18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат на тему:

Алгебраїчні вирази та їх перетворення

Основні поняття та формули

В алгебрі вивчаються дії з числовими та буквеними величинами, а також розв'язання рівнянь, пов'язаних із цими діями. При цьому буквеним величинам можуть надаватися конкретні числові значення.

Одночленом називається добуток кількох співмножників, що є числами або буквами.

Окремі числа і букви також вважаються одночленами. Наприклад, 2bху, - 3х²z⁵, 6, у - одночлени.

Многочленом називається сума одночленів. Наприклад, 2bху + + 7х² + 3 - многочлен.

Основу всіх алгебраїчних дій становлять такі закони додавання і множення:

Переставний закон:

а + b = b + а, аb = bа.

Сполучний закон:

(а + b) + c = а + (b + с), (аb) c = а (bс).

Розподільний закон:

(а + b) c = аc + bс.

При виконанні перетворень алгебраїчних виразів використовуються такі підходи:

1. Зведення подібних членів. Якщо кілька доданків мають однакові буквені частини, то їхні числові коефіцієнти додаються, а буквена частина зберігається. Наприклад, 9а²b - 3а²b - 4а²b = (9 - 3 - 4) a²b = 2a²b.

2. Винесення множника за дужки здійснюється на основі розподільного закону і правил дій зі степенями. Наприклад, 4ax²y + + 3а²bху² - 2abx² = ax (4xy + 3aby² - 2bx²).

3. Розкриття дужок також здійснюється за допомогою розподільного закону. Необхідно пам'ятати, якщо множник перед дужками має від'ємний знак, то при їхньому розкритті змінюються знаки всіх доданків. Приклади:

2mn² (mx - 3уn³ + 5) = 2m²n²x - 6mn⁵у + 10mn²;

ab (3a - 2b + 4) = - 3a²b + 2ab² - 4ab.

4. Формули скороченого множення:

(а + b) ² = а² + 2аb + b^2, (а - b) ² = а² - 2аb + b^2, (а - b) (а + b) = а² - b^2, (а + b) ³ = а³ + 3a²b + 3аb² + b^3, (а - b) ³ = а³ - 3а²b + 3аb² - b^3, (а + b) (а² - ab + b²) = а³ + b^3, (а - b) (а² + ab + b²) = а³ - b³.

Ділення многочленів

Однією із важливих вій в алгебрі є дія ділення многочленів.

Розглянемо ділення многочлена на многочлен степеня

де - натуральні числа. Ділення можливе, якщо степінь многочлена-діленого не менший за степінь многочлена-дільника тобто коли і - не нуль-многочлен.

Поділити многочлен на многочлен - означає знайти два таких многочлени і щоб

 (1)

При цьому многочлен степеня називають многочленом-часткою, - многочленом-остачею.

Якщо дільник - не нуль-многочлен, то ділення на завжди виконуване, а частка і остача визначаються остаточно.

У тому разі, коли при всіх тобто кажуть, що многочлен ділиться (або націло ділиться) на многочлен

Для ділення многочлена, що залежить від однієї змінної х, на многочлен меншого степеня використовують такий алгоритм ділення стовпчиком:

1. Розмістити доданки в многочленах у порядку спадання степеня змінної.

2. Поділити перший доданок діленого многочлена на перший доданок дільника і результат написати в частку.

3. Помножити результат на дільник і відняти його від діленого.

4. Виконати зі здобутим після віднімання многочленом дії згідно з п.2 і 3.

Повторювати зазначені операції доти, доки після віднімання не дістанемо або нуль, або многочлен степеня, меншого, ніж у дільника. Цей многочлен називається остачею.

Приклад. Виконати ділення многочленів:

(12х² - 5х - 7х³ + 3 + 3х⁴): (3 + х² - 2х).

1. Розмістимо доданки в многочленах у порядку спадання степенів змінної х:

12х² - 5х - 7х³ + 3 + 3х⁴ = 3х⁴ - 7х³ + 12х² - 5х + 3 - ділене;

3 + х² - 2х = х² - 2х + 3 - дільник.

