Ряд Тейлора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Ряд Тейлора -- разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора -- его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

1. Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

2. Связанные определения

В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Маклорена.

3. Свойства

· Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

· Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю.

3.1 Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

· Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,е)

· Пусть

· Пусть p -- произвольное положительное число,

тогда: точка при x < a или при x > a:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха -- Роша).

Пример 1.

Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x = 1.

Решение.

Вычислим производные:

Видно, что для всех n ? 3. Для x = 1 получаем значения:

Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид

3.2 Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

Ослабим предположения:

· Пусть функция f(x) имеет n ? 1 производную в некоторой окрестности точки a

· И n производную в самой точке a, тогда:

-- остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

4. Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента:

Натуральный логарифм:

для всех

Биномиальное разложение:

для всех и всех комплексных где

Пример 2.

Найти разложение в ряд Маклорена функции .

Решение.

Пусть , где м ? действительное число, и x ? ?1. Производные будут равны тейлор многочлен логарифм

При x = 0, соответственно, получаем

Следовательно, разложение в ряд записывается в виде

В частности:

· Квадратный корень:

для всех

для всех | x | < 1

Пример 3.

Найти разложение в ряд Маклорена функции .

Решение.

Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя , получаем

Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде

· Конечный геометрический ряд:

для всех

Тригонометрические функции:

для всех где B_2n -- Числа Бернулли

для всех

для всех

для всех

Гиперболические функции:

для всех

для всех

для всех

Пример 4.

Найти ряд Маклорена для функции .

Решение.

Воспользуемся тригонометрическим равенством . Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид , то можно записать

Отсюда следует:

5. Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция f(x,y) имеет полные производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Введём дифференциальный оператор

.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции f(x,y) по степеням (x ? x₀)^k и (y ? y₀)^k в окрестности точки (x₀,y₀) будет

где R_n(x,y) -- остаточный член в форме Лагранжа:

В случае функции одной переменной , поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе T.

Список использованных источников

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд., перереб. И доп. - М.:ЮНИТИ, 2004. - 471с.

2. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%FF%E4_%D2%E5%E9%EB%EE%F0%E0

Размещено на Allbest.ru