Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство общего и профессионального образования РФ

Пермский государственный технический университет

Кафедра «Металлорежущие станки и инструменты»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Математическое моделирование процессов и оборудования»

Вариант 19

Факультет: механико-технологический

Курс: пятый

Отделение: заочное

Шифр группы: УК-03

Преподаватель: Никитин С.П.

Студент: Новикова М.С.

Пермь 2008

Аннотация

Данная контрольная работа направлена на:

- закрепление теоретических знаний и приобретение навыков по математическому описанию гидромеханических систем с помощью метода прямой аналогии;

-приобретение навыков расчета и анализа динамики упругих систем операторным методом.

Работа направлена на освоение методов и приемов формализации свойств изучаемого объекта (технологических процессов и оборудования) для получения новой информации о нем в результате вычислительного эксперимента с помощью ЭВМ.

Содержание

• 1 Разработка математической модели гидромеханической схемы методом прямой аналогии
• 1.1 Исходные данные
• 1.2 Построение механической цепи системы
• 1.3 Составление эквивалентной схемы гидромеханической системы
• 1.4 Составление системы дифференциальных уравнений по эквивалентной схеме
• 1.4.1 Метод контурных токов
• 1.4.2 Метод узловых потенциалов
• 1.5.1 Обобщенный метод
• 1.5.2 Узловой метод
• 1.6 Определение параметров математической модели
• 1.7 Определение статических характеристик системы
• 1.8 Определение зависимостей параметров системы
• 2 Анализ динамики системы операторным способом
• Заключение
• Список литературы

1 Разработка математической модели гидромеханической схемы методом прямой аналогии

1.1 Исходные данные

Схема гидромеханической системы:

уравнение дифференциальный схема гидромеханический

Рис. 1

Конструктивные параметры элементов гидромеханической системы:

Источник гидравлической энергии:	P=96 кг/см2
Орган управления (дроссель): Диаметр сечения Длина дросселирующего отверстия	0,72 см 7,2 см
Величина усилия на рабочем органе	220 кг.
Параметры двигателя: Диаметр цилиндра Длина цилиндра (хода) Диаметр штока	280 мм 1000 мм 56 мм
Рабочий орган: Вес стола	1250 кг
Поршень со штоком: Вес поршня со штоком	724 кг

Задание:

В статике:

- определить установившиеся значения давлений в полостях цилиндра и скоростей поршня и рабочего органа;

- найти зависимость давления в левой полости от параметров напорной магистрали.

В динамике:

Найти закон изменения давления в левой полости от ступенчатого воздействия (изменения) расхода в напорной магистрали.

Принцип действия системы:

Масло из резервуара подается насосом 3 с давлением P_н=const в левую полость гидроцилиндра 4 по трубопроводу 2 через регулируемый дроссель 1, перемещая поршень 5 вправо. Поршень перемещается, двигая суппорт 6, массой М, преодолевая усилие Fн. Масло из правой полости гидроцилиндра 7 поступает по сливной магистрали 8 обратно в резервуар.

1.2 Построение механической цепи системы

В расчетной работе фигурируют две подсистемы:

· напорная гидросистема;

· механическая подсистема;

· сливная гидросистема.

Произведем следующие замены:

Насосную станцию отображаем в виде насосной станции, обеспечивающей постоянное давление, остальными явлениями пренебрегаем.

Сопротивление течению жидкости по напорной магистрали и в дросселе отображаем линейным сопротивлением R_1.

В левой полости гидроцилиндра учитываем явление упругости жидкости, остальными пренебрегаем.

Ввиду негерметичности поршня масло будет перетекать через кольцевую щель, учтем это линейным сопротивлением R₂.

Инерционность подвижных узлов:

Поршня со штоком m₁

Суппорта m₂

В штоке учитываем упругость С₂:

В правой полости гидроцилиндра учитываем явление упругости жидкости С₃, остальными пренебрегаем.

В сливной магистрали учитываем сопротивление течению жидкости по трубопроводу R₃.

В направляющих суппорта учтем линейное сопротивление r.

Нелинейное сопротивление в направляющих суппорта n.