2. Поділимо перший член діленого 3х⁴ на перший член дільника х². У результаті знайдемо перший член частки 3x².

3. Помножимо 3х² на дільник і здобутий результат 3x⁴ - 6х³ + 9х² віднімемо від діленого. Дістанемо - х³ + 3x² - 5х + 3.

4. Поділимо перший член результату - х³ на перший член дільника х² і знайдемо - х - другий член частки.

5. Помножимо другий член частки на дільник і знайдений добуток - х³ + 2х² - 3х віднімемо від результату п.3. Дістанемо х² - 2х + 3.

6. Поділимо результат х² - 2х + 3 на дільник х² - 2х + 3. Дістанемо 1 - третій член частки. Остача від ділення дорівнює 0.

Запишемо ділення у вигляді:

Отже, дістали відповідь: 3x² - х + 1.

Приклад. Алгоритм ділення многочленів:

Отже, згідно з (1) можемо записати:

Розглянемо ділення з остачею многочлена де …, - задані числа, на двочлен

Згідно з (1) дістаємо:

(2)

де - частка; - остача. Оскільки степінь многочлена-остачі має бути меншим за степінь многочлена-дільника тобто менший від одиниці, то остача - деяке число.

Знайдемо коефіцієнти …, частки

Рівність (2) запишемо у вигляді

і виконаємо множення у правій частині:

Сума здобутого многочлена і остачі має тотожно дорівнювати многочлену

Два многочлени, одного й того самого степеня відносно змінної задані у стандартному вигляді, вважають рівними між собою, коли тотожно рівні коефіцієнти їх подібних членів.

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степеня х змінної здобутого многочлена і многочлена маємо:

…,

Звідси послідовно знаходимо коефіцієнти многочлена

…,

Щоб знайти коефіцієнти многочлена-частки зручно скористатися методом, який називають схемою Горнера. Цей метод полягає ось у чому.

У верхньому рядку записують послідовно всі коефіцієнти многочлена-діленого. У нижньому рядку на одну позицію ліворуч від a_n записують число с. Заповнюючи нижній рядок, ураховують, що старший коефіцієнт многочлена-частки дорівнює старшому коефіцієнту многочлена-діленого, а тому під старшим коефіцієнтом многочлена-діленого записують цей самий коефіцієнт. Кожне наступне число нижнього рядка знаходять додаванням до відповідного коефіцієнта верхнього рядка добутку попереднього числа нижнього рядка і числа с. В останній позиції нижнього рядка під вільним членом многочлена-діленого дістаємо остачу. Усі числа нижнього рядка, крім числа с, є коефіцієнтами многочлена-частки.

У розглядуваному випадку ділення многочлена на схема Горнера матиме такий вигляд:

	an	an - 1	an - 2	…	a1	a0
с	bn - 1 = an	bn - 2 = = an - 1 +cbn - 1	bn - 3 = an - 2 + + cbn - 2	…	b0 = a1 + cb1	R = a0 + cb0

Приклад. Знайти частку і остачу при діленні многочлена на двочлен

Складемо схему Горнера (тут ):

	6	- 16	- 12	3
-2	6	-16 + 6 (-2) = - 28	-12 + (-28) (-2) = 44	3 +44 (-2) = - 85

Маємо, числа 6, - 28 і 44 - шукані коефіцієнти частки. Отже, частка подається у вигляді а остача дорівнює - 85.

Розглянемо теорему, яка дає змогу знаходити остачу від ділення многочлена на двочлен не виконуючи самого ділення.

Теорема (Безу). Остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює значенню многочлена при тобто

Справді виконавши ділення многочлена на двочлен дістанемо (згідно з (2)) де остача - деяке число.

Вважаючи маємо Таким чином,

Приклад. Знайти остачу від ділення многочлена на двочлен

Для знаходження остачі обчислимо значення многочлена при

Шукана остача

Зауваження. Остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює .

Наслідок. Для подільності многочлена на двочлен необхідно і достатньо, щоб число с було коренем многочлена

Покажемо, що коли многочлен ділиться на то - корінь многочлена тобто що умова необхідна.

