Теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория вероятностей

1. Элементы комбинаторики

Задание к разделу 1:

Задача 2. Сколько шестизначных телефонных номеров можно составить из цифр от 1 до 9, если цифры не повторяются? Цифры повторяются?

Решение.

Поскольку имеется существенная разница, в каком порядке следуют друг за другом цифры в номере телефона, количество таких номеров вычисляется с помощью размещений.

В случае если телефонный номер состоит из 6 цифр и цифры не повторяются, используется формула размещений , в которой , . Получим шестизначных телефонных номеров, в которых цифры не повторяются.

В случае если телефонный номер состоит из 6 цифр и цифры могут повторяться, используется формула размещений с повторениями , в которой , . Получим шестизначный телефонный номер, в которых цифры не повторяются.

Ответ: 60480; 531441.

2. Случайные события и их вероятности

Задание 1 к разделу 2:

Задача 2. Студент знает вопросов из вопросов программы. Экзаменатор задает три вопроса из имеющихся. Найти вероятность того, что студент знает ответы: а) на все три вопроса, б) только на два вопроса.

Решение.

а) Пусть событие - студент знает ответы на все три вопроса, заданных экзаменатором. Общее число всех случаев, которыми экзаменатор выберет 3 вопроса из 30 вопросов программы, есть . Найдем число способов, которыми можно выбрать три вопроса из 25 вопросов, на которые студент знает ответы, т.е. . Тогда по классической формуле вероятностей получим

б) Пусть событие - студент знает ответы только на два вопроса, заданных экзаменатором. Общее число всех случаев, которыми экзаменатор выберет 3 вопроса из 30 вопросов программы, есть . Найдем число способов, которыми могут быть выбраны два вопроса из 25 вопросов, на которые студент знает ответы, т.е. . Кроме того, учтем число комбинаций, которыми можно выбрать 1 вопрос из 20 вопросов, на которые студент не сможет ответить, таких комбинаций . По правилу произведения общее число случаев благоприятствующих событию , равно . Итак,

Ответ: а) , б) .

Задание 2 к разделу 2:

Задача 3. Две фирмы взяли кредиты в банке. Вероятность того, что первая фирма вернет кредит в срок , а вторая . Какова вероятность того, что только одна фирма вернет кредит в срок? Обе фирма вернут кредит в срок? Обе фирмы не вернут кредит в срок?

Решение.

Обозначим событие - первая фирма вернет кредит в срок, событие - вторая фирма вернет кредит в срок. Известны вероятности возвращения кредита 1-ой и 2-ой фирмами: ; .

Тогда вероятности того, что фирмы не вернут кредитов:

; .

а) Событие - только одна фирма вернет кредит в срок. Очевидно, что событие произойдет, если кредит вернет только 1-ая фирма из двух, или только 2-ая фирма. Таким образом, записывается формула

или можно использовать следующие обозначения:

.

б) Событие - обе фирмы вернут кредит в срок. Т.е. событие можно записать . Вероятность этого события ищем по формуле:

.

в) Событие - ни одна фирма не вернет кредит в срок. Т.е. событие записывается . Вероятность этого события ищем по формуле:

.

Ответ: а) , б) , в) .

3. Последовательность независимых испытаний

Задание к разделу 3:

Задача 3. Исследования показали, что из каждых десяти призывников трое имеют искривление позвоночника. Комиссия обследует 6 юношей. Какова вероятность того, что 2 из них имеют искривления позвоночника?

Решение.

В условиях данной задачи применим формулу Бернулли:

.

События, состоящие в том, что отдельно взятый призывник имеет искривление позвоночника, являются независимыми. В данном случае известно, что - вероятность того, что отдельно взятый призывник имеет искривление позвоночника, тогда . Комиссия обследует 6 юношей, т.е. .

Пусть событие - только двое из шести юношей имеют искривления позвоночника, тогда .

Записываем формулу и вычисляем:

.

Ответ: .

4. Случайные величины

Задание к разделу 14:

Случайная величина распределена по закону:

Найти: р, М (Х), D (Х).

Решение.

Сумма вероятностей в законе распределения должна быть равна 1. Поэтому .

Тогда закон распределения имеет вид:

Математическое ожидание определяется по формуле

.

Таким образом, получаем

.

Для определения дисперсии воспользуемся формулой:

.

Составим закон распределения случайной величины X²:

Найдем математическое ожидание :

.

Тогда дисперсия:

.

Ответ: , , .

комбинаторика вероятность математический дисперсия

Размещено на Allbest.ru