Риманова геометрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

"Белгородский государственный национальный исследовательский университет"

Старооскольский филиал (СОФ НИУ "БелГУ")

Реферат

по дисциплине "Основы математической обработки информации"

Риманова геометрия

Шмойлова Елена Алексеевна

Старый Оскол 2017

Риманова геометрия - это раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, т. е. гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, иначе говоря - с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, причём эта метрика гладко меняется от точки к точке. Иногда, особенно часто в математической физике, под римановой геометрией подразумевают также и псевдориманову геометрию многообразий с псевдоримановой метрикой, например, пространства-времени специальной и общей теории относительности.

Основным подразделом римановой геометрии в математике является геометрия в целом - раздел, который выявляет связь глобальных свойств риманова многообразия, как то: топология, диаметр, объём - и его локальных свойств, к примеру, ограничений на кривизну.

История

Родоначальником римановой геометрии является немецкий математик Риман, который изложил её основные понятия в 1854 году.

Научно-исследовательские труды Бернхард Римана оказали огромное влияние на развитие математики в конце XIX и начале XX веков.

Выдающийся математик и геометр Риман ввел так называемые римановы поверхности, которые сыграли важную роль при исследовании многозначных функций. риман геометрия математический

В 1854 году в своей знаменитой лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии" Риман дал общую идею математического пространства или "многообразия", включая функциональные и топологические пространства. Здесь Риман рассматривал геометрию как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, то есть совокупностях любых однородных объектов. Обобщив результаты К. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, Риман сформулировал понятие линейного элемента, так называемого дифференциала расстояния между точками многообразия. Главным достижением ученого Римана стало создание новой геометрии. Риманова геометрия - это раздел дифференциальной геометрии, объектом изучения которой, главным образом, являются римановы многообразия. Римановы многообразия - это гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, то есть с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке. Подразделом римановой геометрии является геометрия в целом, которая выявляет связь глобальных свойств риманова многообразия (к примеру, топология или диаметр) и его локальных свойств (к примеру, ограничений на кривизну). Основными элементами трехмерной римановой геометрии являются точки, прямые и плоскости. В римановой геометрии имеют место такие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Таким образом, требования аксиом римановой геометрии, относящиеся конгруэнтности, обеспечивают свободные движения фигур по плоскости и в пространстве Римана, как на плоскости, так и в пространстве Евклида. Метрические свойства плоскости Римана "в малом" совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы, а именно: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R2 называется кривизной пространства Римана. Следует отметить, что, чем меньше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым."В целом" свойства плоскости Римана отличаются от свойств целой сферы в следующем: на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые выступают как прямые в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость, таким образом, если прямая а лежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a, не лежащие на прямой а, возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а. Таким образом, Риман построил вторую разновидность неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского. Уникальные идеи и методы, предложенные Риманом открыли новые пути для развития математики, и нашли применение в механике и физике. Развитию римановой геометрии послужило создание итальянскими учеными Риччи-Курбастро и Леви-Чивита тензорного исчисления.

В евклидовой геометрии, как и в гиперболической геометрии Бойаи - Лобачевского, молчаливо допускается, что всякая прямая бесконечна (бесконечность прямой существенно связана с отношением "быть между" и аксиомами порядка). Но после того как гиперболическая геометрия открыла путь к свободному построению геометрий, естественно возник вопрос о том, нельзя ли осуществить построение таких неевклидовых геометрий, в которых прямые линии конечны и замкнуты. Разумеется, в таких геометриях теряют силу не только постулат о параллельных, но и аксиомы порядка. Современные исследования выяснили значение этих геометрий для новейших физических теорий. Впервые такие геометрии были подвергнуты рассмотрению в речи, произнесенной в 1851 г. Риманом при вступлении его в должность приват-доцента Гёттингенского университета. Геометрии с замкнутыми конечными прямыми могут быть построены без каких-бы то ни было противоречий Вообразим двумерный мир, состоящий из поверхности S сферы, причем под "прямыми" условимся понимать большие круги сферы. Это был бы самый естественный способ описывать "мир" мореплавателя: дуги больших кругов являются кратчайшими кривыми, связывающими две точки на сфере, а это как раз и есть характеристическое свойство прямых на плоскости. В рассматриваемом двумерном мире всякие две "прямые" пересекаются, так что из внешней точки нельзя провести ни одной "прямой", не пересекающейся с данной (т. е. ей параллельной). Геометрия "прямых" в этом мире называется эллиптической геометрией. Расстояние между двумя точками в такой геометрии измеряется просто как длина кратчайшей дуги большого круга, проходящего через данные точки. Углы измеряются так же, как и в евклидовой геометрии. Самым характерным свойством эллиптической геометрии мы считаем несуществование параллельных.

Рис. 2. Модель неевклидовой плоскости Пуанкаре

Следуя Риману, мы можем обобщить эту геометрию следующим образом. Рассмотрим "мир", состоящий из некоторой кривой поверхности в пространстве (не обязательно сферы) и определим "прямую линию", проходящую через две точки, как кратчайшую кривую ("геодезическую"), соединяющую эти точки. Точки поверхности можно разбить на два класса: 1°. Точки, в окрестности которых поверхность подобна сфере в том отношении, что она вся лежит по одну сторону от касательной плоскости в этой точке. 2°. Точки, в окрестности которых поверхность седлообразна (лежит по обе стороны касательной плоскости). Точки первого класса называются эллиптическими точками поверхности - по той причине, что при небольшом параллельном перемещении касательной плоскости она пересечет поверхность по кривой, имеющей вид эллипса; точки же второго класса носят название гиперболических, так как при аналогичном перемещении касательной плоскости получается пересечение с поверхностью, напоминающее гиперболу. Геометрия геодезических "прямых" в окрестности точки поверхности является эллиптической или гиперболической, смотря по тому, будет ли сама точка эллиптической или гиперболической. На этой модели неевклидовой геометрии углы измеряются, как в обыкновенной евклидовой геометрии.

Рис.3. 'Прямые линии' в геометрии Римана

Изложенная идея была развита Риманом дальше: он рассмотрел геометрии пространства, аналогичные только что разобранным геометриям поверхности. По Риману, "кривизна" пространства, меняясь от точки к точке, определяет характер геометрии в окрестности точки. "Прямые линии" у Римана - геодезические кривые. В эйнштейновой общей теории относительности геометрия пространства есть риманова геометрия; свет распространяется по геодезическим линиям, а кривизна пространства в каждой точке определяется в зависимости от свойств материи в окрестности точки.

Рис. 4. Эллиптическая точка

Возникнув из чисто аксиоматических изысканий, неевклидова геометрия в наши дни стала чрезвычайно полезным аппаратом, допускающим различные применения при изучении физической реальности. В теории относительности, в оптике, в общей теории колебаний неевклидово описание явлений оказывается в ряде случаев гораздо более адекватным физической реальности, чем евклидово.

Рис. 5. Гиперболическая точка

Литература

1. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию, - СПб: Наука, 1994. 318 с.

2. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ - М.:Наука, 1967.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения - М.: Наука, 1979.

4. Постников М.М. Риманова геометрия (Лекции по геометрии. семестр V) - М.: Факториал Пресс, 1998. 496 с.

5. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом - М.: Мир, 1971

Размещено на Allbest.ru