Справді, якщо ділиться на то остача Водночас (за теоремою Безу), Отже, а це означає (за означенням), що - корінь многочлена

Умова достатня, оскільки якщо - корінь многочлена то (за означенням) Водночас (за теоремою Безу), Отже, тобто ділиться на

З теореми Безу випливають і інші наслідки. Сформулюємо їх без доведення.

1. Якщо - різні корені многочлена то многочлен ділиться на добуток

2. Якщо то кількість різних коренів многочлена не перевищує його ступеня.

3. Якщо - усі корені многочлена то .

4. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому натуральному

5. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому парному

6. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому непарному

Многочлен зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці, називають зведеним многочленом.

Для відшукання коренів многочленів можна скористатися такими теоремами.

Теорема (про дробові корені). Зведений многочлен із цілими коефіцієнтами не може мати дробових раціональних коренів.

Теорема (про цілі корені). Кожний цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена.

Приклад. Знайти корені многочлена

Спочатку спробуємо знайти цілі корені цього многочлена. Згідно з теоремою про цілі корені такими коренями можуть бути лише дільники вільного члена, тобто числа 1 і - 1. Дослідимо число Таким чином, число - 1 не є коренем многочлена. Дослідивши число 1, дістанемо а отже, число 1 - цілий корінь многочлена.

Згідно з наслідком із теореми Безу даний многочлен ділиться на двочлен Визначимо частку від ділення даного многочлена на Коефіцієнти частки знайдемо за схемою Горнера:

	6	-11	6	-1
1	6	-5	1	0

Отже, Оскільки числа і - корені тричлена то даний многочлен має три корені: 1, і .

Корінь n-го степеня з дійсного числа. Арифметичний корінь n-го степеня. Правила дій із коренями

Коренем n-го степеня (n - натуральне число) з дійсного числа а називають дійсне число b, n-й степінь якого дорівнює а. Корінь n-го степеня із числа а позначають: (читають: "корінь n-го степеня з числа а"). Згідно з визначенню кореня n-го степеня маємо

якщо (1)

Розглянемо приклади.

1. Запис означає корінь третього степеня (або кубічний корінь) з числа 343. Оскільки то

2. Запис означає корінь п'ятого степеня з числа - 243, оскільки

3. Числа 3 і - 3 - корені четвертого степеня з числа 81, оскільки і

4. Запис не має смислу, оскільки не існує такого дійсного числа, четвертий степінь якого дорівнював би - 625.

Якщо n - непарне число, то вираз має сенс при будь-якому а; якщо n - парне число, то вираз має сенс при і не має сенсу при (парний степінь будь-якого дійсного числа невід'ємний).

Знаходження кореня n-го степеня з даного числа а називають добуванням кореня n-го степеня з числа а. Число а, з якого добувають корінь n-го степеня, називають підкореневим виразом, а число n - показником кореня.

Очевидно, що при всіх значеннях а, якщо має сенс вираз то згідно з (1) виконується рівність .

При відшуканні кореня n-го степеня з дійсного числа слід брати до уваги таке.

1. Корінь непарного степеня з числа а завжди існує, причому лише один; якщо а - додатне число, то існує додатне число, яке є коренем непарного степеня з числа а, якщо а - від'ємне число, то існує від'ємне число, яке є коренем непарного степеня з числа а.

2. Існують два протилежні числа, що є коренями парного степеня з додатного числа а; додатний корінь n-го степеня позначають в цьому разі Тоді протилежне йому число буде

числова буквена величина многочлен

Наприклад, корені рівняння які є протилежними числами, записують так: (додатний корінь) і (від'ємний корінь).

3. Корінь будь-якого натурального степеня n з числа нуль дорівнює нулю: оскільки

4. Корінь парного степеня з від'ємного числа в множині дійсних чисел не існує.

Для будь-якого невід'ємного дійсного числа і будь-якого натурального n (як парного, так і непарного) вираз завжди має сенс і позначає невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а. Невід'ємний корінь n-го степеня з невід'ємного числа а називають арифметичним коренем n-го степеня.

