения М гиперплоскостных элементов в , к изучению геометрии тканей на подмногообразии М;

4) приложение теории гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов к изучению внутренней геометрии распределений m-мерных линейных элементов в конформном пространстве .

Методы исследования. Теория указанных оснащенных распределений развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [7] и методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [20]. Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [7], [8].

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что вопросы конформно-дифференциальной геометрии оснащенных распределений и линейных связностей, индуцируемых при этом, геометрами раннее почти не изучались; исключение составляют работы [4], [17], [19] (в работе [17] - §§16, 17).

Использование аналитического метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева и исследование дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями фундаментальных и оснащающих объектов рассматриваемых подмногообразий, позволило получить новые существенные результаты в теории оснащенных распределений гиперплоскостных элементов и гиперполосных распределений, погруженных в конформное пространство .

В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении геометрии различных многообразий, погруженных в пространства более общей структуры (например, в пространство конформной связности). Они могут быть использованы при изучении распределений m-мерных линейных элементов, вложенных в пространства конформной структуры.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2005-2009 гг.), на научно-практических конференциях преподавателей, докторантов и аспирантов Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2005-2009 гг.), на Региональной научной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела» (г. Чебоксары, 19-20 октября 2006 г.), в Пятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2006» (г. Казань, 28 ноября - 2 декабря 2006 г.), в III Республиканском конкурсе научно-исследовательских работ студентов, аспирантов, молодых ученых и научно-технических работников «Наука XXI века» (г. Чебоксары, декабрь 2006 г.) (работа удостоена диплома и золотой медали за лучшую научно-исследовательскую работу в области естественно-математических наук), на XV международной конференции «Математика. Образование» (г. Чебоксары, 28 мая - 2 июня 2007 г.), в Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2007» (г. Казань, 16-19 декабря 2007 г.), на заседаниях Городского геометрического семинара при кафедре геометрии Казанского государственного университета (г. Казань, 2008-2009 гг.).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 19 печатных работах автора (см. [1]-[19]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 121 наименование. Полный объем диссертации составляет 145 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

геометрия распределение конформный пространство

В главе I рассматривается аффинная связность на вполне оснащенном распределении М гиперплоскостных элементов в конформном пространстве и получено ее приложение к изучению внутренней геометрии тканей на подмногообразии М.

В §§ 1, 2 главы I приводится материал, большая часть которого носит реферативный характер и необходима для дальнейшего изложения. Здесь рассматриваются оснащенные взаимно ортогональные распределения М гиперплоскостных элементов и Н одномерных линейных элементов, погруженные в конформное пространство .

В п. 3 § 2 вводится понятие сферического распределения гиперплоскостных элементов в , найдены необходимое и достаточное условия, при которых распределение гиперплоскостных элементов в является сферическим (теорема I.4).

В п. 4 § 2 доказано, что полное оснащение распределения М в при отображении Дарбу в пространстве индуцирует n-мерное взаимным и двойственным образом нормализованное регулярное гиперполосное распределение Н (n-1)-мерных линейных элементов , для которого базисным распределением является образ подмногообразия М и полем характеристик семейства касательных к гиперквадрике Дарбу гиперплоскостей в точках служит поле прямых , сопряженных текущим элементам относительно (теорема I.5).

§ 3 главы I посвящен аффинным связностям, индуцируемым полным оснащением распределений М гиперплоскостных элементов и Н одномерных линейных элементов в . Доказано, что при полном оснащении одного (а следовательно, каждого) из распределений М и Н в на подмногообразиях М и Н индуцируются пространства аффинной связности и соответственно, которые являются вейлевыми (вообще говоря, с кручением) с полями метрических тензоров и соответственно и дополнительной формой (теоремы I.6, I.7). Для каждого пространства аффинной связности найдены строения тензоров кручения и тензоров кривизны. Доказаны также следующие предложения:

- при полном оснащении распределения M в пространство аффинной связности имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда исходное распределение M является сферическим (теорема I.9);

- если аффинная связность пространства , индуцируемого полным оснащением распределения М в , имеет нулевое кручение, то она является римановой с полем метрического тензора тогда и только тогда, когда пространство аффинной связности есть пространство с абсолютным параллелизмом (теорема I.10);

- если оба пространства аффинной связности и , индуцируемые полным оснащением распределений М и Н в , имеют нулевое кручение, то пространство является римановым с полем метрического тензора тогда и только тогда, когда пространство - плоское; в работе приведены инвариантные аналитические условия последнего (теорема I.11).