Произведем соединение элементов согласно правил, изложенных в методическом пособии (R₁ вкл. R_др):

Рис. 2

1.3 Составление эквивалентной схемы гидромеханической системы

Произведем замену элементов механической цепи элементами эквивалентной схемы:

Рис. 3

1.4 Составление системы дифференциальных уравнений по эквивалентной схеме

1.4.1 Метод контурных токов

Рис. 4

Выделим в схеме (рис. 4) независимые контура. Для каждого контура составим уравнение по второму закону Кирхгофа (УR_iI_i=E_i)

1.4.2 Метод узловых потенциалов

За неизвестные принимаем потенциалы в узлах системы. Один узел заземляем, т.е. принимаем его потенциал равным 0, и принимаем его за базовый. Затем для оставшихся узлов эквивалентной схемы записываем уравнения равновесия по 1-му закону Кирхгофа (УI_В=0) и получаем систему уравнений относительно токов в ветвях эквивалентной схемы.

Рис. 5

I₁ -IQ₁ -I₂ -I₃=0

IF₁ -IF₂-I₄ -I₅ =0

I₅ -I₆ -I₇ - I₈ -I₉=0

I₂+ IQ₂ -I₁₀ -I₁₁=0

Запишем компоненты уравнения для каждого из элементов эквивалентной цепи, выражая точки в ветвях через разность потенциалов узлов.



IQ₁=ц₂S₁

IQ₂=ц₃S₂

IF₁=ц₁S₁

IF₂=ц₄S₂

Подставляя компонентные уравнения в систему топологических уравнений, получим систему из 4-х дифференциальных уравнений относительно потенциалов в узлах эквивалентной схемы.

---=0

---=0

--+Fn=0

+--=0

1.5 Составление системы уравнений по графу системы

Построим граф системы по эквивалентной схеме:

Рис. 6

1.5.1 Обобщенный метод

Граф системы имеет 5 узлов. На основании графа строим матрицу М, имеющую размерность n*m=12*4, где 12 - число хорд, 4 - число ветвей. Строим матрицу контуров и сечений

	C1	Сm1	Сm2	С3
Pn	+1	0	0	0
R1	+1	0	0	0
R2	-1	0	0	+1
R3	0	0	0	-1
L	0	-1	+1	0
n	0	0	-1	0
R4	0	0	-1	0
IF1	0	+1	0	0
IF2	0	0	-1	0
IQ1	-1	0	0	0
IQ2	0	0	0	+1
Fn	0	0	+1	0

На основании матрицы составляем систему топологических уравнений вида:

MU_вд + U_x = 0

I_вд - M^t*I_x = 0,

Составим систему компонентных уравнений:

Таким образом, получили совокупность уравнений, представляющих собой математическую модель системы и характеризующих динамику системы.

1.5.2 Узловой метод

На основе графа системы строим матрицу инциденций А. Размеры матрицы n*m=4*16, где n - число строк (узлов), m - число столбцов (ребер).

	Pn	С1	L	С3	Cm1	Cm2	R1	R2	R3	JF1	JF2	JQ1	JQ2	n	R4	Fn
1	+1	-1	0	0	0	0	+1	-1	0	0	0	-1	0	0	0	0
2	0	0	-1	0	-1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
3	0	0	+1	0	0	-1	0	0	0	0	-1	0	0	-1	-1	0
4	0	0	0	-1	0	0	0	+1	-1	0	0	0	+1	0	0	0

На основе матрицы получаем систему топологических уравнений:

Составим систему компонентных уравнений:

1.6 Определение параметров математической модели

1. Площадь поршня:

где S₁,S₂ - площади левой и правой полостей поршня соответственно.

2. Гидравлические сопротивления:

Сопротивление дросселя:

Сопротивление напорной магистрали:

,

где: с=900 кг/м³ - плотность масла;

l=1м - длина напорной магистрали;

d=0,01м - диаметр проходного сечения напорной магистрали;

х=30сСт - кинематическая вязкость жидкости.

Сопротивление сливной магистрали:

где: l=1м - длина сливной магистрали;

d_сл=0,015м - диаметр проходного сечения сливной магистрали;

Сопротивление течению жидкости через кольцевую щель:

где =0,0001 м - зазор между поршнем и гидроцилиндром;

Сопротивление механической системы:

где: V_max -максимальная скорость скольжения для смешанного трения;

- коэффициент трения покоя;

3. Жесткость масла:

Будем считать, что поршень находится в центре гидроцилиндра, l_л=l_пр=l/2= 500мм.

где с₁, с₃- податливости левой и правой полостей гидроцилиндра соответственно;

Е - приведенный модуль упругости, учитывающий сжимаемость масла и деформацию сосуда;

Lх -длина хода поршня.