Іншими словами, невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює невід'ємному числу а, називають арифметичним коренем n-го степеня з числа а.

Можна довести, що арифметичний корінь з невід'ємного числа завжди існує і єдиний.

З означення арифметичного кореня n-го степеня випливає: вираз може мати сенс лише при вираз може набувати лише невід'ємного значення; при будь-якому невід'ємному значенні а правильна рівність

. (2)

Корінь непарного степеня з від'ємного числа можна виразити через арифметичний корінь того самого степеня з числа, протилежного даному, тобто якщо і де - натуральне число, то

(3)

Зауваження 1. Надалі запис означатиме лише арифметичний корінь n-го степеня з невід'ємного числа а.

Зауваження 2. Якщо то показник кореня не пишеться. Наприклад, замість пишуть і читають: "корінь квадратний із 7".

Арифметичний корінь n-го степеня має властивості, які подаються такими теоремами.

Теорема. Якщо і n - натуральне число, то

Теорема. Якщо і то

(4)

тобто при будь-якому натуральному n корінь степеня n з дробу, чисельник якого невід'ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню степеня n з чисельника, діленому на корінь того самого степеня зі знаменника.

Теорема. Якщо і - натуральні числа, то

(5)

Теорема. Якщо і - натуральні числа, то

(6)

Іншими словами, для того щоб піднести арифметичний корінь степеня n до натурального степеня k, достатньо піднести до степеня k підкореневий вираз і зі здобутого результату добути корінь степеня n.

Таким чином, формули (4) - (6) визначають відповідно правила ділення коренів, добування кореня та піднесення кореня до степеня.

Зауваження. Якщо а - невід'ємне число і n - натуральне число, то виконується тотожність

(7)

Справді, згідно з означенням арифметичного кореня n-го степеня а згідно з попередньою теоремою 2.5 Отже,

Теорема. При будь-якому значенні а справджується тотожність

(8)

де k - натуральне число.

Теорема. Якщо - натуральні числа, то

(9)

Цю властивість іноді називають основною властивістю кореня.

Користуючись цією властивістю, корені з різними показниками завжди можна звести до одного й того самого показника.

Зведемо, наприклад, до одного й того самого показника корені та Згідно з формулою (9) дані корені можна звести до найменшого спільного показника, що дорівнює 6:

Теорема. Якщо і - натуральні числа, причому ділиться на то

(10)

тобто щоб добути корінь зі степеня невід'ємного числа, показник якого ділиться на показник кореня, достатньо показник підкореневого виразу поділити на показник кореня, залишивши основу степеня незмінною.

Приклад. Знайти значення виразу

Підкореневий вираз можна подати у вигляді добутку множників, кожний з яких є квадратом цілого числа: Застосувавши теорему 2.3, дістанемо:

Приклад. Спростити вираз якщо

Оскільки то скористаємося послідовно теоремами 2.2 і 2.6: Оскільки то і, отже, Оскільки то і, отже, тому при і

Приклад. Спростити вираз при

Подамо даний вираз у вигляді . Оскільки при а то

Приклад. Добути корінь якщо

Застосовуючи послідовно відомі теореми, дістаємо:



Теорема. Якщо і - невід'ємні числа, - натуральне число, то

(11)

Перетворення кореня за формулою (11) називають внесенням множника під знак кореня.

Нехай дано вираз Якщо і то цей вираз можна записати у вигляді Таке перетворення називають винесенням множника з-під знака кореня.