Найдены необходимое и достаточное условия, при которых пространство аффинной связности является обобщенно римановым (теорема I.12). Эти условия выполняются, например, при полном оснащении распределения М в полями квазитензоров , второго порядка.

§ 4 главы I посвящен приложению аффинной связности пространства к изучению внутренней геометрии тканей, заданных на распределении М в .

В п. 1 § 4 приведены дифференциальные уравнения ткани на подмногообразии М, рассмотрены некоторые порождаемые ею инвариантные геометрические образы (гармонические гиперсферы , псевдофокальные гиперсферы ортогональной ткани). Найден геометрический смысл гармонических гиперсфер ортогональной ткани.

В п. 2 § 4 рассмотрены голономная ткань и гиперсопряженная система в ; найдены необходимое и достаточное условия, при которых ткань на распределении М в является голономной (теорема I.15), а также необходимое и достаточное условия, при которых голономное распределение М в , несущее ортогональную сопряженную ткань, является гиперсопряженной системой (n>3) (теорема I.16). Доказано, что голономное распределение М в (n>3), несущее ортогональную сопряженную ткань, есть гиперсопряженная система тогда и только тогда, когда ткань является голономной (теорема I.18).

В п. 3 § 4 рассмотрена ткань линий кривизны на голономном распределении М в ; приведена геометрическая характеристика главных направлений и линий кривизны на голономном распределении М в .

В п. 4 § 4 рассмотрено параллельное перенесение направления касательной к i-й линии ортогональной ткани на распределении М в вдоль ее j-й линии в аффинной связности , индуцируемой полным оснащением распределения М в . Введены в рассмотрение геодезические и чебышевские ткани в аффинной связности , получены аналитические условия, характеризующие эти ткани. Доказано, что голономное распределение М в () является распределением, несущим чебышевскую ткань линий кривизны, тогда и только тогда, когда оно является гиперсопряженной системой, несущей геодезическую ткань (теорема I.22).

В п. 5 § 4 рассмотрены чебышевские ткани линий кривизны на голономном распределении М в (), а также на голономном распределении М 2-мерных линейных элементов в .

Доказаны теоремы существования рассмотренных классов тканей (теоремы I.13, I.17, I.23, I.24).

Глава II посвящена изучению нормальных и конформных связностей на распределении М гиперплоскостных элементов в конформном пространстве .

В начале § 1 главы II найдены слоевые формы нормальной связности , определяемой в расслоении нормальных окружностей при полном оснащении распределения М в полями квазитензоров , , причем эти формы зависят от двух полей тензоров {} и {, }. При ==0 связность обозначается через , при =0, - через , при , связность в зависимости от охватов тензора обозначается через , . В каждом из этих случаев найдены строения компонент тензоров кривизны - кручения соответствующих пространств нормальной связности.

Доказаны следующие предложения:

- нормальная подсвязность связности , индуцируемой на вполне оснащенном распределении M в в расслоении окружностей , плоская (то есть связность - полуплоская) тогда и только тогда, когда вейлево пространство является обобщенно римановым (теорема II.2); условие теоремы II.2 выполняется, например, если распределение M в вполне оснащено полями квазитензоров , второго порядка;

- если вейлево пространство с полем метрического тензора , индуцируемое полным оснащением распределения M в полями квазитензоров , первого порядка, имеет нулевое кручение, то это пространство есть риманово тогда и только тогда, когда нормальная связность является полуплоской; последнее эквивалентно тому, что кососимметричный тензор обращается в нуль (теорема II.3);

- нормальная связность , индуцируемая полным оснащением распределения M в , допускающим обращение в нуль тензора , вдоль кривых, принадлежащих распределению M, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема II.4); это предложение справедливо, например, для сферического распределения;

- нормальная подсвязность связности , индуцируемой на вполне оснащенном распределении M в в расслоении окружностей , плоская (то есть связность - полуплоская) тогда и только тогда, когда вейлево пространство является обобщенно римановым (теорема II.6); условие теоремы II.6 выполняется, например, если распределение M в вполне оснащено полями квазитензоров , второго порядка;

- нормальная связность , индуцируемая полным оснащением распределения M в с заданным на нем полем тензора , допускающим обращение в нуль тензора , вдоль кривых, принадлежащих распределению M, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема II.7).