Инерционные свойства механической системы:

Механическая податливость обратно пропорциональна жесткости, следовательно, жесткость штока L будет равна:

1.7 Определение статических характеристик системы

В статике необходимо выполнить следующее:

-определить установившиеся значения давлений в полостях цилиндра и скоростей поршня и рабочего органа;

- найти зависимость скорости поршня от усилия на рабочем органе.

Математическая модель, системы, полученная методом узловых потенциалов:

---=0

---=0

--+Fn=0

+--=0

Для перехода к статике приравняем все производные к нулю и получим систему уравнений. Сделаем допущение, что ц₂=ц₃, V_поршня=V_{рабочего органа}.

--=0

-=0

=0

+-=0

Перейдем к системе 3-х уравнений для того, чтобы найти статические характеристики системы:

--=0

-=0

+-=0

Вычисления свелись к нахождению ц₁ ц₂ ц₄. Вычисления производим, решая систему из трех уравнений (вычисления производились с помощью программы MathCAD). Получены следующие данные.

Давление в правой полости ц₁=Р₁= 0.68*10⁶ Па

Давление в левой полости ц₄=P₂=0,14*10⁶ Па

Скорость поршня и рабочего органа ц₃ =V=0,33 м/с

1.8 Определение зависимостей параметров системы

Найдем зависимость давления в левой полости P1 от параметров напорной магистрали R1 (примем R1=R_др).

Найдем зависимость из системы уравнений:

--=0

-=0

+-=0

Воспользуемся зависимостью:

Найдем зависимость P1 от d_нап. Примем l=1м

Рис.7. Зависимость изменения давления в левой полости от диаметра напорной магистрали

Из графика зависимости давления в левой полости от диаметра напорной магистрали (рис.7) видно, что диаметр увеличивается с увеличением давления.

Найдем зависимость P1 от l_нап. Примем d=0.01м

Рис.8. Зависимость изменения давления в левой полости от длины напорной магистрали

Из графика зависимости давления в левой полости от длины напорной магистрали (рис.8) видно, что длина уменьшается с увеличением давления.

2 Анализ динамики системы операторным способом

В динамике необходимо найти закон изменения давления в левой полости от ступенчатого воздействия (изменения) расхода в напорной магистрали.

Для анализа динамики возьмем систему уравнений, описывающих работу системы, которая была получена с помощью метода узловых потенциалов.

---=0

---=0

--+Fn=0

+--=0

Перейдем от оригинала к изображению при помощи преобразований Лапласа формальным способом.

---+-=-

--С-+=0

- -C+-=0

-+--=0

Преобразуем:

--+=-

-+-=0

-=-Fn

+-=0

Решение задачи заключается в определении (x)=D_i/D, где D_i и D - определители, получаемые разложением матриц.

Составим матрицу D2 путем замены столбца с коэффициентами ц₁ (так как в задании необходимо найти закон изменения давления в левой полости) матрицей свободных членов.

Таким образом, решение системы в изображениях принимает вид:

Перейдем от изображения к оригиналу, при помощи выражения и решим полученное характеристическое уравнение:

Получим следующие корни:

Решение исходной системы дифференциальных уравнений:

Тригонометрическая форма уравнения:

График переходного процесса выглядит, как представлено на рисунке 9.

Рис. 9

При ступенчатом воздействии расхода в напорной магистрали давление в левой полости увеличивается (рис.9).

Заключение

В ходе анализа гидромеханической системы, можно сделать следующие выводы:

Давление в правой полости ц₁=Р₁= 0.68*10⁶ Па

Давление в левой полости ц₄=P₂=0,14*10⁶ Па

Скорость поршня и рабочего органа ц₃ =V=0,33 м/с

2. Из графика зависимости давления в левой полости от диаметра напорной магистрали (рис.7) видно, что диаметр увеличивается с увеличением давления.

Из графика зависимости давления в левой полости от длины напорной магистрали (рис.8) видно, что длина уменьшается с увеличением давления.

3. При ступенчатом воздействии расхода в напорной магистрали давление в левой полости увеличивается (рис.9).

уравнение дифференциальный схема гидромеханический

Список литературы

1. Никитин С.П. Анализ математической модели гидромеханической системы методом прямой аналогии: Методические указания/Перм.гос.техн.ун-т - Пермь, 1992.

2. Никитин С.П. Математическое моделирование гидромеханической системы: Методические указания/Перм. гос. техн. ун-т - Пермь, 2005.

3. Никитин С.П. Анализ математической модели гидромеханической системы операторным способом: Методические указания /Перм.гос.техн.ун-т - Пермь, 1993.

Размещено на Allbest.ru