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі де

За формулою (11), знаючи, що дістаємо:

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі

Від'ємний множник не можна подати у вигляді арифметичного квадратного кореня, і тому його не можна внести під знак кореня. Запишемо даний вираз у вигляді і внесемо під знак кореня додатний множник 5:

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі

У виразі множник може бути як від'ємним так і додатним, а тому якщо то Якщо то, вносячи множник під знак кореня, дістаємо:

Приклад. Винести множник з-під знака кореня у виразі

Зауважимо, що вираз має сенс лише при Подамо підкореневий вираз у вигляді добутку двох степенів так, щоб показник одного з них ділився б на показник кореня. У результаті дістанемо: де

Приклад. Винести множник з-під знака кореня у виразі

Виносячи множник з-під знак кореня, дістаємо:

Наведемо ще одну властивість арифметичного кореня: якщо то

Справді, припустивши, що і піднесши обидві частини нерівності до n-го степеня, дістаємо що суперечить умові

Правильне й обернене твердження: якщо то

Степінь із раціональним показником

Введемо поняття степеня з раціональним показником. Розширюючи поняття степеня числа, виходитимемо з такої умови: основна властивість ступенів що виконується для цілих і має зберігатися і для дробових показників.

Якщо - довільне раціональне число, подане дробом , де - ціле число, - натуральне то за означенням



Якщо і - дробове додатне число, то

Теорема. Якщо - дробові раціональні показники, то

Наслідок. Для будь-якого додатного числа і раціонального числа

(1)

Теорема. Якщо - раціональні числа, то

Наслідок. Якщо - раціональне, - натуральне і то

Теорема. Якщо і - раціональне число, то

(2)

Перетворення числових та алгебраїчних виразів

Розв'язуючи майже будь-яку задачу, доводиться виконувати ті чи інші перетворення. Найчастіше складність самої задачі повністю визначається ступенем складності і обсягом відповідних перетворень.

Приклади на перетворення числових і алгебраїчних виразів важливі не самі по собі (хоча серед них багато і змістовних), а як засіб розвитку техніки, справжньої культури, перетворень.

Зауваження. Завдання "спростити вираз" вельми поширені в курсі елементарної математики. При цьому щоразу зрозуміло, як потрібно діяти. Здоровий глузд підказує, який вираз простіший, а який складніший і до якої межі слід спрощувати даний вираз.

1. Деякі практичні рекомендації. Не намагайтеся "згортати" викладки, виконуючи водночас кілька операцій. Виконуючи обчислення і перетворення послідовно, крок за кроком, на кожному етапі максимально спрощуючи здобутий вираз, ви зможете мінімізувати ймовірність помилки у перетвореннях, точніше вибрати наступну операцію і проаналізувати альтернативні ситуації, а при потребі, якщо вибраний шлях привів у глухий кут, - повернутися назад.

Приклад. Спростити вираз

Грубою тактичною помилкою була б спроба додати відразу всі дроби, звівши їх до спільного знаменника. Додамо спочатку перші два:

До знайденої суми додамо третій дріб:

Діючи аналогічно, нарешті дістаємо

Зауваження. Легко перевірити, що Аналогічні рівності справджуються, очевидно, і для інших дробів. Замінивши кожний дріб, що входить у даний вираз, на відповідну різницю (замість того щоб додавати дроби, кожний замінюємо різницею!), дістанемо в результаті Очевидно, що за допомогою цього прийому можна знайти суму, подібну до розглянутої, з будь-якою кількістю доданків.

Важливим елементом культури перетворень, необхідним для розв'язання різноманітних задач із будь-яких розділів, є вміння розкладати на множники ті чи інші вирази. Як правило, мети досягаємо завдяки вдалому групуванню доданків.

Приклад. Спростити вираз

Спробуємо розкласти на множники чисельник і знаменник. Почнемо з чисельника. Маємо:

Розкладаючи на множники знаменник (зробіть аналогічні викладки самостійно), дістаємо Отже, даний дріб дорівнює

Зауваження. У чисельнику можна виділити множник на тій підставі, що чисельник дорівнює нулю при

Загалом із двох взаємно обернених операцій, як правило, виконання однієї набагато складніше, ніж виконання іншої. Це стосується, зокрема, множення алгебраїчних виразів та розкладання на множники або піднесення до степеня та добування кореня. Наприклад, легко встановити, що але значно важче прочитати цю рівність справа наліво.