Построен охват тензора , при котором нормальная связность определяется внутренним образом. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых в случае построенного охвата нормальные связности и , индуцируемые при полном оснащении распределения M в полями квазитензоров , , имеют одинаковые тензоры кривизны - кручения (теорема II.8). Доказано, что при этом охвате нормальные связности и , индуцируемые при полном оснащении распределения M в полями квазитензоров , , имеют одинаковые тензоры кривизны - кручения тогда и только тогда, когда вейлево пространство является обобщенно римановым (теорем II.9).

В п. 3 § 1 доказано, что нормальная связность , индуцируемая полным оснащением распределения M в в расслоении окружностей с заданным на ней полем ненулевого тензора , допускающим обращение в нуль тензора , вдоль кривых, принадлежащих распределению M, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема II.11). Построены охваты тензора , при которых нормальная связность определяется внутренним образом (соответственно, нормальные связности , ). Доказано, что нормальная связность , индуцируемая на вполне оснащенном полями квазитензоров , распределении М в в расслоении окружностей , является полуплоской (теорема II.12); в случае полного оснащения распределения М , допускающего обращения в нуль тензора , вдоль кривых, принадлежащих распределению M, нормальная связность является плоской.

В § 2 главы II нормальные связности , , , рассмотрены на регулярном гиперполосном распределении Н в проективном пространстве , ассоциированном с распределением М в .

В п. 1 § 2 найден геометрический смысл обращения в нуль тензора (теорема II.13). К этому классу распределений относится, например, сферическое распределение гиперплоскостных элементов. В нормали первого рода гиперполосного распределения Н в найдена инвариантная прямая , внутренним образом определяемая в первой дифференциальной окрестности.

В п.2 § 2 найдено условие параллельности гладкого поля одномерных направлений, принадлежащего полю нормалей первого рода гиперполосного распределения Н в , в нормальной связности при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению в . Доказаны следующие предложения:

- при полном оснащении распределения М в поле характеристик гиперполосного распределения Н в параллельно переносится в нормальной связности при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению (n-1)-мерных плоскостей в (теорема II.14);

- поле инвариантных прямых на гиперполосном распределении Н в является параллельным в нормальной связности при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению (n-1)-мерных плоскостей в , тогда и только тогда, когда тензор обращается в нуль (теорема II.15).

Теоремы II.14, II.15 сформулированы также на языке конформного пространства (теоремы II.14*, II.15*).

Условие параллельности гладкого поля одномерных направлений, принадлежащего полю нормалей первого рода гиперполосного распределения Н в , записано также относительно нормальных связностей , , ; для этих связностей справедливы аналоги теорем III.14, III.15.

В § 3 главы II рассматриваются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями распределения М в .

В п. 1 § 3 доказано, что инвариантное касательное оснащение распределения М в полем гиперсфер индуцирует пространство конформной связности с полем метрического тензора , определяемое системой форм Пфаффа , причем если пространство имеет нулевое кручение, то оно является эквиконформным, выполняются аналоги тождеств Риччи, распределение М голономно и поле касательных гиперсфер определяется внутренним образом в первой дифференциальной окрестности полем квазитензора (теорема II.16). Найдено строение тензора кривизны - кручения пространства конформной связности . При перенесении Дарбу пространства на проективное пространство все точки каждого слоя пространства конформной связности отображаются в точки квадрики Дарбу , получающейся при пересечении гиперквадрики Дарбу с полярой точки относительно этой гиперквадрики (теорема II.17).

В п.п. 2, 3 § 3 доказано, что инвариантное полное оснащение распределения М в полями квазитензоров , задает нормализацию пространства конформной связности , определяемую полем окружностей (теорема II.18). Если полное оснащение распределения М в является невырожденным (то есть основной тензор невырожден), то индуцируется второе пространство конформной связности , метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором пространства (теорема II.19); приведены строения компонент тензора кривизны - кручения пространства .

В главе III разработаны основы теории гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов в конформном пространстве и указаны пути ее приложения.

В § 1 записываются дифференциальные уравнения гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов в , для которого базисным распределением является распределение К m-мерных линейных элементов, а оснащающим - распределение М гиперплоскостных элементов.

В § 2 в первой дифференциальной окрестности построено 8 полных оснащений гиперполосного распределения, определенных внутренним образом. Найден геометрический смысл обращения в нуль тензоров первого порядка , , , , , .

