Матрицы и операции над матрицами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

• Матрицы и операции над матрицами
• Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:
• (1.1)
• Числа называются элементами матрицы.
• Элементы матрицы обозначаются где - номер строки , а - номер столбца . Матрицу называют матрицей размера Часто вместо подробной записи (1.1) употребляют сокращенную: или .
• Виды матриц

1. Матрица может состоять только из одной строки или из одного столбца. В этих случаях она называется соответственно матрица-строка или матрица-столбец.

Например: или .

2. Если , т.е. число строк и столбцов в матрице совпадают, то матрица называется квадратной:

Число n называется порядком квадратной матрицы. Элементы образуют главную диагональ матрицы. Диагональ называется побочной диагональю.

3. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, находящиеся ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, т.е. треугольная матрица имеет вид:

или .

При этом матрица называется верхнетреугольной, а матрица - нижнетреугольной.

4. Квадратная матрица вида называется диагональной.

5. Если элементы главной диагонали матрицы равны , а все остальные - , то она называется единичной и обозначается:

.

6. Нулевой называется матрица состоящая из одних нулей.

7. Две матрицы и называются равными друг другу (пишут ), если содержат одинаковое количество как строк, так и столбцов, и все их соответствующие элементы равны друг другу, т.е. для всех и . Если в квадратной матрице порядка ( и ), то матрица называется симметрической.

Например: - симметрическая матрица.

8. Транспонированной матрицей называется матрица порядка полученная из исходной матрицы порядка путем замены столбцов на строки с теми же номерами и элементами. Если матрица , то . Другими словами, для всех и .

Основные операции над матрицами

1. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Суммой (разностью) двух матриц и называется матрица , элементами которой являются сумма (разность) соответствующих элементов исходных матриц, т.е. . Сумма (разность) матриц и обозначаются и соответственно.

Свойства сложения матриц:

а) (коммутативность);

б) (ассоциативность);

в) ;

где - произвольные матрицы одинакового размера.

2. Операция умножения матрицы любого размера на произвольное действительное число сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число. Так,

Свойства умножения матрицы на действительное число:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ,

где и - произвольные матрицы, а и - любые действительные числа.

Пример. Даны матрицы и .

Найти .

Р е ш е н и е: ; .

3. Умножение матриц. Произведение матрицы на матрицу (обозначается ) определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Такие две матрицы и называются согласованными. В результате умножения получаем матрицу , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов, сколько в матрице  Для удобства запоминания запишем это кратко:

.

Если , и , то элементы определяются следующим образом:

,

где .

Это правило можно сформулировать так: элемент , стоящий на пересечении -й строки и -го столбца матрицы , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы Другими словами, элемент является результатом скалярного произведения -й вектор-строки и -го вектор-столбца. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка:

.

Свойства умножения матриц

Сформулируем свойства только для согласованных матриц.

1. Умножение матриц некоммутативно, т.е. . Однако если для каких-либо матриц соотношение выполняется, то такие матрицы называются коммутативными, или перестановочными. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера:.

2. Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения и , то определены и , и выполняется равенство:

3. Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения и , то соответственно:

.

4. Если произведение АВ определено, то для любого числа верно соотношение: .

5. Для любых матриц выполняется следующее свойство: , где - нулевая матрица.

6. Если определено произведение то определено произведение и выполняется равенство:

Следствие: при условии, что определено произведение матриц .

Пример. Найти произведения и матриц

и .

Р е ш е н и е:

= .

= .

Пример. Найти произведение матриц

и .

Р е ш е н и е:

= =

Пример. Найти , если

; и .

Р е ш е н и е: ;

= = ;

; + = .

Ответ:

Определитель матрицы

Каждой квадратной матрице может быть поставлено в соответствие некоторое число, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов матрицы. Такое число называют определителем (или детерминантом) матрицы и обозначают символом или . При этом порядком определителя называют порядок соответствующей матрицы.

1. Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании матрицы величина её определителя сохраняется, т.е. . Это свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет все последующие свойства формулировать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их и для столбцов.

2. При перестановке местами двух строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

3. Линейное свойство определителя. Если все элементы -й строки матрицы -го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых

,

то определитель матрицы равен сумме двух определителей матриц, у которых элементами -й строки являются соответственно и , а все остальные строки - такие же, как у исходного определителя. При этом определители умножаются на и соответственно:

.

Приведенные три свойства являются основными свойствами определителя. Все следующие свойства являются логическими следствиями трех основных свойств.

4. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит свой знак на противоположный. Таким образом, , т.е. или .

5. Умножение всех элементов некоторой строки матрицы на число влечет умножение определителя на это число Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки матрицы можно вынести за знак определителя. Это свойство вытекает из свойства 3 при .

6. Определитель матрицы равен нулю, если матрица содержит нулевую строку или столбец.

7. Если элементы двух строк матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю. В самом деле, в силу свойства 5 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель матрицы с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно свойству 4.

8. Если к элементам строки прибавить соответствующие элементы другой строки той же матрицы, даже умноженные на одно и то же число , то величина ее определителя не изменится. Действительно, полученный в результате указанного сложения определитель можно в силу свойства 3 разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк и свойства 7.

Определитель произведения матриц. Если , где и - квадратные матрицы одинакового порядка, то .

Пример. Вычислить определитель матрицы

Р е ш е н и е:

.

Пример. Даны матрицы и .

Найти .

Р е ш е н и е:

1-й способ: ; ;

.

2-й способ:,

.

Таким образом, , вычисленный разными способами, одинаков.

Вычисление определителей n-го порядка

Пусть дана квадратная матрица-го порядка. Минором любого элемента называют определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания -й строки и -го столбца (т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Как следует из определения, минор также является определителем, и его порядок ниже на единицу, чем исходный. Минор элемента будем обозначать символом .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называют минор этого элемента, умноженный на , т.е.

Пример. Вычислить определитель, разложив его по элементам второго столбца.

Р е ш е н и е: Разложим определитель по элементам второго столбца:

Упражнение. Вычислите каждый из следующих определителей двумя способами (с помощью правила треугольников и с помощью разложения по элементам строки или столбца):

а) ; б) ; в) .

В следующей главе рассмотрим основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью матриц.

Системы линейных алгебраических уравнений

Линейным (относительно неизвестных ) называют алгебраическое уравнение первой степени, т.е. уравнение вида , где - числа. Причина такого названия в том, что уравнение первой степени с двумя переменными определяет на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат прямую линию. Система линейных уравнений с неизвестными имеет вид

матрица определитель линейный алгебраический

В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных: может быть меньше, равно или больше числа . Числа (вещественные или комплексные) называются коэффициентами системы (3.1); - свободными членами; - неизвестными.

Систему (3.1) можно записать в матричной форме:,

где ; ; .

Если , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Совокупность чисел называется решением системы (3.1), если после замены неизвестных числами соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.

Метод Крамера

Ограничимся сначала рассмотрением систем, у которых число уравнений равно числу неизвестных (такие системы называют квадратными).

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (3.2).

Теорема. Если определитель квадратной системы (3.2) отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам:

,

где - определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца на столбец свободных членов.

Формулы нахождения неизвестных, указанные в теореме, носят название формул Крамера.

Пример. Найти решение системы уравнений:

Р е ш е н и е: Составим определитель системы:

; ; .

Ответ: .

Размещено на Allbest.ru