Слід запам'ятати, що коли при розв'язанні задачі зустрічається вираз виду або необхідно спробувати добути відповідний корінь. Дуже часто це можна зробити. Якщо таке добування неможливе, то варто скористатися добором. Наприклад, щоб спростити вираз подамо його у вигляді звідки Пошук цілих (раціональних) і приводить до розв'язання системи У цьому разі пару цілих і легко дібрати: таким чином,

У старих підручниках з алгебри наводиться рівність, правильність якої неважко перевірити.

,

У деяких випадках вона корисна при спрощенні виразів, що містять квадратні радикали.

Приклад. Спростити вираз

Зауважимо, що (Ці рівності можна дістати добором, а можна скористатися наведеною щойно формулою). Таким чином, даний дріб зводиться до вигляду Домноживши чисельник і знаменник дробу на дістанемо

Зауваження. Зверніть увагу на останній етап наших перетворень. Тут використовується поширений прийом, який іноді називають множенням на спряжений вираз. У цьому разі знаменник має вигляд Множачи чисельник і знаменник на дістаємо в знаменнику вираз який дорівнює 1.

2. Заміна змінних. Умовні рівності. Перехід до нових позначень, заміна змінних - найважливіший прийом і метод, за допомогою яких розв'язуються різні задачі як елементарної, так і вищої математики. Для деяких класів задач цей метод детально розроблено, наприклад для рівнянь.

Заміна змінних і перехід до нових позначень можуть використовуватися як прийом, що спрощує викладки й перетворює громіздкі алгебраїчні вирази на компактні і доступні для огляду. Дуже важливо, щоб обидва підходи були міцно засвоєні, оскільки ідея заміни змінних є наскрізною і в тому чи іншому вигляді фігурує практично в усіх наступних лекціях. Обмежимося розглядом одного прикладу.

Приклад. Довести, що коли то і Довести також, що із другої рівності випливає перша.

Позначимо Перейдемо до нових змінних У нових позначеннях перша з даних рівностей набере вигляду



Вона легко перетворюється:

Друга рівність матиме вигляд

звідки

Коефіцієнт при буде такий (перевірте!)

Таким чином, оскільки при також а друга рівність після ділення обох частин на перетворюється до того самого вигляду, що й перша.

Наведене розв'язання містить підказку щодо іншого способу розв'язання: ліву частину другої рівності дістаємо з лівої частини першої множенням на

Справді,

Питання для самоперевірки:

Спростити вираз: .

Перевірити на одночлен стандартного вигляду: .

Розкласти на множники .

Чи знаєте ви всі формули скорочення множення?

Знайти коефіцієнти в добутку .

Вибрати вираз який не є одночленом:

1) 2abc;

3) ;

2) 16;

4) x¹⁰.

Знайти степінь многочлена

.

Замінити а виразом так, щоб вийшла правильна рівність: .

Перевірте, чи запам'ятали ви всі поради щодо перетворення алгебраїчних виразів.

Класифікуйте свої знання методів перетворення алгебраїчних виразів починаючи з найпростіших.

Література

1. Вишенський В.А., Перестюк М.О., Самойленко А.М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. - 2-ге вид., доп. - К.: Либідь, 1993. - 344 с.

2. Саушкін О.Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. - К.: КНЕУ.

3. Лурьве М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. - 3-е изд., перераб. - М.: Наука, 1990. - 96 с.

4. Амелькин В. Задачи з параметром. - Минск, 1994.

5. Мордкович А.Г. Набольшее и наименьше значения величин. - М.: Школа-Пресс, 1995. - 144 с.

6. Чайковський М.А. Квадратні рівняння. - К., 1970. - 242 с.

7. Маслай Г.С., Шоголева Л.О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21-22 (81-82), Червень 2000.

8. Гусак Г.М., Капуцкая Д.А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред.А. А. Гусака. - Мн.: Высш. шк., 1989. - 495 с.

9. Маслова Т.Н., Суходений А.М. Ваш домашний репетитор. - М.: ООО "Изд. дом “ОНИКС 21 век”", 2003. - 672 с.

10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н.М. Кремера. - 2-ге изд., перероб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 430 с.

11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10-11 кл. общ. учредж. / Под ред. А.Н. Колмогорова. - 12-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 384 с.

Размещено на Allbest.ru