§ 3 посвящен изучению аффинных связностей на вполне оснащенном гиперполосном распределении m-мерных линейных элементов в . Доказано, что при полном оснащении гиперполосного распределения в полями нормальных (n-m)-сфер и касательных m-сфер индуцируется аффинная связность (теорема III.4); приведены компоненты тензора кручения и тензора кривизны связности. В различных расслоениях вполне оснащенного гиперполосного распределения исследуются три пары аффинных связностей (теоремы III.5 - III.8).

В § 4 доказано, что инвариантное полное оснащение гиперполосного распределения в полями квазитензоров , в расслоении (n-m)-сфер индуцирует нормальную связность ; приведены строения компонент тензора кривизны - кручения связности.

В § 5 показано, что распределение К m-мерных линейных элементов во второй дифференциальной окрестности инвариантным внутренним образом порождает гиперполосное распределение в , для которого распределение К является базисным. Следовательно, теорию гиперполосного распределения, рассмотренную в главе III, можно приложить к изучению геометрии распределения m-мерных линейных элементов в пространстве , что значительно облегчит разработку теории распределений m-мерных линейных элементов в и обогатит ее новыми геометрическими фактами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые оснащения распределения М гиперплоскостных элементов и гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов в конформном пространстве .

2. Найдены необходимое и достаточное условия, при выполнении которых распределение М гиперплоскостных элементов является сферическим.

3. Построены основы теории линейных связностей (аффинных, нормальных и конформных), индуцируемых различными оснащениями распределения М в ; в частности:

- аффинная связность , индуцируемая полным оснащением распределения М в , является вейлевой, найдены условия, при которых она является римановой и обобщенно римановой;

- найдены условия, при которых нормальные связности , , на вполне оснащенном распределении М в являются полуплоскими, а также условия, при которых связности , имеют одинаковые тензоры кривизны-кручения;

- получены условия параллельности гладкого поля одномерных направлений в нормальных связностях , , , ;

- касательное оснащение распределения М в индуцирует пространство конформной связности с полем метрического тензора ; в случае нулевого кручения оно является эквиконформным и выполняются аналоги тождеств Риччи;

- невырожденное полное оснащение распределения М в индуцирует второе пространство конформной связности , метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором пространства .

4. Найдено приложение аффинной связности к изучению внутренней геометрии тканей на подмногообразии М.

5. Введен в рассмотрение новый дифференциально-геометрический образ - гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов в (m<n-1), получен ряд результатов по исследованию аффинных и нормальных связностей, индуцированных полным оснащением этого многообразия.

6. Найдено приложение теории гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов к изучению внутренней геометрии распределений m-мерных линейных элементов в конформном пространстве .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М. А. Акивис // Матем. сб. - М., 1952. - Т. 31. - № 1. - С. 43-75.

[2] Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Акивис // Матем. сб. - М., 1961. - Т. 53. - № 1. - С. 53-72.

[3] Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys. Лит. мат. сб. - 1971. - Т. 11. - № 11. - С. 63-74.

[4] Бронштейн Р. Ф. К конформной теории многомерных распределений / Р. Ф. Бронштейн // Геометрия погруженных многообразий. - М. : МГПИ, 1983. - С. 17-25.

[5] Бушманова Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Бушманова, А. П. Норден. - Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1972. - 178 с.

[6] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. - М. : МГУ, 1950. - Вып. 8. - С. 11-72.

[7] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва : сб. ст. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

[8] Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. - М., 1958. - Т. 3. - С. 409-418.

[9] Лаптев Г. Ф. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I. / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Труды Геометр. семинара / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

[10] Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. - М., 2001. - № 719. - В2001. - 19 с.

[11] Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1950. - Т. 14. - № 2. - С. 105-122.

[12] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.

[13] Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Труды Геометр. семинара / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

[14] Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства / Ю. И. Попов. - Изд-во С. - Петербургского ун-та, 1992. - 172 с.

[15] Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. - 1948. - Т. 59. - № 6. - С. 1057-1060.

[16] Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - 2-е изд., доп. - Чебоксары : Изд-во Чуваш. гос. пед. ин-та, 1994. - 290 с.

[17] Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2002. - 204 с.

[18] Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2007. - 180 с.

[19] Филоненко Л. Ф. Распределение m-мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности / Л. Ф. Филоненко // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград, 1995. - Вып. 26. - С. 89-102.

