Размещено на http://www.Allbest.ru/

Пошукова робота

на тему:

Вектори, лінійні операції над ними

План

1. Вектори і скаляри

2. Лінійні операції над векторами

3. Проекція вектора на вісь

1. Вектори і скаляри

У природі існують величини двох видів: такі, що характеризуються лише своїм числовим значенням, і такі, для характеристики яких крім числового значення ще потрібно знати їх напрямок у просторі. Перші з них називаються скалярними, а другі - векторними.

Так, маса, температура, час, густина, площа, об'єм, довжина відрізка, електричний заряд, опір провідника - скаляри, а сила, момент сили, швидкість, прискорення, напруженість силового поля - векторні величини.

Слід мати на увазі, що одна і та сама величина може розглядатись і як скаляр, і як вектор. Наприклад: сила струму - величина скалярна, бо вона визначається лише величиною заряду незалежно від того, в якому напрямку і під яким кутом до площадки рухаються частинки, що несуть заряд.

Але така характеристика електричного струму неповна. У багатьох випадках потрібно розглядати напрямок, в якому рухаються заряджені частинки. Для врахування напрямку переносу зарядів вводиться вектор густини струму.

Векторна величина геометрично зображається з допомогою направленого відрізка певної довжини і певному масштабі після вибору одиниці масштабу.

Вектор позначається на письмі двома буквами, причому перша-початок вектора, друга - його кінець з вказанням стрілкою напрямку. Наприклад, - вектор, початок якого збігається з точкою, а кінець - з точкою, напрямок - від до. Довжина вектора (інакше - модуль вектора) записується так: Часто вектор позначають однією буквою, наприклад. Якщо вектор позначений однією буквою, то часто в книгах її виділяють жирним шрифтом, але без риски. Вектор можна позначати і так:

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині (або лежать в одній площині).

Два вектори називаються рівними тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову довжину і однаковий напрямок, тобто вони розміщені на паралельних прямих.

Звідси випливає, що при паралельному перенесенні вектора одержуємо вектор, рівний даному. Тому початок вектора можна розміщувати у будь-якій точці простору.

Якщо ряд векторів розміщені на різних прямих у просторі (паралельних або непаралельних), то, виходячи з попередніх міркувань, можна вибрати довільну точку в просторі, наприклад, і всі дані вектори перенести паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися з точкою (рис. 1).

Рис. 1

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним.

Очевидно, що коли дано довільний вектор, то поділивши його на його довжину, одержимо одиничний вектор, наприклад, напрямок якого збігається з напрямком вектора. Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим. Він не має конкретного напрямку.

2. Лінійні операції над векторами

геометричний колінеарний компланарний лінійний вектор

Сумою двох векторів і називається вектор, що є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних векторах як на сторонах паралелограма (рис. 2).

Оскільки вектор можна переносити паралельно самому собі, то з рис. 2 зрозуміло, що вектор можна сумістити з відрізком, тоді, а сума. Звідси випливає, що суму двох векторів можна побудувати за правилом трикутника.

Рис. 2

У кінці вектора будуємо вектор і початок вектора з'єднуємо з кінцем вектора. В результаті одержимо вектор, що дорівнює сумі векторів і це правило можна узагальнити на суму довільної кількості векторів.

Для знаходження суми заданих - векторів будуємо вектор, в його кінці вектор і т.д., в кінці вектора будуємо вектор. Якщо тепер з'єднати початок вектора з кінцем вектора, одержимо вектор, що дорівнюватиме сумі двох векторів. Це правило додавання векторів називається правилом многокутника.

Якщо задано вектор, то вектор матиме ту саму довжину, але оскільки напрямки цих двох векторів протилежні. Тому, тобто різницю векторів завжди можна замінити сумою. Звідси випливає правило віднімання векторів.

Щоб від вектора відняти вектор, треба до вектора додати вектор, або, що те саме, до вектора додати вектор з протилежним знаком.

В результаті множення вектора на скаляр одержується вектор, напрямок якого збігається з напрямком, якщо, і протилежний напрямку, якщо. Довжина одержаного вектора дорівнює.

Ділення вектора на скаляр зводиться легко до множення вектора на скаляр:

Поняття “більше”, “менше” для векторів незастосовні. Для лінійних операцій над векторами векторів вірні такі властивості:

1. - комутативний (переставний) закон додавання;

2. - асоціативний (сполучний)закон додавання;

3. - дистрибутивний (розподільчий) закон множення;

4.

і - скаляри (числа).

Вираз називається лінійною комбінацією векторів. Числа називаються її коефіцієнтами.

Лінійні комбінації векторів мають такі властивості: якщо вектори колінеарні, то довільна їх лінійна комбінація їм колінеарна; якщо вектори компланарні, то довільна їх лінійна комбінація з ними компланарна. Це випливає із того, що вектор колінеарний а сума векторів лежить в тій же площині, що й доданки, і навіть на тій же прямій, якщо вони колінеарні.

Приклад. Знайти вектор, що ділить кут між векторами і пополам.

Розв'язок. Відомо, що діагональ ромба ділить кути ромба пополам. Переносячи один з векторів паралельно самому собі так, щоб його початок збігався з початком другого вектора, одержимо кут. Щоб побудувати тепер ромб, поділимо кожний з векторів на свою довжину. В результаті матимемо одиничні вектори. Вектор, що збігається з діагоналлю ромба, в даному випадку і буде сумою цих векторів, тобто шуканий вектор матиме вигляд.

3. Проекція вектора на вісь

Проекцією вектора на вісь називається довжина відрізка осі, що міститься між проекціями початкової точки і кінцевої точки, взята із знаком “+”, якщо напрямок збігається з напрямком осі проекції, та із знаком “-”, якщо ці напрямки протилежні.

Легко довести основні положення теорії проекцій:

1. (читається: проекція на вісь дорівнює …) (рис. 3).

2. (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

Размещено на Allbest.ru