Ряд Тейлора
Ознакомление с историей открытия ряда Тейлора, который применяется при аппроксимации функции многочленами. Рассмотрение формулы Тейлора. Исследование рядов Маклорена некоторых функций. Характеристика натурального логарифма и биноминального разложения.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 16.11.2017 |
Размер файла | 175,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
Ряд Тейлора -- разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора -- его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
1. Определение
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции f в точке a.
2. Связанные определения
В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Маклорена.
3. Свойства
· Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
· Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:
У этой функции все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю.
3.1 Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
· Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,е)
· Пусть
· Пусть p -- произвольное положительное число,
тогда: точка при x < a или при x > a:
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха -- Роша).
Пример 1.
Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x = 1.
Решение.
Вычислим производные:
Видно, что для всех n ? 3. Для x = 1 получаем значения:
Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид
3.2 Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
Ослабим предположения:
· Пусть функция f(x) имеет n ? 1 производную в некоторой окрестности точки a
· И n производную в самой точке a, тогда:
-- остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)
4. Ряды Маклорена некоторых функций
Экспонента:
Натуральный логарифм:
для всех
Биномиальное разложение:
для всех и всех комплексных где
Пример 2.
Найти разложение в ряд Маклорена функции .
Решение.
Пусть , где м ? действительное число, и x ? ?1. Производные будут равны тейлор многочлен логарифм
При x = 0, соответственно, получаем
Следовательно, разложение в ряд записывается в виде
В частности:
· Квадратный корень:
для всех
для всех | x | < 1
Пример 3.
Найти разложение в ряд Маклорена функции .
Решение.
Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя , получаем
Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде
· Конечный геометрический ряд:
для всех
Тригонометрические функции:
для всех где B2n -- Числа Бернулли
для всех
для всех
для всех
Гиперболические функции:
для всех
для всех
для всех
Пример 4.
Найти ряд Маклорена для функции .
Решение.
Воспользуемся тригонометрическим равенством . Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид , то можно записать
Отсюда следует:
5. Формула Тейлора для функции двух переменных
Пусть функция f(x,y) имеет полные производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введём дифференциальный оператор
.
Тогда разложением в ряд Тейлора функции f(x,y) по степеням (x ? x0)k и (y ? y0)k в окрестности точки (x0,y0) будет
где Rn(x,y) -- остаточный член в форме Лагранжа:
В случае функции одной переменной , поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе T.
Список использованных источников
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд., перереб. И доп. - М.:ЮНИТИ, 2004. - 471с.
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%FF%E4_%D2%E5%E9%EB%EE%F0%E0
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010Использование формулы Тейлора для разложения основных элементарных функций в степенной ряд. Сущность форм Лагранжа и Пеано, примеры вычисление пределов функций. Особенности использования принципа разложения в ряд на ЭВМ в режиме реального времени.
курсовая работа [107,1 K], добавлен 29.04.2011Коротка біографія видатного математика Б. Тейлора. Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано та у Лагранжовій формі. Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора. Формула Тейлора для многочлена та для функції однієї змінної.
курсовая работа [547,0 K], добавлен 20.05.2015Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
курсовая работа [261,6 K], добавлен 05.09.2009Схема полного исследования бесконечно больших и малых функций и построение их графика. Арифметические теоремы о пределе функции. Применение формулы Тейлора, Маклорена, Коши, Лопиталя-Бернулли. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.
курс лекций [1,3 M], добавлен 14.12.2012Основные признаки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функций. План решения текстовых задач на экстремум. Производные высших порядков. Формулы Тейлора и Маклорена. Применение дифференциалов при оценке погрешностей. Длина плоской кривой.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.11.2010Исследование числовых рядов на сходимость. Область сходимости для разных степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора. Нормы сеточной функции. Исследование устойчивости разностной схемы для однородного уравнения. Совокупность разностных уравнений.
курсовая работа [586,9 K], добавлен 19.04.2011Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи разложения в ряд Тейлора. Применение метода индуцированной алгебры. Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи метода индуцированной алгебры. Сравнение работоспособности методов решений.
курсовая работа [92,0 K], добавлен 24.05.2012Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011Общая терминология и история изобретения логарифма. Характеристики натурального и обычного логарифма, определение дробного числа и мантиссы. Таблицы и свойства натуральных логарифмов. Логарифмическая и экспоненциальная кривая, понятие функции логарифма.
реферат [211,2 K], добавлен 05.12.2011