[20] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М.-Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

[21] Фисунов П. А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах в проективном пространстве / П. А. Фисунов. - Чебоксары, 2006. - 129 с.

[22] Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян / Казанское мат. об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр. конференции. - Казань, 1976. - С. 209.

[23] Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В. Чакмазян. - Ереван : Армянск. пед. ин-т, 1990. - 116 с.

[24] Шелехов А. М. О три-тканях, образованных пучками окружностей / А. М. Шелехов // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. - М., 2005. - Т. 32. - С. 7-28.

[25] Cartan E. Les йspaces б connexion conforme / E. Cartan // Ann. Soc. Polon. math. - 1923. - 2. - P. 171-211.

[26] Ehresmann C. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie. - Bruxelles, 1950. - P. 29-55.

[27] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem. - Palermo, 1917. - P. 173-205.

[28] Thomsen G. Ыber konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ. - Humburg, 1924. - 3. - P. 31-56.

[29] Weyl H. Raum. Zeit, Materie. - Berlin : Springer, 1923.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Матвеева А. М. Аффинные и нормальные связности на вполне оснащенной неголономной гиперповерхности конформного пространства / А. М. Матвеева // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Пятой молодежной науч. школы-конф. - Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2006. - Т. 34. - С. 160-162.

[2] Матвеева А. М. Аффинные и нормальные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - Чебоксары, 2006. - № 5 (52). - С. 100-107.

[3] Матвеева А. М. Аффинные и нормальные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // Наука XXI века : сб. ст. по материалам III Республиканского конкурса научно-исследовательских работ студентов, аспирантов, молодых ученых и научно-технических работников (в области естественно-математических наук). - Чебоксары : ЧГИГН, 2006. - С. 4-6.

[4] Матвеева А. М. Аффинные и нормальные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела : тезисы Регион. науч. конф. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2006. - С. 27-28.

[5] Матвеева А. М. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М., 2006. - № 395. - В2006. - 16 с.

[6] Матвеева А. М. Дифференциально-геометрические структуры на оснащенной неголономной гиперповерхности конформного пространства / А. М. Матвеева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2006. - № 1 (7). - Т. 1. - С. 28-33.

[7] Матвеева А. М. Аффинные связности на гиперполосном распределении конформного пространства / А. М. Матвеева // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Шестой молодежной науч. школы-конф. - Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007. - Т. 36. - С. 144-147.

[8] Матвеева А. М. Дифференциально-геометрические структуры на оснащенной неголономной гиперполосе конформного пространства / А. М. Матвеева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2007. - № 2 (10). - Т. 1. - С. 112-117.

[9] Матвеева А. М. Конформно-дифференциальная геометрия сферического распределения гиперплоскостных элементов / А. М. Матвеева // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград : Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. - Вып. 38. - С. 95-102.

[10] Матвеева А. М. Конформные связности на оснащенной неголономной гиперповерхности конформного пространства / А. М. Матвеева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2007. - № 1 (9). - Т. 1. - С. 12-19.

[11] Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенной неголономной гиперполосе конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - Чебоксары, 2007. - Т. 1. - № 3 (55). - С. 48-55.

[12] Матвеева А. М. Нормальные связности на вполне оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М., 2007. - № 443. - В2007. - 21 с.

[13] Матвеева А. М. Параллельные перенесения инвариантных полей пучков гиперсфер в нормальной связности на вполне оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М., 2007. - № 70. - В2007. - 19 с.

[14] Матвеева А. М. Поля фундаментальных геометрических объектов и аффинные связности на гиперполосном распределении конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М., 2007. - № 972. - В2007. - 17 с.

[15] Матвеева А. М. Пространство конформной связности, индуцируемое касательным оснащением распределения гиперплоскостных элементов конформного пространства / А. М. Матвеева // Математика. Образование : Материалы XV междунар. конф. - Чебоксары, 2007. - С. 244.

[16] Матвеева А. М. Внутренняя геометрия тканей на распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М., 2008. - № 239. - В2008. - 27 с.

[17] Матвеева А. М. Гиперсопряженная система конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - Чебоксары, 2008. - № 2 (58). - С. 30-36.

[18] Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Известия вузов. Матем. - Казань, 2008. - № 7. - С. 79-84.

[19] Матвеева А. М. Приложение аффинной связности к изучению внутренней геометрии тканей на распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2008. - № 1 (11). - Т. 1. - С. 17-23.

Размещено на Allbest.ru